高中數(shù)學(xué)《解析幾何初步》圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué) 蘇教必修2

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2023/1/171.問題1：具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓.問題2：圖中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？

圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。畣栴}3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？2023/1/172.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p(M)；（3）用坐標(biāo)翻譯條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化簡方程f(x,y)=0；

（5）證明化簡后的方程為所求曲線的方程．

其中步驟(1)(3)(4)必不可少．2023/1/173.用求曲線方程的一般方法來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：設(shè)M(x,y)是圓上任意一點，xyO．rM據(jù)圓的定義有|MC|=rC由距離公式，得兩邊平方，得2023/1/174.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

特點：

1、是關(guān)于x、y的二元二次方程,無xy項；

2、明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑。3、確定圓的方程必須具備三個獨立條件,即a、b、r.4、若圓心在坐標(biāo)原點，則圓方程為

x2+y2=r22023/1/175.練習(xí)1.寫出下列各圓的方程：（1）圓心在圓點，半徑是3；（3）經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3)（2）圓心在點C(3,4)，半徑是；點評：⑶中，可先用兩點距離公式求圓的半徑，或設(shè)，用待定系數(shù)法求解。2023/1/176.練習(xí)2.寫出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑（1）（2）（3）（-1，2）32023/1/177.例1.求以C(1,3)為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。解：因圓C和直線3x-4y-7=0相切，所以圓心到直線的距離等于半徑r，CxyOr因此，所求的圓的方程是2023/1/178.練習(xí)3.已知一個圓的圓心在原點，并與直線4x+3y-70=0相切，求圓的方程。2023/1/179.例2已知圓O的方程為,判斷下面的點在圓內(nèi)、圓上、還是圓外？解：①∵，∴點在圓上；②∵，∴點在圓內(nèi)；③∵，∴點在圓外。⑵，P在圓上，

，P在圓外，

⑴，P在圓內(nèi)。⑶小結(jié)：與圓的關(guān)系判斷：2023/1/1710.例3已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程。分析(一)：設(shè)切線斜率為k，OM斜率為k1，則：所以切線方程為：x0x+y0y=r2xOMyP當(dāng)M在坐標(biāo)軸上時，上面方程仍適用。2023/1/1711.例3.已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程。xOMyP分析(二)：設(shè)P為切線上任意一點，則OM⊥MP，所以：(x0，y0)·(x-x0，y-y0)=0所以切線方程為：x0x+y0y=r2.2023/1/1712.P(x,y

)

由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析(三)：

在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2例3.已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程。2023/1/1713.總結(jié)：過一點求圓的切線的方程1、求經(jīng)過圓上一點M（x0,y0）的切線的方程：（1）圓C的方程為：（2）圓C的方程為：2023/1/1714.2、求經(jīng)過圓外一點M（x0,y0）的切線的方程。常用求法簡介：2023/1/1715.練習(xí)4.寫出過圓x2+y2=10上一點M的切線的方程練習(xí)5.已知圓的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切線的方程；（2）在y軸上截距是的切線的方程。2023/1/1716.例4：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01m)yx解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程是x2+(y-b)2=r2(r>0)。2023/1/1717.yx把P(0,4)、B(10,0)代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。2023/1/1718.例5已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道?2023/1/1719.的內(nèi)部，求實數(shù)a

的取值范圍．1、若點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4練習(xí)：2、求滿足下列條件的各圓C的方程：

(1)和直線4x＋3y－5＝0相切，圓心在直線x－y＋1＝0上，半徑為4；

(2)經(jīng)過兩點A(－1,0)，B(3，2)，圓心在直線x＋2y＝0上．3、已知圓過點P(－4，3)，圓心在直線2x－y＋1＝0上，且半徑為5，求這個圓的方程．-1<a<1(x-22/7)2+(y-29/7)2=42或(x+18/7)2+(y+11/7)2=422023/1/1720.4.求圓心C在直線x+2y+4=0上，且過兩定點A(-1,1)、B(1,-1)的圓的方程。5.從圓x2+y2=10外一點P(4,2)向該圓引切線，求切線方程。x+3y=10或

3x-y=10(x+)2+(y+)2=3

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49502023/1/1721.小結(jié)

(1)圓心為C(a,b)，半徑為r

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2