高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識精要整理人教

高中函數(shù)知識精要廣西田林中學(xué)梁萬鵬1.一。映射與函數(shù)1、映射：對于集合A、B，存在某種對應(yīng)法則f，使得集合A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一的一個(gè)元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記為f：A→B2、函數(shù)：(1)在某種變化過程中存在兩個(gè)變量x，y，并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)。(2)設(shè)A、B都是非空數(shù)集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x)3、函數(shù)的“三要素”：對應(yīng)法則、定義域、值域。只有“三要素”完全相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)。廣西田林中學(xué)梁萬鵬2.〖方法小結(jié)〗1、理解映射的概念①A、B為非空數(shù)集；②A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A中的任一元素的象是唯一的，因此對應(yīng)是“一對一或多對一”。2、理解函數(shù)與映射的關(guān)系。函數(shù)的“三要素”是對應(yīng)法則、定義域、值域。只有“三要素”完全相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)。3、若函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)法則不同，可用幾個(gè)式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)。廣西田林中學(xué)梁萬鵬3.二。函數(shù)的定義域3、如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算而得到的，那么它的定義域是各基本函數(shù)定義域的交集。2、求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)是：①分式的分母不為0；②偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)；③對數(shù)的真數(shù)大于0；④指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；⑤指數(shù)為0或負(fù)數(shù)時(shí)，底數(shù)不為0；⑥實(shí)際問題的函數(shù)除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮有實(shí)際意義。1、函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍。廣西田林中學(xué)梁萬鵬4.三。函數(shù)的值域函數(shù)的值域就是在對應(yīng)法則f的作用下，自變量x的值對應(yīng)的y值的集合?！挤椒ㄐ〗Y(jié)〗1、求函數(shù)值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)值域問題,要注意f(x)的取值范圍對值域的影響.②分離常數(shù)法:求函數(shù)f(x)=形函數(shù)的值域，如f(x)=轉(zhuǎn)化為f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋3廣西田林中學(xué)梁萬鵬5.③反函數(shù)法:求式函數(shù)f(x)=形函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法.ax＋bcx＋d④判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實(shí)根,判別式Δ≥0,從而求得原函數(shù)的值域.形如y=(a1,a2不同時(shí)為0)的函數(shù)的值域常用此法但要注意函數(shù)的定義域不是R時(shí)還需要用二次方程根的分布來求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)在其定義域或定義域的子集上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.⑥換元法:運(yùn)用代數(shù)或三角代換,將所給函數(shù)化成值域容易求出的另一類函數(shù)廣西田林中學(xué)梁萬鵬6.3、求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，要告自己積累經(jīng)驗(yàn)，掌握規(guī)律。2、求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。⑦數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法求出函數(shù)值域.廣西田林中學(xué)梁萬鵬7.四。函數(shù)的單調(diào)性1、定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)。2、注意定義的變形：設(shè)x1、x2∈[a，b]f(x1)－f(x2)x1－x2＞0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＞0f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)f(x1)－f(x2)x1－x2＜0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＜0f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)廣西田林中學(xué)梁萬鵬8.3、熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。①兩個(gè)增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；②y=f(x)與y=－f(x)有相反的單調(diào)性；③當(dāng)y=f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，y=f(x)與y=1/f(x)有相反的單調(diào)性。4、了解以下結(jié)論，對直接判定函數(shù)的單調(diào)性有好處：廣西田林中學(xué)梁萬鵬9.〖方法小結(jié)〗1、函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，在定義域內(nèi)的不同區(qū)間上可能有不同的單調(diào)性，因此必須說明在哪個(gè)區(qū)間上遞增或遞減。2、根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：①設(shè)x1、x2∈A，且設(shè)x1＜x2；②作差：f(x1)－f(x2)，并變形（分解、配方、通分等）；③判斷差的符號，并作結(jié)論。3、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：設(shè)y=f(u)，u=g(x)，x∈(a,b),u∈(m,n)，都是單調(diào)函數(shù)，則y=f(g(x))在[a,b]上也是單調(diào)函數(shù)。若y=f(u)是(m,n)上的增（減）函數(shù)，則y=f(g(x))的增減性與u=g(x)的增減性相同（相反）。也可概括為“同增、同減為增，一增一減為減”。廣西田林中學(xué)梁萬鵬10.五。反函數(shù)3、反函數(shù)的求法：①由y=f（x）解出x=f－1（y）；②將x=f－1（y）中的x、y互換，得y=f－1（x）；③由y=f（x）的值域，寫出y=f－1（x）的定義域。1、定義：函數(shù)y=f(x)(x∈A)中，設(shè)它的值域?yàn)镃，由y=f(x)解出x=f－1(y)，如果對于y在C中的任何一個(gè)值，由x=f－1(y)，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么x=f－1(y)就表示x是y的函數(shù)，則函數(shù)x=f－1(y)就叫做y=f(x)的反函數(shù)。習(xí)慣上把y看成函數(shù)，將x、y調(diào)換，y=f(x)的反函數(shù)表示為y=f－1(x)。2、反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域?；榉春瘮?shù)的兩個(gè)圖象關(guān)于直線y=x對稱。廣西田林中學(xué)梁萬鵬11.〖方法小結(jié)〗1、只有從定義域到值域上的一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)。因此，定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；2、若原函數(shù)過點(diǎn)(a,b)，則反函數(shù)過點(diǎn)(b,a)，即若f（a）=b，則f－1（b）=a。3、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性。廣西田林中學(xué)梁萬鵬12.六。一些常用函數(shù)及其性質(zhì)1、正比例函數(shù)：y=kx（k≠0）xyok＞0xyok＜0圖象性質(zhì):1、定義域?yàn)镽；

2、值域?yàn)镽；

3、單調(diào)性：

k＞0時(shí)為增函數(shù),

K＜0時(shí)為減函數(shù)。廣西田林中學(xué)梁萬鵬13.圖象2、反比例函數(shù)：y=（k≠0）kxxyok＞0xyok＜0性質(zhì):

1、定義域：(－∞,0)∪(0,＋∞);

2、值域：(－∞,0)∪(0,＋∞)；

3、單調(diào)性

（1）k＞0時(shí)，在(－∞,0)或(0,＋∞)上是增函數(shù)；

（2）k＜0在(－∞,0)或(0,＋∞)上是減函數(shù)。

廣西田林中學(xué)梁萬鵬14.3、一次函數(shù)：y=kx＋b（k≠0）xyok＞0xyok＜0圖象性質(zhì):

1、定義域?yàn)镽；

2、值域?yàn)镽；

3、k＞0時(shí)為增函數(shù),

K＜0時(shí)為減函數(shù)。廣西田林中學(xué)梁萬鵬15.4、二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a≠0）oxy3、圖象開口往上，對稱軸為x=－，有最小值，在（－∞，－]為減函數(shù)，在[－，+∞)為增函數(shù)。b2ab2ab2a4ac－b24a性質(zhì)：

1、定義域：R；

2、值域：[，+∞);

a＞0時(shí)的圖象與性質(zhì)廣西田林中學(xué)梁萬鵬16.oxy3、圖象開口往下，對稱軸為x=－，有最大值，在（－∞，－]為增函數(shù)，在[－，+∞)為減函數(shù)。b2ab2ab2a4ac－b24a性質(zhì)：

1、定義域：R；

2、值域：（—∞，];

a＜0時(shí)的圖象與性質(zhì)廣西田林中學(xué)梁萬鵬17.Δ＞0Δ＜0Δ=0圖象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)x=x1或x=x2x=x1=x2=－b2a{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}b2a{x|x≠－}OOR無實(shí)根5、二次函數(shù)與二次不等式廣西田林中學(xué)梁萬鵬18.〖方法與小結(jié)〗1、解決分式函數(shù)f(x)=，可轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)來解決。如f(x)=轉(zhuǎn)化為f(x)=2－;2x＋1x＋3ax＋bcx＋d5x＋32、解決二次函數(shù)有關(guān)問題關(guān)鍵是通過配方，得出頂點(diǎn)(－,)，由此可知函數(shù)的圖象、對稱軸、單調(diào)區(qū)間、判別式、最值等。4ac－b24ab2a3、二次函數(shù)的解析式除了一般式外還有頂點(diǎn)式：f(x)=a(x－k)2＋m，零點(diǎn)式：f(x)=a(x－x1)(x－x2)。廣西田林中學(xué)梁萬鵬19.6。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）、指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)的圖象和性質(zhì)：a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)①x∈R；②y∈(0,+∞);③過定點(diǎn)(0,1)④當(dāng)x＞0時(shí),y＞1,x＜0時(shí),0＜y＜1④當(dāng)x＞0時(shí),0＜y＜1,x＜0時(shí),y＞1⑤在R上是增函數(shù).⑤在R上是減函數(shù).xoyxoy廣西田林中學(xué)梁萬鵬20.xoyxoy（2）對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0且a≠1)的圖象和性質(zhì)：a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)①x∈(0,+∞)；②y∈R;③過定點(diǎn)(1,0)④當(dāng)x＞1時(shí),y＞0,0＜x＜1時(shí),y＜0④當(dāng)x＞1時(shí),y＜0,0＜x＜1時(shí),y＞0⑤在R上是增函數(shù).⑤在R上是減函數(shù).廣西田林中學(xué)梁萬鵬21.〖方法小結(jié)〗1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的兩個(gè)重要函數(shù)，其函數(shù)性質(zhì)受底數(shù)a的影響，所以分類討論思想表現(xiàn)得更為突出，同時(shí)兩類函數(shù)的函數(shù)值變化情況，充分反映了函數(shù)的代數(shù)特征與幾何特征。2、在給定的條件下，求字母的取值范圍是常見題型，要重視不等式知識及函數(shù)單調(diào)性在這類問題上的應(yīng)用。3、熟記以下幾個(gè)結(jié)論：logab＞0(a－1)(b－1)＞0;logab＜0(a－1)(b－1)＜0當(dāng)0＜a＜1時(shí)，m＞n＞0logam＜logan當(dāng)a＞1時(shí)，m＞n＞0logam＞logan廣西田林中學(xué)梁萬鵬22.七。函數(shù)的圖象1、作圖：⑴利用描點(diǎn)作圖法：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性)；④畫出函數(shù)的圖象。⑵利用基本函數(shù)圖象的作圖變換：平移變換：y=f(x)h＞0,右移y=f(x—ｈ)h＜0,左移y=f(x)y=f(x)+kk＞0,上移k＜0,下移廣西田林中學(xué)梁萬鵬23.對稱變換y=f(x)y=－f(x)作x軸對稱y=f(x)y=f(－x)作y軸對稱y=f(x)y=f(2a－x)作關(guān)于直線x=a對稱廣西田林中學(xué)梁萬鵬24.y=f(x)y=f－1(x)作關(guān)于直線y=x對稱y=f(x)y=－f(－x)作關(guān)于原點(diǎn)對稱y=f(x)y=f(|x|)保留y軸右邊圖象,去掉y軸左邊圖象并作其關(guān)于y軸對稱圖象y=f(x)y=|f(x)|保留x軸上方圖象并將x軸下方圖象翻折上去廣西田林中學(xué)梁萬鵬25.2、識圖對于給定的函數(shù)圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，注意圖象中特殊點(diǎn)的作用。3、用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法。廣西田林中學(xué)梁萬鵬26.〖方法小結(jié)〗1、證明函數(shù)