第十一章2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法_第1頁
第十一章2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法_第2頁
第十一章2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法_第3頁
第十一章2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法_第4頁
第十一章2節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法_第5頁
免費預覽已結(jié)束,剩余26頁可下載查看

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

2第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法一.正項級數(shù)及一般審斂法則若定理1

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,則由于則部分和數(shù)列有界,故從而又已知因此它有界.則稱為正項級數(shù).收斂,單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”3定理2(比較審斂法)設和是兩個正項級數(shù),且存在對一切有(常數(shù)k>0)(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)證:因為級數(shù)前加、減有限項不改變級數(shù)的斂散性,因此不妨設對一切令則有:收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.和分別表示強級數(shù)和弱級數(shù)的部分和,則有都有4(1)若強級數(shù)則有因此對一切有由定理

1

可知,弱級數(shù)則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,5解由圖可知6重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).78910定理3.(比較審斂法的極限形式)設和是兩個正項級數(shù),若則有(1)當時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當且級數(shù)收斂時,級數(shù)也收斂;(3)當且級數(shù)發(fā)散時,級數(shù)也發(fā)散.證:根據(jù)極限定義,對存在當時,即有11(1)當時,取由定理

2

可知級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散;(2)當時,由定理2可知,若級數(shù)收斂,也收斂.利用(3)當時,存在當時,即由定理2可知,若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.則級數(shù)12~例4.判別級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知級數(shù)發(fā)散.例8.

判別級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知收斂.~1314二.比值審斂法和根值審斂法1.比值審斂法定理4設為正項級數(shù),且則(1)當(2)當證:(1)當由取使收斂,收斂.時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.時,知存在當時由比較審斂法可知,級數(shù)15或時,必存在當因此所以級數(shù)發(fā)散.時,(2)當說明:當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

p-級數(shù)但級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散16解17比值審斂法失效,改用比較審斂法18例7.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)發(fā)散.而192.根值審斂法定理5設為正項級數(shù),且則(1)當時,級數(shù)收斂;(2)當時,級數(shù)發(fā)散.20時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

p-級數(shù)說明:但級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散2122三.交錯級數(shù)及其審斂法各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件則級數(shù)收斂,且其和其余項的絕對值萊布尼茲

(德)

1646~171623證:顯然是單調(diào)遞增有界數(shù)列,因此有又故級數(shù)收斂于S,且的余項:24收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂2526四.絕對收斂與條件收斂定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,收斂,原級數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如:絕對收斂;則稱原級數(shù)條件收斂

.則稱可以證明:絕對收斂的級數(shù)一定收斂.27例17.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.28(2)令因此收斂,絕對收斂.293031作業(yè)11-2:P2681(3)

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論