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2023年四川省資陽(yáng)市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.
2.
3.設(shè)y=5x,則y'=A.A.5xln5
B.5x/ln5
C.x5x-1
D.5xlnx
4.A.A.橢球面B.圓錐面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.柱面
5.曲線y=x2+5x+4在點(diǎn)(-1,0)處切線的斜率為
A.2B.-2C.3D.-3
6.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則下列命題中正確的是().A.A.f(x)在點(diǎn)x0必定可導(dǎo)
B.f(x)在點(diǎn)x0必定不可導(dǎo)
C.
D.
7.
8.
9.設(shè)f(x)為連續(xù)的奇函數(shù),則等于().A.A.2af(x)
B.
C.0
D.f(a)-f(-a)
10.
11.
12.
13.∫sin5xdx等于().
A.A.
B.
C.
D.
14.
15.
A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x
16.過(guò)點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程為().
A.x+y+z=1
B.2x+y+z=1
C.x+2y+z=1
D.x+y+2z=1
17.
18.設(shè)z=x3-3x-y,則它在點(diǎn)(1,0)處
A.取得極大值B.取得極小值C.無(wú)極值D.無(wú)法判定19.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex
20.曲線y=lnx-2在點(diǎn)(e,-1)的切線方程為()A.A.
B.
C.
D.
二、填空題(20題)21.
22.23.24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.設(shè)f(x)=1+cos2x,則f'(1)=__________。
31.
32.設(shè)函數(shù)z=f(x,y)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則全微分出dz=______.
33.34.
35.
36.
37.________.38.=______.
39.
40.三、計(jì)算題(20題)41.
42.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
43.
44.求微分方程的通解.45.46.
47.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.48.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
49.
50.51.證明:52.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).
53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
54.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
55.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.56.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).57.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.58.59.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則60.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.四、解答題(10題)61.62.展開(kāi)成x-1的冪級(jí)數(shù),并指明收斂區(qū)間(不考慮端點(diǎn))。
63.設(shè)z=x2+y/x,求dz。
64.
65.
66.設(shè)z=z(x,y)由ez-xyz=1所確定,求全微分dz。
67.
68.69.求70.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.f(z,y)=e-x.sin(x+2y),求
六、解答題(0題)72.將周長(zhǎng)為12的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體,問(wèn)繞邊長(zhǎng)為多少的邊旋轉(zhuǎn)才能使圓柱體的體積最大?
參考答案
1.A
2.C
3.A由導(dǎo)數(shù)公式可知(5x)'=5xln5,故選A。
4.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二次曲面的方程.
5.C解析:
6.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限、連續(xù)與可導(dǎo)性的關(guān)系.
這些性質(zhì)考生應(yīng)該熟記.由這些性質(zhì)可知本例應(yīng)該選C.
7.B
8.C
9.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的對(duì)稱性.
由定積分的對(duì)稱性質(zhì)可知:若f(x)為[-a,a]上的連續(xù)的奇函數(shù),則
可知應(yīng)選C.
10.A
11.A解析:
12.D
13.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的換元積分法.
,可知應(yīng)選D.
14.D
15.B解析:
16.A設(shè)所求平面方程為.由于點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在平面上,將它們的坐標(biāo)分別代入所設(shè)平面方程,可得方程組
故選A.
17.D
18.C
19.C
20.D
21.
22.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.
注意此處冪級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形.
23.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5).
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為平面與直線的方程.
由題設(shè)條件可知應(yīng)該利用點(diǎn)法式方程來(lái)確定所求平面方程.
所給直線z的方向向量s=(3,-1,1).若所求平面π垂直于直線1,則平面π的法向量n∥s,不妨取n=s=(3,-1,1).則由平面的點(diǎn)法式方程可知
3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0,
即3(x-1)-(y+2)+z=0
為所求平面方程.
或?qū)憺?x-y+z-5=0.
上述兩個(gè)結(jié)果都正確,前者3(x-1)-(y+2)+z=0稱為平面的點(diǎn)法式方程,而后者3x-y+z-5=0
稱為平面的-般式方程.24.3yx3y-1
25.
26.2m2m解析:
27.e1/2e1/2
解析:
28.2/329.2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算.
由于所給極限為“”型極限,由極限四則運(yùn)算法則有
30.-2sin2
31.yxy-132.依全微分存在的充分條件知
33.
34.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式.
35.-2-2解析:
36.
37.38.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法。設(shè)t=x/2,則x=2t,dx=2dt.當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)x=π時(shí),t=π/2。因此
39.40.±1.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為判定函數(shù)的間斷點(diǎn).
41.
42.
43.
則
44.
45.46.由一階線性微分方程通解公式有
47.
48.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
49.
50.
51.
52.
列表:
說(shuō)明
53.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
54.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%55.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
56.57.由二重積分物理意義知
58.
59.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知
60.
61.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分.
當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí),應(yīng)將積分區(qū)間分為幾個(gè)子區(qū)間,使被積函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)有唯一的表達(dá)式.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的四則運(yùn)算法則.
由于分母中含有根式,可以先將分子、分母同乘以
70.
71.f(xy)=e-x.sin(x+2y)∴fx"(zy)=一e-x.sin(
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