常數(shù)項級數(shù)的審斂法

會計學(xué)1常數(shù)項級數(shù)的審斂法定理2(比較審斂法)設(shè)和為正項級數(shù)，且，那么(1)若收斂，則收斂；(2)若發(fā)散，則發(fā)散。，第1頁/共48頁證(1)記的部分和為的部分和為，即收斂有上界有上界收斂(定理1)(定理1)第2頁/共48頁(2)收斂發(fā)散(反證)假設(shè)則由(1)的結(jié)果得：收斂這與已知發(fā)散矛盾！證畢。第3頁/共48頁推論1設(shè)和為正項級數(shù)。，(1)則收斂。，又若收斂，，(2)則發(fā)散。，又若發(fā)散，第4頁/共48頁例1討論的收斂性。解(1)時.發(fā)散發(fā)散(比較)第5頁/共48頁(2)時.對任意自然數(shù)當(dāng)時，即即即第6頁/共48頁即，考察級數(shù)收斂第7頁/共48頁收斂，又收斂(推論1)由(1)(2)得：收斂，發(fā)散，第8頁/共48頁發(fā)散。例2證明證又發(fā)散發(fā)散(比較)第9頁/共48頁的收斂性。例3判斷級數(shù)證又收斂收斂(比較)（等比級數(shù)，）第10頁/共48頁定理3設(shè)和為正項級數(shù)。時，(1)當(dāng)(比較審斂法的極限形式)記，那么與的收斂性相同.時，(2)當(dāng)收斂.若收斂，則時，(3)當(dāng)發(fā)散.若發(fā)散，則第11頁/共48頁證(1)當(dāng)時.按定義得：對于，使得當(dāng)時，就有即即第12頁/共48頁即,收斂.若收斂，則發(fā)散.若發(fā)散，則上式也可寫為,收斂.若收斂，則發(fā)散.若發(fā)散，則(推論1)(推論1)(推論1)第13頁/共48頁(2)(3)(自己證)例4判定下列級數(shù)的收斂性推論2給了正項級數(shù)和.若，則與的收斂性相同.第14頁/共48頁定理4(比值審斂法)給了正項級數(shù)若，則(1)收斂；(2)發(fā)散；(3)不能判定。第15頁/共48頁證顯然，(1)存在使得記則對上述存在，使得就有即即第16頁/共48頁即收斂收斂(比較)收斂(性質(zhì))第17頁/共48頁(2)存在使得記則對上述存在，使得就有即第18頁/共48頁即發(fā)散(級數(shù)收斂的必要條件)即這表明：又第19頁/共48頁對存在，使得就有即發(fā)散(級數(shù)收斂的必要條件)這表明：又第20頁/共48頁(3)例該級數(shù)發(fā)散例該級數(shù)收斂第21頁/共48頁定理5(根值審斂法)給了正項級數(shù)若，則(1)收斂；(2)發(fā)散；(3)不能判定。第22頁/共48頁證明：類似定理4的證明（略）說明定理4和定理5中的條件只是使結(jié)論成立的充分條件，而非必要條件。反例：正項級數(shù)收斂但不存在.第23頁/共48頁例5判定下列級數(shù)的收斂性第24頁/共48頁例6證明級數(shù)收斂，并估計以部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差。解收斂設(shè)它的和為，(根值審斂法)第25頁/共48頁即第26頁/共48頁補充內(nèi)容：（不證）柯西積分審斂法如果在區(qū)間非負、連續(xù)、單調(diào)遞減，則正項級數(shù)與反常積分的收斂性相同。上第27頁/共48頁例7判定的收斂性。解設(shè)，則在上，非負、連續(xù)、單調(diào)遞減。發(fā)散發(fā)散(柯西積分審斂法)練習(xí)：判定的收斂性。第28頁/共48頁二、交錯級數(shù)交錯級數(shù)：各項為正負交錯出現(xiàn)的級數(shù)。即：形如或第29頁/共48頁定理6（萊布尼茨定理）若交錯級數(shù)滿足條件：則(1)該交錯級數(shù)收斂，且其和(2)第30頁/共48頁證設(shè)交錯級數(shù)的部分和為先考察.由條件(1)得：即(*)的子列第31頁/共48頁存在，設(shè)極限值為，則有再考察.的子列即收斂，其和為[由條件（2）]第32頁/共48頁在(*)式中，令取極限，得即即即第33頁/共48頁證畢。第34頁/共48頁例8討論交錯級數(shù)的收斂性，并估計的值。解又交錯級數(shù)收斂，(萊布尼茨定理)且第35頁/共48頁三、任意項級數(shù)任意項級數(shù)：正、負項的出現(xiàn)是任意的級數(shù)。是任意項級數(shù)，怎樣判定它的收斂性？是正項級數(shù)，我們會判定它的收斂性。那么，現(xiàn)在的問題是：的收斂性與的收斂性之間有什么關(guān)系？第36頁/共48頁定理7若收斂，則收斂。證又，，收斂收斂,收斂(比較)第37頁/共48頁收斂(性質(zhì))證畢。注意反之不然。反例：收斂，但發(fā)散。第38頁/共48頁定義給了任意項級數(shù)(1)如果收斂，則稱是絕對收斂的。(2)如果發(fā)散，則稱是條件收斂的。但收斂第39頁/共48頁例如：絕對收斂條件收斂說明：由定理7得：絕對收斂收斂第40頁/共48頁例9判定的收斂性。解這是任意項級數(shù)。先考慮的收斂性，又收斂它是正項級數(shù)。收斂(比較)絕對收斂即收斂第41頁/共48頁注意收斂收斂發(fā)散發(fā)散一般地，但是，如果是用比值審斂法或根值審斂法得出發(fā)散,則可斷定發(fā)散。第42頁/共48頁例10判定級數(shù)的收斂性。解這是任意項級數(shù)。先考慮的收斂性。第43頁/共48頁發(fā)散發(fā)散(根值審斂法)第44頁/共48頁練習(xí)判定下列級數(shù)的收斂