廣東省揭陽市一中等三校重點中學2022年高考考前模擬數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．2．設，，，則的大小關系是()A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．5．復數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．26．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．7．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．89．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度10．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．11．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.14．若函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②的圖象關于點對稱.則同時滿足①②的，的一組值可以分別是__________.15．下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.16．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項和，若，且，則公比的值為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，①若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；②若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，，直線過點，且與拋物線交于，兩點．（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）求的最大值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．22．（10分）已知分別是內(nèi)角的對邊，滿足（1）求內(nèi)角的大?。?）已知，設點是外一點，且，求平面四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題.2．A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.3．A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關于直線的對稱直線為，當時，，，當時，，則當時，，單減，當時，，單增；當時，，，當，,當時，單減，當時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當與（）相切時，得，解得；當與（）相切時，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關鍵，屬于中檔題4．A【解析】

利用復數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.【詳解】由復數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎題.5．B【解析】

對復數(shù)進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.6．A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題.7．D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.8．B【解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.9．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：10．C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.11．A【解析】

由復數(shù)的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復數(shù)的運算．屬于簡單題．12．A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．14．，【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關于點對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及，可取，則，由的圖象關于點對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.15．【解析】

根據(jù)流程圖，運行程序即得.【詳解】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點睛】本題考查算法流程圖，是基礎題.16．【解析】

將已知由前n項和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因為即又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，故故答案為：【點睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項和關系求公比，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；①；②.【解析】

根據(jù)題意列出方程組求解即可；①由原點為的垂心可得，軸，設，則，，根據(jù)求出線段的長；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，設：，，，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據(jù)求解即可.【詳解】解：設焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題意知：，故軸，設，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1；設：，，，則，，則，則：，，代入式子得：，設到直線的距離為，則時，；綜上，原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的知識點，結(jié)合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的知識，屬于難題.18．（1），；（2）1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，P（2，y0）是拋物線上一點，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個不同實根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當m時，取最大值1．【點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．19．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20．（1）或；（2）.【解析】

（1）利用絕對值的幾何意義，將不等式，轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.（2）根據(jù)-2在R上恒成立，由絕對值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】（1）原不等式等價于或或，解得：或，∴不等式的解集為或.（2）因為-2在R上恒成立，而，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面的性質(zhì)定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，,得，，而，設平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【點睛】本