相似三角形測試題

...wd......wd......wd...姓名班級成績九年級?圖形的相似?測試題一．選擇題〔每題3分〕1．如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是〔〕A．2：3B．：C．4：9D．8：272．如圖，以下條件不能判定△ADB∽△ABC的是〔〕A．∠ABD=∠ACBB．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD?ACD．=3．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，假設S△BDE：S△CDE=1：3，那么S△DOE：S△AOC的值為〔〕A．B．C．D．4．如圖：把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊局部〔即圖中陰影局部〕的面積是△ABC面積的一半，假設AB=，那么此三角形移動的距離AA′是〔〕A．﹣1B．C．1D．5．如圖，AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是〔〕A．B．C．D．6.△ABC∽△A1B1C1，且相似比為，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比為，那么△ABC與△A2B2C2的相似比為〔〕A．B．C．或D．7．如圖，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點，如果△RPQ∽△ABC，那么點R應是甲、乙、丙、丁四點中的〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁8．如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，那么以下結論一定正確的選項是〔〕A．AB2=BC?BDB．AB2=AC?BDC．AB?AD=BC?BDD．AB?DC=AD?BC9．在平面直角坐標系中，點A〔﹣4，2〕，B〔﹣6，﹣4〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，那么點A的對應點A′的坐標是〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣8，4〕C．〔﹣8，4〕或〔8，﹣4〕D．〔﹣2，1〕或〔2，-1〕10．在平面直角坐標系中，點A〔﹣4，2〕，B〔﹣2，﹣2〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，那么點A的對應點A′的坐標是〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣8，4〕C．〔﹣8，4〕或〔8，﹣4〕D．〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕11．如圖，DE∥BC，S△ADE=S四邊形BCED，那么AD：AB的值是〔〕A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，如果AE：EC=1：4，那么S△ADE：S△EBC=〔〕A．1：24B．1：20C．1：18D．1：1613．如圖，數學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m，但當她馬上測量樹高時，發(fā)現樹的影子不全落在地面上，有一局部影子落在教學樓的墻壁上〔如圖〕，他先測得留在墻壁上的影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫她算一下，樹高是〔〕A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m14．以下說法錯誤的選項是〔〕A．兩個等邊三角形一定相似B．兩個等腰三角形一定相似C．兩個等腰直角三角形一定相似D．兩個全等三角形一定相似15．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點在CD、AD上滑動，當DM為〔〕時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．A．B．C．或D．或二．填空題〔每題3分〕16．將一副三角板按圖疊放，那么△AOB與△DOC的面積之比等于．17．如圖，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG落在BC上．假設BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為．18．如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，標桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，那么樓高CD為m．19．兩千多年前，我國的學者墨子和他的學生做了小孔成像的實驗．他的做法是，在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現外面景物的倒像．小華在學習了小孔成像的原理后，利用如圖裝置來驗證小孔成像的現象．一根點燃的蠟燭距小孔20cm，光屏在距小孔30cm處，小華測量了蠟燭的火焰高度為2cm，那么光屏上火焰所成像的高度為cm．三．解答題〔每題6分〕20．如圖，M、N為山兩側的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞．工程人員為了計算工程量，必須計算M、N兩點之間的直線距離，選擇測量點A、B、C，點B、C分別在AM、AN上，現測得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N兩點之間的直線距離．21．如圖，P是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上任意一點，AP分別交BD、CD于點M、N，求證：AM2=MN?MP．22．如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點位置，AE=60cm．如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經過反彈后，球剛好彈到D點位置．〔1〕求證：△BEF∽△CDF；〔2〕求CF的長．23．在太陽光下，身高為1.6米的小芳在地面上的影長為2米．當他測量教學樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學樓，有一局部影子在墻上．經測量，地面局部影長為8.5米，墻上影長為1.2米，那么這棵大樹高約多少米2015年09月21日ldyzal的初中數學組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共15小題〕1．〔2015?貴陽〕如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是〔〕A．2：3B．：C．4：9D．8：27考點：相似三角形的性質．分析：根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方，據此即可求解．解答：解：兩個相似三角形面積的比是〔2：3〕2=4：9．應選C．點評：此題考察對相似三角形性質的理解．〔1〕相似三角形周長的比等于相似比；〔2〕相似三角形面積的比等于相似比的平方；〔3〕相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．2．〔2015?永州〕如圖，以下條件不能判定△ADB∽△ABC的是〔〕A．∠ABD=∠ACBB．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD?ACD．=考點：相似三角形的判定．分析：根據有兩個角對應相等的三角形相似，以及根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．解答：解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此選項符合題意．應選：D．點評：此題考察了相似三角形的判定，利用了有兩個角對應相等的三角形相似，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．3．〔2015?酒泉〕如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，假設S△BDE：S△CDE=1：3，那么S△DOE：S△AOC的值為〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質．分析：證明BE：EC=1：3，進而證明BE：BC=1：4；證明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性質即可解決問題．解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，應選D．點評：此題主要考察了相似三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是靈活運用形似三角形的判定及其性質來分析、判斷、推理或解答．4．〔2015?呼倫貝爾〕如圖：把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊局部〔即圖中陰影局部〕的面積是△ABC面積的一半，假設AB=，那么此三角形移動的距離AA′是〔〕A．﹣1B．C．1D．考點：相似三角形的判定與性質；平移的性質．專題：壓軸題．分析：利用相似三角形面積的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．解答：解：設BC與A′C′交于點E，由平移的性質知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵AB=∴A′B=1∴AA′=AB﹣A′B=﹣1應選A．點評：此題利用了相似三角形的判定和性質及平移的性質：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮涍^平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．5．〔2015?株洲〕如圖，AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質．分析：易證△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根據相似三角形的性質可得=，=，從而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解答：解：∵AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．應選C．點評：此題主要考察的是相似三角形的判定與性質，發(fā)現+=1是解決此題的關鍵．6．〔2015?東光縣校級二?！骋粋€矩形剪去一個以寬為邊長的正方形后，所剩下的矩形與原矩形相似，那么原矩形的長與寬的比是〔〕A．B．C．D．考點：相似多邊形的性質；解一元二次方程-公式法．分析：利用相似多邊形的相似比相等列出方程求解．解答：解：設矩形的長是a，寬是b，那么DE=CF=a﹣b，∵矩形ABCD∽矩形CDEF，∴=，即=，整理得：a2﹣ab﹣b2=0，兩邊同除以b2，得〔〕2﹣﹣1=0，解得=或〔舍去〕．應選D．點評：根據相似得到方程，解方程是解決此題的關鍵．7．〔2015?石家莊模擬〕如圖，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點，如果△RPQ∽△ABC，那么點R應是甲、乙、丙、丁四點中的〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁考點：相似三角形的性質．專題：網格型．分析：根據相似三角形的對應高的比等于相似比，代入數值即可求得結果．解答：解：∵△RPQ∽△ABC，∴，即，∴△RPQ的高為6．故點R應是甲、乙、丙、丁四點中的乙處．應選B．點評：此題考察了相似三角形的性質：相似三角形的對應高的比等于相似比．解題的關鍵是數形結合思想的應用．8．〔2015?江都市一模〕如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，那么以下結論一定正確的選項是〔〕A．AB2=BC?BDB．AB2=AC?BDC．AB?AD=BC?BDD．AB?AC=AD?BC考點：相似三角形的性質．分析：根據相似三角形的對應邊成比例進展判斷，要注意相似三角形的對應邊和對應角．解答：解：∵△ABC∽△DBA，∴==；∴AB2=BC?BD，AB?AC=AD?BC；應選AD．點評：此題主要考察的是相似三角形的性質，正確地判斷出相似三角形的對應邊和對應角是解答此題的關鍵．9．〔2015?十堰〕在平面直角坐標系中，點A〔﹣4，2〕，B〔﹣6，﹣4〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，那么點A的對應點A′的坐標是〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣8，4〕C．〔﹣8，4〕或〔8，﹣4〕D．〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕考點：位似變換；坐標與圖形性質．分析：根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k，即可求得答案．解答：解：∵點A〔﹣4，2〕，B〔﹣6，﹣4〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點A的對應點A′的坐標是：〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕．應選：D．點評：此題考察了位似圖形與坐標的關系．此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于±k．10．〔2015?平定縣一模〕在平面直角坐標系中，點A〔﹣4，2〕，B〔﹣2，﹣2〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，那么點A的對應點A′的坐標是〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣8，4〕C．〔﹣8，4〕或〔8，﹣4〕D．〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕考點：位似變換；坐標與圖形性質．分析：直接利用位似圖形的性質得出對應點坐標乘以k或﹣k進而求出即可．解答：解：∵點A〔﹣4，2〕，B〔﹣2，﹣2〕，以原點O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，∴點A的對應點A′的坐標是：〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕．點評：此題主要考察了位似變換的性質以及坐標與圖形的性質，正確記憶對應點坐標變化規(guī)律是解題關鍵．11．〔2013秋?蚌埠期中〕如圖，DE∥BC，S△ADE=S四邊形BCED，那么AD：AB的值是〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的性質．分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由S△ADE=S四邊形BCED，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得AD：AB的值．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE=S四邊形BCED，∴S△ADE：S△ABC=〔AD：AB〕2=1：2，∴AD：AB=．應選：B．點評：此題考察了相似三角形的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應用與數形結合思想的應用．12．〔2015?徐匯區(qū)一?！橙鐖D，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，如果AE：EC=1：4，那么S△ADE：S△EBC=〔〕A．1：24B．1：20C．1：18D．1：16考點：相似三角形的判定與性質．分析：由條件可求得，又由平行線分線段成比例可求得，結合S△BDE=S△ABE﹣S△ADE可求得答案．解答：解：∵=，∴=，∴S△ABE=S△EBC，∵DE∥BC，∴==，∴=，∴S△BDE=4S△ADE，又∵S△BDE=S△ABE﹣S△ADE，∴4S△ADE=S△EBC﹣S△ADE，∴=，應選B．點評：此題主要考察平行線分線段成比例的性質及三角形的面積，掌握同高三角形的面積比即為底的比是解題的關鍵．13．〔2015?聊城模擬〕如圖，數學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m，但當她馬上測量樹高時，發(fā)現樹的影子不全落在地面上，有一局部影子落在教學樓的墻壁上〔如圖〕，他先測得留在墻壁上的影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫她算一下，樹高是〔〕A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m考點：相似三角形的應用．分析：此題首先要知道在同一時刻任何物體的高與其影子的比值是一樣的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值一樣，利用這個結論可以求出樹高．解答：解：如圖，設BD是BC在地面的影子，樹高為x，根據竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值一樣得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴樹在地面的實際影子長是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值一樣得，∴x=4.45，∴樹高是4.45m．應選C．點評：解題的關鍵要知道竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值一樣．14．〔2015春?乳山市期末〕以下說法錯誤的選項是〔〕A．兩個等邊三角形一定相似B．兩個等腰三角形一定相似C．兩個等腰直角三角形一定相似D．兩個全等三角形一定相似考點：相似三角形的判定．分析：根據等邊三角形的性質和相似三角形的判定方法對A進展判斷；利用反例對B進展判斷；根據等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定方法對C進展判斷；根據全等三角形的性質和相似三角形的判定方法對D進展判斷．解答：解：A、兩個等邊三角形一定相似，所以A選項的說法正確；B、兩個等腰三角形不一定相似，如等邊三角形與等腰直角三角形不相似，所以B選項的說法錯誤；C、兩個等腰直角三角形一定相似，所以C選項的說法正確；D、兩個全邊三角形一定相似，所以D選項的說法正確．應選B．點評：此題考察了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．15．〔2015春?江津區(qū)校級月考〕如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點在CD、AD上滑動，當DM為〔〕時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．A．B．C．或D．或考點：相似三角形的判定；正方形的性質．分析：根據AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM與AB和BE是對應邊兩種情況利用相似三角形對應邊成比例求出CM與CN的關系，然后利用勾股定理列式計算即可．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似，∴①DM與AB是對應邊時，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM與BE是對應邊時，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM為或時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．應選C．點評：此題考察相似三角形的判定與性質、正方形的性質．解決此題特別要考慮到①DM與AB是對應邊時，②當DM與BE是對應邊時這兩種情況．二．填空題〔共4小題〕16．〔2015?自貢〕將一副三角板按圖疊放，那么△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．考點：相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：一副三角板按圖疊放，那么得到兩個相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性質相似三角形面積的比等于相似比的平方得到△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．解答：解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．故答案為：1：3．點評：此題考察對相似三角形性質的理解，相似三角形面積的比等于相似比的平方．17．〔2015?柳州〕如圖，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG落在BC上．假設BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為．考點：相似三角形的判定與性質；矩形的性質．專題：應用題；壓軸題．分析：設EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對應邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為EH的長．解答：解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴=，設EH=3x，那么有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴=，解得：x=，那么EH=．故答案為：．點評：此題考察了相似三角形的判定與性質，以及矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解此題的關鍵．18．〔2015?吉林〕如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，標桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，那么樓高CD為12m．考點：相似三角形的應用．專題：應用題．分析：先根據題意得出△ABE∽△ACD，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的值．解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16，∴=，∴CD=12．故答案為：12．點評：此題考察的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例的性質是解答此題的關鍵．19．〔2015?西城區(qū)二?！硟汕Ф嗄昵?，我國的學者墨子和他的學生做了小孔成像的實驗．他的做法是，在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現外面景物的倒像．小華在學習了小孔成像的原理后，利用如圖裝置來驗證小孔成像的現象．一根點燃的蠟燭距小孔20cm，光屏在距小孔30cm處，小華測量了蠟燭的火焰高度為2cm，那么光屏上火焰所成像的高度為3cm．考點：相似三角形的應用．專題：跨學科．分析：如圖，OE=20cm，OF=30cm，AB=2cm，通過證明△OAB∽△OCD得到=，然后利用比例性質求CD即可．解答：解：如圖，OE=20cm，OF=30cm，AB=2cm，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴=，即=，∴CD=3〔cm〕，即光屏上火焰所成像的高度為3cm．點評：此題考察了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度〔測量距離〕；借助標桿或直尺測量物體的高度．三．解答題〔共5小題〕20．〔2015?菏澤〕〔1〕如圖，M、N為山兩側的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞．工程人員為了計算工程量，必須計算M、N兩點之間的直線距離，選擇測量點A、B、C，點B、C分別在AM、AN上，現測得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N兩點之間的直線距離．〔2〕列方程〔組〕或不等式〔組〕解應用題：2015年的5月20日是第15個中國學生營養(yǎng)日，我市某校社會實踐小組在這天開展活動，調查快餐營養(yǎng)情況．他們從食品安全監(jiān)視部門獲取了一份快餐的信息〔如表〕．信息1、快餐成分：蛋白質、脂肪、碳水化合物和其他2、快餐總質量為400克3、碳水化合物質量是蛋白質質量的4倍假設這份快餐中所含的蛋白質與碳水化合物的質量之和不高于這份快餐總質量的70%，求這份快餐最多含有多少克的蛋白質考點：相似三角形的應用；一元一次不等式的應用．分析：〔1〕先根據相似三角形的判定得出△ABC相似與△AMN，再利用相似三角形的性質解答即可；〔2〕設這份快餐含有x克的蛋白質，根據所含的蛋白質與碳水化合物的質量之和不高于這份快餐總質量的70%，列出不等式，求解即可．解答：解：〔1〕在△ABC與△AMN中，∠A=∠A，，∴△ABC∽△AMN，∴，即，解得：MN=1.5千米，答：M、N兩點之間的直線距離是1.5千米；〔2〕設這份快餐含有x克的蛋白質，根據題意可得：x+4x≤400×70%，解不等式，得x≤56．答：這份快餐最多含有56克的蛋白質．點評：此題考察相似三角形和一元一次不等式的應用，關鍵是根據相似三角形的判定和性質解答問題，讀懂題意，找出題目中的數量關系，列出不等式，此題的數量關系是所含的蛋白質與碳水化合物的質量之和不高于這份快餐總質量的70%．21．〔2015?岳池縣模擬〕如圖，P是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上任意一點，AP分別交BD、CD于點M、N，求證：AM2=MN?MP．考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．專題：證明題．分析：可證明△ABM∽△NDM，△MBP∽△MDA，利用相似三角形的性質可證得結論．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BP，AB∥CD，∴△ABM∽△NDM，△MBP∽△MDA，∴=，=，∴=，∴A