D對(duì)坐標(biāo)曲面積分

會(huì)計(jì)學(xué)1D對(duì)坐標(biāo)曲面積分其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共27頁(yè)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共27頁(yè)對(duì)一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共27頁(yè)設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)的任

則稱此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積2.定義.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共27頁(yè)引例中,流過(guò)有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對(duì)

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對(duì)

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對(duì)

y,z

的曲面積分;若記正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫(xiě)成如下向量形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共27頁(yè)3.性質(zhì)(1)若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用ˉ表示的反向曲面,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共27頁(yè)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共27頁(yè)

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明:如果積分曲面取下側(cè),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共27頁(yè)例1.

計(jì)算其中是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用對(duì)稱性.原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共27頁(yè)解:

把分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共27頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共27頁(yè)例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對(duì)稱性,有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共27頁(yè)四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫(huà)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共27頁(yè)令向量形式(A在

n上的投影)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共27頁(yè)例4.

位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為解:。求E

通過(guò)球面:r=R外側(cè)的電通量

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共27頁(yè)例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共27頁(yè)例6.

計(jì)算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共27頁(yè)原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共27頁(yè)內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共27頁(yè)性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個(gè)與的方向無(wú)關(guān),一個(gè)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共27頁(yè)2.常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)/共27頁(yè)當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共27頁(yè)思考與練習(xí)1.P167題2提示:

設(shè)則取上側(cè)時(shí),取下側(cè)時(shí),2.P184題13.P167題3(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)/共27頁(yè)是平面在第四卦限部分的上側(cè),計(jì)算提示:求出的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P167題3(3).

設(shè)作業(yè)

P1673(1),(2),(4);4(1),(2)第六節(jié)目