D傅立葉級數(shù)改

會計學(xué)1D傅立葉級數(shù)改2023/1/182一、近似計算(僅講例1,3,5)例1.

計算的近似值,精確到解:

目錄上頁下頁結(jié)束第1頁/共41頁2023/1/183例3.利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)誤差不超過的近似值,并估計

目錄上頁下頁結(jié)束第2頁/共41頁2023/1/184例5.

計算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在

x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間上連續(xù),且有冪級數(shù)展開式:

目錄上頁下頁結(jié)束第3頁/共41頁2023/1/185二、歐拉(Euler)公式則稱①收斂

,且其和為絕對收斂收斂.若收斂,若對復(fù)數(shù)項級數(shù)①絕對收斂則稱①絕對收斂.由于,故知

目錄上頁下頁結(jié)束第4頁/共41頁2023/1/186定義:

復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個復(fù)平面上絕對收斂.當(dāng)y=0時,它與實指數(shù)函數(shù)當(dāng)x=0時,的冪級數(shù)展式一致.

目錄上頁下頁結(jié)束第5頁/共41頁2023/1/187（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式則

目錄上頁下頁結(jié)束第6頁/共41頁2023/1/188據(jù)此可得(德莫弗公式)利用冪級數(shù)的乘法,不難驗證特別有

目錄上頁下頁結(jié)束第7頁/共41頁2023/1/189一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

第十一章第七節(jié)傅里葉級數(shù)

目錄上頁下頁結(jié)束第8頁/共41頁2023/1/1810一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).

目錄上頁下頁結(jié)束第9頁/共41頁2023/1/1811證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在

目錄上頁下頁結(jié)束定理1.

三角級數(shù)的函數(shù)系第10頁/共41頁2023/1/1812上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在

目錄上頁下頁結(jié)束第11頁/共41頁2023/1/1813二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得

目錄上頁下頁結(jié)束第12頁/共41頁2023/1/1814(利用正交性)類似地,

用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得

目錄上頁下頁結(jié)束第13頁/共41頁2023/1/1815葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù).稱為函數(shù)

目錄上頁下頁結(jié)束第14頁/共41頁2023/1/1816定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.

目錄上頁下頁結(jié)束第15頁/共41頁2023/1/1817例1.

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).

目錄上頁下頁結(jié)束第16頁/共41頁2023/1/1818

目錄上頁下頁結(jié)束第17頁/共41頁2023/1/18191)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.

目錄上頁下頁結(jié)束第18頁/共41頁2023/1/1820例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在

目錄上頁下頁結(jié)束第19頁/共41頁2023/1/1821說明:

當(dāng)時,級數(shù)收斂于

目錄上頁下頁結(jié)束第20頁/共41頁2023/1/1822周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它

目錄上頁下頁結(jié)束第21頁/共41頁2023/1/1823例3.

將函數(shù)級數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),

目錄上頁下頁結(jié)束第22頁/共41頁2023/1/1824利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:

目錄上頁下頁結(jié)束第23頁/共41頁2023/1/1825設(shè)已知又

目錄上頁下頁結(jié)束第24頁/共41頁2023/1/1826三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)

f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為

目錄上頁下頁結(jié)束第25頁/共41頁2023/1/1827例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此

目錄上頁下頁結(jié)束第26頁/共41頁2023/1/1828n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5

目錄上頁下頁結(jié)束第27頁/共41頁2023/1/1829例5.

將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此

目錄上頁下頁結(jié)束第28頁/共41頁2023/1/18302.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成

目錄上頁下頁結(jié)束第29頁/共41頁2023/1/1831例6.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,

目錄上頁下頁結(jié)束第30頁/共41頁2023/1/1832注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得f(x)=x+1的值不同.

目錄上頁下頁結(jié)束第31頁/共41頁2023/1/1833再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,

目錄上頁下頁結(jié)束第32頁/共41頁2023/1/1834說明:

令

x=0

可得即

目錄上頁下頁結(jié)束第33頁/共41頁2023/1/1835內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于

目錄上頁下頁結(jié)束第34頁/共41頁2023/1/18362.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第35頁/共41頁2023/1/1837處收斂于2.則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為

,

目錄上頁下頁結(jié)束第36頁/共41頁2023/1/1838備用題

1.葉級數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目錄上頁下頁結(jié)束第37頁/共41頁2023/1/18392.

設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令

目錄上頁下頁結(jié)束第38頁/共41頁2023/1/1840傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻,他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

目錄上頁下頁結(jié)束第39頁/共41頁2023/1/1841狄利克雷