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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是函數(shù)圖象上的一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.2.三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.5.已知復數(shù),,則()A. B. C. D.6.設命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.7.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.08.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.9.數(shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.410.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.312.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關于直線對稱.其中正確命題的序號為______.14.已知向量,,若,則實數(shù)______.15.在中,,,則_________.16.函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,點是直線上的動點,為定點,點為的中點,動點滿足,且,設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線交曲線于,兩點,為曲線上異于,的任意一點,直線,分別交直線于,兩點.問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.18.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.19.(12分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標準方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.21.(12分)隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強,人民的生活水平逐步提高,為了進一步改善民生,2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用②子女教育費用③繼續(xù)教育費用④大病醫(yī)療費用等.其中前兩項的扣除標準為:①贍養(yǎng)老人費用:每月扣除2000元②子女教育費用:每個子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內容如下:級數(shù)一級二級三級四級每月應納稅所得額(含稅)不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無其它專項附加扣除.請問李某月應繳納的個稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領的相關資料,通過整理資料可知,有一個孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專項附加扣除(受統(tǒng)計的500人中,任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計總體的思想,試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望.22.(10分)已知數(shù)列滿足(),數(shù)列的前項和,(),且,.(1)求數(shù)列的通項公式:(2)求數(shù)列的通項公式.(3)設,記是數(shù)列的前項和,求正整數(shù),使得對于任意的均有.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設,則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設,則,然后構造函數(shù),利用導數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設,則,設,記,則,令,因為在上單調遞增,且,所以當時,;當時,,則在上單調遞減,在上單調遞增,所以,即,所以(當時等號成立).故選:C【點睛】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值,利用了導數(shù)求解,考查了轉化思想和運算能力,屬于難題.2.B【解析】

設,,,根據(jù)向量線性運算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:【點睛】本題考查異面直線所成角的求解,關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.3.B【解析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.4.D【解析】

根據(jù)面面關系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.5.B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復數(shù)問題是高考數(shù)學中的常考問題,屬于得分題,主要考查的方面有:復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負問題.6.C【解析】

命題:函數(shù)在上單調遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當時,,即函數(shù)在上單調遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性、正弦定理、三角形邊角大小關系、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.7.B【解析】

根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選:B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎題.8.D【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離,再加上側面三角形的高,即可求解.【詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質可得,又由到底面的距離即為側面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征,以及球的性質的綜合應用,著重考查了數(shù)形結合思想,以及推理與計算能力,屬于基礎題.9.D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.10.B【解析】

根據(jù)分段函數(shù),分當,,將問題轉化為的零點問題,用數(shù)形結合的方法研究.【詳解】當時,,令,在是增函數(shù),時,有一個零點,當時,,令當時,,在上單調遞增,當時,,在上單調遞減,所以當時,取得最大值,因為在上有3個零點,所以當時,有2個零點,如圖所示:所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題,還考查了數(shù)形結合的思想和轉化問題的能力,屬于中檔題.11.A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當取2時,常數(shù)項為,當取時,常數(shù)項為由題知,則.故選:A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對所取的項要進行分類討論,屬于基礎題.12.D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.①【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關系可判斷①;由零點存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點,比如在存在零點,但是,故②錯誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關于直線對稱,即對稱,故④錯誤.故答案為:①.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14.-2【解析】

根據(jù)向量坐標運算可求得,根據(jù)平行關系可構造方程求得結果.【詳解】由題意得:,解得:本題正確結果:【點睛】本題考查向量的坐標運算,關鍵是能夠利用平行關系構造出方程.15.【解析】

先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎題.16.【解析】

根據(jù)圖象利用,先求出的值,結合求出,然后利用周期公式進行求解即可.【詳解】解:由,得,,,則,,,即,則函數(shù)的最小正周期,故答案為:8【點睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)是定值,.【解析】

(1)設出M的坐標為,采用直接法求曲線的方程;(2)設AB的方程為,,,,求出AT方程,聯(lián)立直線方程得D點的坐標,同理可得E點的坐標,最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】(1)設動點M的坐標為,由知∥,又在直線上,所以P點坐標為,又,點為的中點,所以,,,由得,即;(2)設直線AB的方程為,代入得,設,,則,,設,則,所以AT的直線方程為即,令,則,所以D點的坐標為,同理E點的坐標為,于是,,所以,從而,所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.18.(1)證明見詳解;(2).【解析】

(1)取中點為,通過證明//,進而證明線面平行;(2)取中點為,以為坐標原點建立直角坐標系,求得兩個平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點,連結,,如下圖所示:在中,因為為的中點,,且,又為的中點,,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點,連結,,則,平面,以為原點,分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標系,如下圖所示:則,,,,,,,,設平面的一個法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.19.(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對應的橢圓的上頂點,即可以求得橢圓中相應的參數(shù),結合橢圓的離心率的大小,求得相應的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對應點的坐標,進一步求得向量的坐標,將S表示為關于k的函數(shù)關系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結果.詳解:(Ⅰ)依題意得對:,,得:;同理:.(Ⅱ)設直線的斜率分別為,則MA:,與橢圓方程聯(lián)立得:,得,得,,所以同理可得.所以,從而可以求得因為,所以,不妨設,所以當最大時,,此時兩直線MA,MB斜率的比值.點睛:該題考查的是有關橢圓與直線的綜合題,在解題的過程中,注意橢圓的對稱性,以及其特殊性,與y軸的交點即為橢圓的上頂點,結合橢圓焦點所在軸,得到相應的參數(shù)的值,再者就是應用離心率的大小找參數(shù)之間的關系,在研究直線與橢圓相交的問題時,首先設出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,求得結果,注意從函數(shù)的角度研究問題.20.(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉換關系的應用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.(2)利用(1)的結論,進一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關系式的應用求出結果.【詳解】解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為,轉換為直角坐標方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉換為標準式為(為參數(shù)),代入圓的直角坐標方程整理得,所以,..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點:主要考查極坐標,參數(shù)方程與普通方程互化,及求三角形面積.需要熟記極坐標系與參數(shù)方程的公式,及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路.21.(1)李某月應繳納的個稅金額為元,(2)分布列詳見解析,期望為1150元【解析】

(1)分段計算個人所得稅額;

(2)隨機變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】解:(1)李某月應納稅所得額(含稅)為:29600?5000?1000?2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000×3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000×10%=900元,

超過12000元至25000元的部分稅額為9600×20%=1920元

所以李某月應繳納的個稅金額為90+900+1920=2910元,

(2)有一個孩子需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000?2000=12000元,

月應繳納的個稅金額為:90+9

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