江蘇省如皋、如東2022年高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．2．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對(duì) B．3對(duì)C．4對(duì) D．5對(duì)4．已知直線：與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓：交于、兩點(diǎn).若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．6．若雙曲線的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．7．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．9．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．10．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件11．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號(hào)是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④12．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時(shí)，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.14．曲線y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0，3)處的切線方程為_(kāi)_______．15．展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)為160，則的值為_(kāi)_____.16．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，若尺寸落在區(qū)間之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件，其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求樣本平均數(shù)的大??；（2）若一個(gè)零件的尺寸是100cm，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.18．（12分）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．19．（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用（1）在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng)，在中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為，其相應(yīng)維修費(fèi)用為元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結(jié)論，試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式：，20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足，求的面積.21．（12分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線得到坐標(biāo)為，再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形，設(shè)直線OA為，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).2．B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值，同時(shí)熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì)．【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．4．A【解析】

由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心，由此得到坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.5．A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡(jiǎn)單題目.6．B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.7．B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.8．A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點(diǎn)，且，，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.9．A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再求時(shí)的函數(shù)值，再排除一個(gè)，得正確選項(xiàng)．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除B，C，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢(shì)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．10．B【解析】

解出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.11．A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤；函數(shù)定義域?yàn)?，最值點(diǎn)即為極值點(diǎn)，由知③錯(cuò)誤；令，在和兩種情況下知均無(wú)零點(diǎn)，知④正確.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤；，，不是最值，③錯(cuò)誤；令，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；綜上所述：與無(wú)交點(diǎn)，④正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.12．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.14．.【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因?yàn)閥′＝－5e－5x，所以切線的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是15．-2【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，令其指數(shù)為3，再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為令，所以，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.16．【解析】

變換得到，計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）66.5（2）屬于【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解；（2）求出，即可判斷得解.【詳解】（1）（2）所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18．（1）見(jiàn)解析，（2）（i）見(jiàn)解析（ii）時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為594次．【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進(jìn)而可求出期望.（2）（i）由記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；記，當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，因?yàn)?，，所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為次．【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.19．（1）見(jiàn)解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運(yùn)用分層抽樣，結(jié)合總場(chǎng)次為100，可求得的值，再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;(2)①由公式可計(jì)算的值，進(jìn)而可求與的回歸直線方程；②求出，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性，可估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因?yàn)樗?，，；②，設(shè)，所以當(dāng)遞增，當(dāng)遞減所以約惠值最大值時(shí)的值為20【點(diǎn)睛】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題，關(guān)鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)離心率以及，即可列方程求得，則問(wèn)題得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的，即可