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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1002.設(shè),是非零向量,若對(duì)于任意的,都有成立,則A. B. C. D.3.已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為,將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.4.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.5.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)6.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.7.已知雙曲線:的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,若存在點(diǎn)滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.58.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.9.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái),現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專(zhuān)項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中,“閱讀文章”不能放首位,四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有()A.60 B.192 C.240 D.43210.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.811.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.12.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正方體中,已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),二面角的余弦值為;④若正方體的棱長(zhǎng)為2,則的最小值為;其中說(shuō)法正確的是____________(寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào))14.已知函數(shù)則______.15.已知橢圓Г:,F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn),A為橢圓Г的上頂點(diǎn),延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B,若為等腰三角形,則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.16.設(shè)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),若,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,在上,且面.(1)求證:是的中點(diǎn);(2)在上是否存在點(diǎn),使二面角為直角?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)在中,、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長(zhǎng).19.(12分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求和的直角坐標(biāo)方程;(2)已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),證明:直線.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度容易.2.D【解析】
畫(huà)出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫(huà)出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量,如圖,當(dāng),即時(shí),最小,滿足,對(duì)于任意的,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點(diǎn)到直線的距離最短問(wèn)題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,結(jié)合為函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸可求得,代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換,即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù),由輔助角公式化簡(jiǎn)可得,因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸,代入可得,即,化簡(jiǎn)可解得,即,所以將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得,則,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用,三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的應(yīng)用,三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用,屬于中檔題.4.D【解析】
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.5.C【解析】
畫(huà)出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.6.D【解析】
通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.7.B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時(shí),一般是把已知條件,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.8.B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)椋?,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.9.C【解析】
四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起,和另外一個(gè)答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類(lèi).【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起,和另外一個(gè)答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題.對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法,不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.10.A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.11.A【解析】
設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理,可判斷命題②;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過(guò)作平面交于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和兩點(diǎn)之間線段最短,可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則:,,所以,設(shè)面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過(guò)作平面交于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),則,所以,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關(guān)系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的思想,兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解,屬于難度題.14.【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”,屬于容易題.15.【解析】
由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設(shè),由題可得的長(zhǎng),在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的關(guān)系,從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖,若為等腰三角形,則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t,則|BF1|=2a?t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,設(shè)∠BAO=θ,則∠BAF1=2θ,所以Г的離心率e=,結(jié)合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔題.16.1【解析】
根據(jù)為定義在上的偶函數(shù),得,再根據(jù)當(dāng)時(shí),(為常數(shù))求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù),所以,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:(1)連交于可得是中點(diǎn),再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果;(2)取中點(diǎn),由(1)知兩兩垂直.以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的一個(gè)法向量,用表示面的一個(gè)法向量,由可得結(jié)果.試題解析:(1)證明:連交于,連是矩形,是中點(diǎn).又面,且是面與面的交線,是的中點(diǎn).(2)取中點(diǎn),由(1)知兩兩垂直.以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則各點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求,且,則由得:,面的一個(gè)法向量為,面的一個(gè)法向量為,由,得,解得,故存在,使二面角為直角,此時(shí).18.(1);(2).【解析】
(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.19.【解析】
利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.20.(1)..(2)最大距離為.【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.(2)曲線的參數(shù)方程為,設(shè),計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】(1)由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)可知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,則到直線的距離為,所以線段的中點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,距離的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21.(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類(lèi)討論的范圍,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出
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