2021-2022學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示，三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積（單位：cm2）等于（）A．75π B．77π C．65π D．55π參考答案：B【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】作出幾何體的三視圖，建立空間坐標(biāo)系，求出外接球的球心坐標(biāo)，從而可得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積．【解答】解：作出三棱錐的三視圖如圖所示：由三視圖可知AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=6，AC=5，AD=h，∴VD﹣ABC==20，∴h=4．以A為原點(diǎn)，以AC，AB，AD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，6，0），C（5，0，0），D（0，0，4）．設(shè)三棱錐的外接球的球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MD，∴x2+y2+z2=x2+（y﹣6）2+z2=（x﹣5）2+y2+z2=x2+y2+（z﹣4）2，解得x=，y=3，z=2，∴外接球的半徑r=MA==，∴外接球的表面積S=4πr2=77π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的三視圖，棱錐的體積計(jì)算，球與棱錐的位置關(guān)系，屬于中檔題．2.（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為曲線y=上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若?=6，則直線AB與圓x2+y2=的位置關(guān)系是（）A．相交B．相離C．相交或相切D．相切或相離參考答案：A【考點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】：直線與圓．【分析】：根據(jù)點(diǎn)A，B在曲線y=上不同兩點(diǎn)，從而設(shè)出A，B坐標(biāo)：A（），，而由?=6可得到x1x2=4，能夠?qū)懗鲋本€AB的方程，從而求出圓心即原點(diǎn)到直線AB的距離和圓半徑比較即可判斷出直線和圓的位置關(guān)系．解：設(shè)A（），；∴由得：，設(shè)，則：t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；∴x1x2=4；直線AB的斜率為k=；∴直線AB的方程為：；∴原點(diǎn)到該直線的距離為=；∴直線AB與圓的位置關(guān)系為相交．故選A．【點(diǎn)評(píng)】：考查根據(jù)曲線方程設(shè)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解一元二次方程，以及由兩點(diǎn)坐標(biāo)寫直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系．3.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，則a的值為（）A．1 B．2 C．-4 D．4參考答案：C略4.已知集合，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.函數(shù)f（x）=2x+log2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得，本題即求函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+log2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．6.已知一個(gè)棱長為2的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是A．8

B．

C．

D．參考答案：C7.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：D8.橢圓（m＞1）與雙曲線（n＞0）有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2．P是兩曲線的交點(diǎn)，則=（）A．4 B．2 C．1 D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題設(shè)中的條件，設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2m，雙曲線的實(shí)軸長為2n，由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m2﹣n2=2，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2n，△PF1F2中，由三邊的關(guān)系得出其為直角三角形，由△PF1F2的面積公式即可運(yùn)算得到結(jié)果．【解答】解：由題意設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2m，雙曲線的實(shí)軸長為2n，由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2．不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2n，①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2m，②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2n2+2m2，∴|PF1|?|PF2|=m2﹣n2=2，∴cos∠F1PF2|==0，∴△F1PF2的形狀是直角三角形△PF1F2的面積為?PF1?PF2=×2=1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長來．9.設(shè)集合，集合，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：A，選A.10.平面上動(dòng)點(diǎn)滿足，，,則一定有（

）

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，=，=______.參考答案：略12.已知，函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值是____.參考答案：【分析】本題主要考查含參絕對值不等式、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于能力型考題.從研究入手，令，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.【詳解】使得，使得令，則原不等式轉(zhuǎn)化為存在，由折線函數(shù)，如圖只需，即，即的最大值是【點(diǎn)睛】對于函數(shù)不等式問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.

13.已知向量，向量，且，則實(shí)數(shù)x等于______________.參考答案：9因?yàn)椋?，所以，解?4.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，

.參考答案：略15.lg22+lg2lg5+lg5=．參考答案：1考點(diǎn)： 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題： 計(jì)算題．分析： 利用lg2+lg5=1即可求得答案．解答： 解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴l(xiāng)g22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，注意lg2+lg5=1的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.若(x∈R)，則________.參考答案：-1略17.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值為．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=3，y=5時(shí)，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）設(shè)z=F（x，y）=x﹣y，將直線l：z=x﹣y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F（3，5）=﹣2故答案為：﹣2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知數(shù)列{an}滿足：a1=0且=1．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜1．參考答案：【考點(diǎn)】：數(shù)列遞推式．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）根據(jù)條件構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．【解答】：解：（1）∵=1．∴{}是公差為1的等差數(shù)列，又，則=1+n﹣1=n，故an=1﹣．（2）由（1）得bn===，則Sn=b1+b2+…+bn=1﹣=1﹣＜1．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用構(gòu)造法以及裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．19.(本小題滿分16分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，且圓C：過兩點(diǎn)．學(xué)科網(wǎng)（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程；（2）設(shè)直線的傾斜角為α，直線的傾斜角為β，當(dāng)β－α＝時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上；（3）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q，在滿足條件（2）的情形下證明：+．參考答案：20.(本題12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).

①；

②；

③；

④；

⑤.

(1)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式,并證明你的結(jié)論.參考答案：解:(1)選擇②式計(jì)算:.……4分(2)猜想的三角恒等式為:.……………6分

證明:

.…………12分

略21.已知函數(shù)的極小值為1.（1）求a的值；（2）當(dāng)b＞0時(shí)，對任意，有f(x)＜6成立，求整數(shù)b的最大值。參考答案：（1）詳見解析；（2）2.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，進(jìn)行分類討論，根據(jù)極值，求出的值；（2）由（1）可知，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)在的最大值，即，比較的大小，作差，設(shè)新函數(shù)，求導(dǎo)，最后可求出的最大值為，對任意，有成立，只需.設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)，最后求出整數(shù)b的最大值.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以無極值；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，令，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，故，因此的最大值為，而對任意，有成立，只需.令，則，所以，，在上單調(diào)遞增.由于，又由于b為正數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的極值，求參數(shù)問題，考查了函數(shù)在閉區(qū)間恒成立時(shí)，求參問題，解決問題的關(guān)鍵就是構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解證明.22.如圖，圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，AB是圓的直徑，過A點(diǎn)作圓的切線交圓于點(diǎn)E，并與BO1的延長線交于點(diǎn)P，PB分別