D二重積分概念計算

會計學1D二重積分概念計算2012.3第2頁總72頁解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”第1頁/共78頁2012.3第3頁總72頁1)“大化小”用任意曲線網分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體第2頁/共78頁2012.3第4頁總72頁4)“取極限”令第3頁/共78頁2012.3第5頁總72頁2.平面薄片的質量有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.第4頁/共78頁2012.3第6頁總72頁2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質量第5頁/共78頁2012.3第7頁總72頁兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:第6頁/共78頁2012.3第8頁總72頁二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第7頁/共78頁2012.3第9頁總72頁引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作第8頁/共78頁2012.3第10頁總72頁二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.第9頁/共78頁2012.3第11頁總72頁三、二重積分的性質(k

為常數(shù))為D的面積,則第10頁/共78頁2012.3第12頁總72頁特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為,則有第11頁/共78頁2012.3第13頁總72頁7.(二重積分的中值定理)證:

由性質6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此第12頁/共78頁2012.3第14頁總72頁例1.比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上第13頁/共78頁2012.3第15頁總72頁例2.判斷積分的正負號.解:

分積分域為則原式=猜想結果為負

但不好估計.舍去此項第14頁/共78頁2012.3第16頁總72頁例3.估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質5即:1.96I2D第15頁/共78頁2012.3第17頁總72頁8.設函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱,函數(shù)關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分,則有再如第16頁/共78頁2012.3第18頁總72頁四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的第17頁/共78頁2012.3第19頁總72頁同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算第18頁/共78頁2012.3第20頁總72頁例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第19頁/共78頁2012.3第21頁總72頁aaxz

y04.第20頁/共78頁2012.3第22頁總72頁Dy=0x

=0aaaaxoyD....xz

y0...4.第21頁/共78頁2012.3第23頁總72頁被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關系:第22頁/共78頁2012.3第24頁總72頁2.設D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有第23頁/共78頁2012.3第25頁總72頁3.計算解:第24頁/共78頁2012.3第26頁總72頁4.證明:其中D為解:

利用題中x,y

位置的對稱性,有又D的面積為1,故結論成立.第25頁/共78頁2012.3第27頁總72頁備用題1.估計的值,其中D

為解:

被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值第26頁/共78頁2012.3第28頁總72頁2.判斷的正負.解：當時，故又當時，于是第27頁/共78頁2012.3第29頁總72頁內容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(與定積分性質相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法第28頁/共78頁2012.3第30頁總72頁作業(yè)D9_1二重積分概念,計算P782,4(1,2,3),5(1,4)P951(1,2,4)第29頁/共78頁2012.3第31頁總72頁112教學計劃12學時1053月29日一§9.1二重積分概念、性質113月31日三§9.2二重積分計算（I）124月2日五§9.2二重積分計算(Ⅱ)1364月5日一§9.3三重積分144月9日五§9.4重積分的應用1574月12日一習題課2第30頁/共78頁2012.3第32頁總72頁

第九章第二節(jié)二重積分的計算法一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分*三、二重積分的換元法第31頁/共78頁2012.3第33頁總72頁一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則第32頁/共78頁2012.3第34頁總72頁當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于第33頁/共78頁2012.3第35頁總72頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第34頁/共78頁2012.3第36頁總72頁例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則第35頁/共78頁2012.3第37頁總72頁例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則第36頁/共78頁2012.3第38頁總72頁例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:如果先對y后對x積分,及直線則第37頁/共78頁2012.3第39頁總72頁例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第38頁/共78頁2012.3第40頁總72頁例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第39頁/共78頁2012.3第41頁總72頁0yx

D:x+y=1,x–y=1，x=0所圍11–1先對y積分.y=1–xy=x–1.10.將二重積分化成二次積分第40頁/共78頁2012.3第42頁總72頁0y

xD:x+y=1,x–y=1，x=0所圍11–1先對

y

積分.先對x積分D1D2.x=1–yx=y+1（不分塊兒行嗎？）10.將二重積分化成二次積分.第41頁/共78頁2012.3第43頁總72頁

D:

由四條直線:x=3，x=5,

3x–2y+4=0,3x–2y+1=0

共同圍成的區(qū)域

oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D.D1D2D3先對y積分先對x積分..（需分塊）..（需分塊）11.將二重積分化成二次積分第42頁/共78頁2012.3第44頁總72頁

D:..0y

x11y=xy=x2.12.將二重積分換序第43頁/共78頁2012.3第45頁總72頁D:..0y

xaa....x=y13.將二重積分換序分第44頁/共78頁2012.3第46頁總72頁例5.計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,第45頁/共78頁2012.3第47頁總72頁一先對x積分yxoabDyxoabDyxoabD....14.(練習)將二重積分化成二次積分第46頁/共78頁2012.3第48頁總72頁二先對y積分yxoabyxoabyxoabDDD....14.(練習)將二重積分化成二次積分.第47頁/共78頁2012.3第49頁總72頁二.利用極坐標

計算二重積分第48頁/共78頁2012.3第50頁總72頁15.為什么引用極坐標計算二重積分21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計算？需使用極坐標系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!第49頁/共78頁2012.3第51頁總72頁極坐標系下的面積元素將變換到極坐標系0D用坐標線:=常數(shù)；r

=常數(shù)

分割區(qū)域Diriri+1...

...16.利用極坐標計算二重積分iii+iI=rir..第50頁/共78頁2012.3第52頁總72頁17.怎樣利用極坐標計算二重積分(1)極點不在區(qū)域D的內部

0ABFEDD:

rr第51頁/共78頁2012.3第53頁總72頁17.怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.極點不在區(qū)域D的內部

r標第52頁/共78頁2012.3第54頁總72頁17.怎樣利用極坐標計算二重積分(1)0ABFEDD:.

步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標形式；3面積元素dxdy化為rdrd.極點不在區(qū)域D的內部

r第53頁/共78頁2012.3第55頁總72頁極點位于區(qū)域D的內部

0DrD:18.怎樣利用極坐標計算二重積分(2)r第54頁/共78頁2012.3第56頁總72頁D:D018.怎樣利用極坐標計算二重積分(2).極點位于區(qū)域D的內部

r第55頁/共78頁2012.3第57頁總72頁D:.D0

步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標形式；3面積元素dxdy化為rdrd18.怎樣利用極坐標計算二重積分(2)極點位于區(qū)域D的內部

r第56頁/共78頁2012.3第58頁總72頁若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)第57頁/共78頁2012.3第59頁總72頁0y

x2a..解19..第58頁/共78頁2012.3第60頁總72頁此題用直角系算麻煩，需使用極坐標系！21D0y

xD:變換到極坐標系..20.計算D:=1和

=2

圍成第59頁/共78頁2012.3第61頁總72頁例6.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.第60頁/共78頁2012.3第62頁總72頁注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6的結果,得①故①式成立.第61頁/共78頁2012.3第63頁總72頁2R區(qū)域邊界：x=00y

x即

r=2Rsinr=2Rsin21.第62頁/共78頁2012.3第64頁總72頁0y

x12

y=xD...22.第63頁/共78頁2012.3第65頁總72頁0y

x4r=4cosr=8cos8D1223.計算y=2xx=y第64頁/共78頁2012.3第66頁總72頁0y

xr=8cosD48.r=4cos2123..計算I=第65頁/共78頁2012.3第67頁總72頁例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:

設由對稱性可知第66頁/共78頁2012.3第68頁總72頁P96,12.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分解積分區(qū)域D如圖所示

并且第67頁/共78頁2012.3第69頁總72頁P96,12.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分解積分區(qū)域D如圖所示

并且第68頁