2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷(試卷+答案+解析)

第11頁〔共11頁〕2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每題3分，總分值36分，在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1．(3分)|﹣5|的相反數(shù)是()A．﹣5B．5C．15D．﹣2．(3分)在以下圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是()A．B．C．D．3．(3分)以下各式中，運算正確的是()A．(a3)2=a5B．(a﹣b)2=a2﹣b2C．a(chǎn)6÷a2=a4D．a(chǎn)2+a2=2a44．(3分)假設(shè)式子m+2(m-1)2A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠15．(3分)某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了一個班級的學(xué)生，對他們一周的讀書時間進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：讀書時間(小時)7891011學(xué)生人數(shù)610987那么該班學(xué)生一周讀書時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A．9，8B．9，9C．9.5，9D．9.5，86．(3分)如圖，將一副直角三角板按圖中所示位置擺放，保持兩條斜邊互相平行，那么∠1=()A．30°B．25°C．20°D．15°7．(3分)計算：(12)﹣1+tan30°?sin60°=(A．﹣32B．2C．52D8．(3分)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO，BO=DO．添加以下條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是()A．AB=ADB．AC=BDC．AC⊥BDD．∠ABO=∠CBO9．(3分)反比例函數(shù)y=﹣8x，以下結(jié)論：①圖象必經(jīng)過(﹣2，4)；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＞﹣1時，那么y＞8．其中錯誤的結(jié)論有()A．3B．2C．1D．010．(3分)如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，那么∠BED的正切值等于()A．255B．55C．211．(3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如下圖，以下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞(a+c)2；④點(﹣3，y1)，(1，y2)都在拋物線上，那么有y1＞y2．其中正確的結(jié)論有()A．4個B．3個C．2個D．1個12．(3分)定義一種對正整數(shù)n的“F〞運算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，F(xiàn)(n)=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時，F(xiàn)(n)=n2k(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……，兩種運算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24，假設(shè)n=13，那么第2023次“F〞運算的結(jié)果是()A．1B．4C．2023D．42023二、填空題：本大題共4小題，每題4分，總分值16分，不需寫出解答過程13．(4分)一個角是70°39′，那么它的余角的度數(shù)是．14．(4分)為創(chuàng)立“國家生態(tài)園林城市〞，某小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計時，在小區(qū)中央設(shè)置一塊面積為1200平方米的矩形綠地，并且長比寬多40米．設(shè)綠地寬為x米，根據(jù)題意，可列方程為．15．(4分)如圖是一個幾何體的三視圖(圖中尺寸單位：cm)，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的外表積是．16．(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點叫做整點．反比例函數(shù)y=mx(m＜0)與y=x2﹣4在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2，那么實數(shù)m的取值范圍為三、解答題：本大題共6小題，總分值68分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17．(10分)(1)實數(shù)x取哪些整數(shù)時，不等式2x﹣1＞x+1與12x﹣1≤7﹣32(2)化簡：(x+2x2-2x﹣x-1x2-418．(10分)“低碳生活，綠色出行〞的理念已深入人心，現(xiàn)在越來越多的人選擇騎自行車上下班或外出旅游．周末，小紅相約到郊外游玩，她從家出發(fā)0.5小時后到達(dá)甲地，玩一段時間后按原速前往乙地，剛到達(dá)乙地，接到媽媽，快速返回家中．小紅從家出發(fā)到返回家中，行進(jìn)路程y(km)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象大致如下圖．(1)小紅從甲地到乙地騎車的速度為km/h；(2)當(dāng)1.5≤x≤2.5時，求出路程y(km)關(guān)于時間x(h)的函數(shù)解析式；并求乙地離小紅家多少千米？19．(10分)(1)某校招聘教師一名，現(xiàn)有甲、乙、丙三人通過專業(yè)知識、講課、辯論三項測試，他們各自的成績?nèi)缦卤硭荆簯?yīng)聘者專業(yè)知識講課辯論甲708580乙908575丙809085按照招聘簡章要求，對專業(yè)知識、講課、辯論三項賦權(quán)5：4：1．請計算三名應(yīng)聘者的平均成績，從成績看，應(yīng)該錄取誰？(2)我市舉行了某學(xué)科實驗操作考試，有A、B、C、D四個實驗，規(guī)定每位學(xué)生只參加其中一個實驗的考試，并由學(xué)生自己抽簽決定具體的考試實驗．小王，小張，小厲都參加了本次考試．①小厲參加實驗D考試的概率是；②用列表或畫樹狀圖的方法求小王、小張抽到同一個實驗的概率．20．(12分)如下圖，⊙O的半徑為4，點A是⊙O上一點，直線l過點A；P是⊙O上的一個動點(不與點A重合)，過點P作PB⊥l于點B，交⊙O于點E，直徑PD延長線交直線l于點F，點A是DE的中點．(1)求證：直線l是⊙O的切線；(2)假設(shè)PA=6，求PB的長．21．(13分)如圖，點A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y=ax2+bx+c上．(1)求拋物線解析式；(2)在直線BC上方的拋物線上求一點P，使△PBC面積為1；(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC=∠BAC？假設(shè)存在，求出Q點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．22．(13分)問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，那么：AC=12AB探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．(1)如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=12AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖2，點D是邊CB上任意一點，連接AD，作等邊△ADE，且點E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜測并加以證明．(3)當(dāng)點D為邊CB延長線上任意一點時，在(2)條件的根底上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為(﹣3，1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點在第一象限內(nèi)，且B(2，0)時，求C點的坐標(biāo)．2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每題3分，總分值36分，在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1．(3分)|﹣5|的相反數(shù)是()A．﹣5B．5C．15D．﹣【考點】14：相反數(shù)；15：絕對值．【分析】根據(jù)絕對值、相反數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：根據(jù)絕對值的定義，∴︳﹣5︳=5，根據(jù)相反數(shù)的定義，∴5的相反數(shù)是﹣5．應(yīng)選：A．2．(3分)在以下圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是()A．B．C．D．【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、此圖案既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形；B、此圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；C、此圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；D、此圖案是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；應(yīng)選：C．3．(3分)以下各式中，運算正確的是()A．(a3)2=a5B．(a﹣b)2=a2﹣b2C．a(chǎn)6÷a2=a4D．a(chǎn)2+a2=2a4【考點】35：合并同類項；47：冪的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)冪的除法；4C：完全平方公式．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法法那么，合并同類項法那么，冪的乘方，乘法公式一一判斷即可；【解答】解：A、錯誤．(a3)2=a5；B、錯誤．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2；C、正確．D、錯誤．a(chǎn)2+a2=2a2應(yīng)選：C．4．(3分)假設(shè)式子m+2(m-1)2A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1【考點】72：二次根式有意義的條件．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：&∴m≥﹣2且m≠1應(yīng)選：D．5．(3分)某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了一個班級的學(xué)生，對他們一周的讀書時間進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：讀書時間(小時)7891011學(xué)生人數(shù)610987那么該班學(xué)生一周讀書時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A．9，8B．9，9C．9.5，9D．9.5，8【考點】W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知該班有學(xué)生40人，從而可以求得中位數(shù)和眾數(shù)，此題得以解決．【解答】解：由表格可得，該班學(xué)生一周讀書時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是：9、8，應(yīng)選：A．6．(3分)如圖，將一副直角三角板按圖中所示位置擺放，保持兩條斜邊互相平行，那么∠1=()A．30°B．25°C．20°D．15°【考點】JA：平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠FDE=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠FDE=45°，又∵∠C=30°．∴∠1=∠FDE﹣∠C=45°﹣30°=15°，應(yīng)選：D．7．(3分)計算：(12)﹣1+tan30°?sin60°=(A．﹣32B．2C．52D【考點】2C：實數(shù)的運算；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)實數(shù)的運算，即可解答．【解答】解：(12)﹣1+tan30°?sin=2+3=2+1=5應(yīng)選：C．8．(3分)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO，BO=DO．添加以下條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是()A．AB=ADB．AC=BDC．AC⊥BDD．∠ABO=∠CBO【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L9：菱形的判定．【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項逐一判斷即可得．【解答】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)∠ABO=∠CBO時，由AD∥BC知∠CBO=∠ADO，∴∠ABO=∠ADO，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AC=BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；應(yīng)選：B．9．(3分)反比例函數(shù)y=﹣8x，以下結(jié)論：①圖象必經(jīng)過(﹣2，4)；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＞﹣1時，那么y＞8．其中錯誤的結(jié)論有()A．3B．2C．1D．0【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：①當(dāng)x=﹣2時，y=4，即圖象必經(jīng)過點(﹣2，4)；②k=﹣8＜0，圖象在第二、四象限內(nèi)；③k=﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，錯誤；④k=﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，假設(shè)0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④錯誤，應(yīng)選：B．10．(3分)如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，那么∠BED的正切值等于()A．255B．55C．2【考點】KQ：勾股定理；M5：圓周角定理；T7：解直角三角形．【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等來求解．【解答】解：∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=12應(yīng)選：D．11．(3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如下圖，以下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞(a+c)2；④點(﹣3，y1)，(1，y2)都在拋物線上，那么有y1＞y2．其中正確的結(jié)論有()A．4個B．3個C．2個D．1個【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】觀察圖象判斷出a、b、c的符號，即可得出結(jié)論①正確，利用對稱軸公式x＞﹣1，可得結(jié)論②錯誤；判斷出﹣b＜a+c＜b，可得結(jié)論③正確，利用圖象法可以判斷出④正確；【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵﹣b2a＜∴b＞0，∵拋物線交y軸于負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＜0，故①正確，∵﹣b2a＞﹣1，a＞∴b＜2a，∴2a﹣b＞0，故②錯誤，∵x=1時，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∵x=﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴b2＞(a+c)2，故③正確，∵點(﹣3，y1)，(1，y2)都在拋物線上，觀察圖象可知y1＞y2，故④正確．應(yīng)選：B．12．(3分)定義一種對正整數(shù)n的“F〞運算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，F(xiàn)(n)=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時，F(xiàn)(n)=n2k(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……，兩種運算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24，假設(shè)n=13，那么第2023次“F〞運算的結(jié)果是()A．1B．4C．2023D．42023【考點】1G：有理數(shù)的混合運算．【分析】計算出n=13時第一、二、三、四、五、六次運算的結(jié)果，找出規(guī)律再進(jìn)行解答即可．【解答】解：假設(shè)n=13，第1次結(jié)果為：3n+1=40，第2次結(jié)果是：4023第3次結(jié)果為：3n+1=16，第4次結(jié)果為：1624第5次結(jié)果為：4，第6次結(jié)果為：1，…可以看出，從第四次開始，結(jié)果就只是1，4兩個數(shù)輪流出現(xiàn)，且當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果是1；次數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果是4，而2023次是偶數(shù)，因此最后結(jié)果是1．應(yīng)選：A．二、填空題：本大題共4小題，每題4分，總分值16分，不需寫出解答過程13．(4分)一個角是70°39′，那么它的余角的度數(shù)是19°21′．【考點】II：度分秒的換算；IL：余角和補角．【分析】依據(jù)余角的定義列出算式進(jìn)行計算即可．【解答】解：它的余角=90°﹣70°39′=19°21′．故答案為：19°21′．14．(4分)為創(chuàng)立“國家生態(tài)園林城市〞，某小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計時，在小區(qū)中央設(shè)置一塊面積為1200平方米的矩形綠地，并且長比寬多40米．設(shè)綠地寬為x米，根據(jù)題意，可列方程為x(x+40)=1200．【考點】AC：由實際問題抽象出一元二次方程．【分析】先表示出矩形場地的長，再根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程．【解答】解：由題意可得，x(x+40)=1200，故答案是：x(x+40)=1200．15．(4分)如圖是一個幾何體的三視圖(圖中尺寸單位：cm)，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的外表積是4πcm2．【考點】MP：圓錐的計算；U3：由三視圖判斷幾何體．【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長和底面半徑，從而確定其外表積．【解答】解：由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應(yīng)該是圓錐；根據(jù)三視圖知：該圓錐的母線長為(22)2+1故外表積=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2，故答案為：4πcm2，16．(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點叫做整點．反比例函數(shù)y=mx(m＜0)與y=x2﹣4在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2，那么實數(shù)m的取值范圍為﹣2≤m＜﹣1【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)；H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意可知拋物線在第四象限內(nèi)的局部，然后根據(jù)反比例函數(shù)y=mx(m＜0)與y=x2﹣4在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2，可以得到不等式組，從而可以求得m【解答】解：∵y=x2﹣4，∴當(dāng)x=0時，y=﹣4，當(dāng)y=0時，x=±2，當(dāng)x=1時，y=﹣3，∴拋物線y=x2﹣4在第四象限內(nèi)的局部是(0，﹣4)到(2，0)這一段曲線局部，∵反比例函數(shù)y=mx(m＜0)與y=x2﹣4在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2∴&m解得，﹣2≤m＜﹣1．三、解答題：本大題共6小題，總分值68分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17．(10分)(1)實數(shù)x取哪些整數(shù)時，不等式2x﹣1＞x+1與12x﹣1≤7﹣32(2)化簡：(x+2x2-2x﹣x-1x2-4【考點】6D：分式的化簡求值；CC：一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】(1)根據(jù)題意分別求出每個不等式解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找，確定兩不等式解集的公共局部，即可得整數(shù)值．(2)根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后在0≤x≤4的范圍內(nèi)選取一個使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡后的式子即可解答此題．【解答】解：(1)根據(jù)題意可得不等式組{2解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x≤4，所以不等式組的解集為2＜x≤4，那么整數(shù)x的值為3、4；(2)原式=[x+2x(x-=[(x+2)(x-2)=x2-=x-4=1(∵&x∴x≠0且x≠2、x≠4，∴在0≤x≤4中，可取的整數(shù)為x=1、x=3，當(dāng)x=1時，原式=1；當(dāng)x=3時，原式=1．18．(10分)“低碳生活，綠色出行〞的理念已深入人心，現(xiàn)在越來越多的人選擇騎自行車上下班或外出旅游．周末，小紅相約到郊外游玩，她從家出發(fā)0.5小時后到達(dá)甲地，玩一段時間后按原速前往乙地，剛到達(dá)乙地，接到媽媽，快速返回家中．小紅從家出發(fā)到返回家中，行進(jìn)路程y(km)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象大致如下圖．(1)小紅從甲地到乙地騎車的速度為20km/h；(2)當(dāng)1.5≤x≤2.5時，求出路程y(km)關(guān)于時間x(h)的函數(shù)解析式；并求乙地離小紅家多少千米？【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】(1)根據(jù)OA段的速度，可得結(jié)論；(2)當(dāng)1.5≤x≤2.5時，設(shè)y=20x+b，利用待定系數(shù)法即可解決問題；【解答】解：(1)在OA段，速度=100.5=20km/h故答案為20．(2)當(dāng)1.5≤x≤2.5時，設(shè)y=20x+b，把(1.5，10)代入得到，10=20×1.5+b，解得b=﹣20，∴y=20x﹣20，當(dāng)x=2.5時，解得y=30，∴乙地離小紅家30千米19．(10分)(1)某校招聘教師一名，現(xiàn)有甲、乙、丙三人通過專業(yè)知識、講課、辯論三項測試，他們各自的成績?nèi)缦卤硭荆簯?yīng)聘者專業(yè)知識講課辯論甲708580乙908575丙809085按照招聘簡章要求，對專業(yè)知識、講課、辯論三項賦權(quán)5：4：1．請計算三名應(yīng)聘者的平均成績，從成績看，應(yīng)該錄取誰？(2)我市舉行了某學(xué)科實驗操作考試，有A、B、C、D四個實驗，規(guī)定每位學(xué)生只參加其中一個實驗的考試，并由學(xué)生自己抽簽決定具體的考試實驗．小王，小張，小厲都參加了本次考試．①小厲參加實驗D考試的概率是14②用列表或畫樹狀圖的方法求小王、小張抽到同一個實驗的概率．【考點】W2：加權(quán)平均數(shù)；X4：概率公式；X6：列表法與樹狀圖法．【分析】(1)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)分別計算三人的平均成績，比擬大小即可得；(2)①根據(jù)概率公式即可得；②列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩位同學(xué)抽到同一實驗的情況數(shù)，即可求出所求概率．【解答】解：(1)x甲=70×5+85×4+80×15+4+1=77(分x乙=90×5+85×4+75×15+4+1=86.5(分x丙=80×5+90×4+85×15+4+1=84.5(分因為乙的平均成績最高，所以應(yīng)該錄取乙；(2)①小厲參加實驗D考試的概率是14故答案為：14②解：列表如下：ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD所有等可能的情況有16種，其中兩位同學(xué)抽到同一實驗的情況有AA，BB，CC，DD，4種情況，所以小王、小張抽到同一個實驗的概率為416=120．(12分)如下圖，⊙O的半徑為4，點A是⊙O上一點，直線l過點A；P是⊙O上的一個動點(不與點A重合)，過點P作PB⊥l于點B，交⊙O于點E，直徑PD延長線交直線l于點F，點A是DE的中點．(1)求證：直線l是⊙O的切線；(2)假設(shè)PA=6，求PB的長．【考點】M2：垂徑定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】(1)連接DE，OA．想方法證明OA⊥BF即可；(2)作OH⊥PA于H，只要證明△AOH∽△PAB，可得OAPA=AH【解答】(1)證明：連接DE，OA．∵PD是直徑，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵AD=AE，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直線l是⊙O的切線．(2)解：作OH⊥PA于H．∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，∴OAPA=AH∴46=3∴PB=9221．(13分)如圖，點A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y=ax2+bx+c上．(1)求拋物線解析式；(2)在直線BC上方的拋物線上求一點P，使△PBC面積為1；(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC=∠BAC？假設(shè)存在，求出Q點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3)，將C(0，1)代入求得a的值即可；(2)過點P作PD⊥x，交BC與點D，先求得直線BC的解析式為y=﹣13x+1，設(shè)點P(x，﹣13x2+23x+1)，那么D(x，﹣13x+1)，然后可得到PD與x之間的關(guān)系式，接下來，依據(jù)△(3)首先依據(jù)點A和點C的坐標(biāo)可得到∠BQC=∠BAC=45°，設(shè)△ABC外接圓圓心為M，那么∠CMB=90°，設(shè)⊙M的半徑為x，那么Rt△CMB中，依據(jù)勾股定理可求得⊙M的半徑，然后依據(jù)外心的性質(zhì)可得到點M為直線y=﹣x與x=1的交點，從而可求得點M的坐標(biāo)，然后由點M的坐標(biāo)以及⊙M的半徑可得到點Q的坐標(biāo)．【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3)，將C(0，1)代入得﹣3a=1，解得：a=﹣13∴拋物線的解析式為y=﹣13x2+23x+(2)過點P作PD⊥x，交BC與點D．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，那么&3k+b=0&∴直線BC的解析式為y=﹣13x+1設(shè)點P(x，﹣13x2+23x+1)，那么D(x，﹣13x∴PD=(﹣13x2+23x+1)﹣(﹣13x+1)=﹣13x∴S△PBC=12OB?DP=12×3×(﹣13x2+x)=﹣12x2又∵S△PBC=1，∴﹣12x2+32x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x∴點P的坐標(biāo)為(1，43)或(2，1)(3)存在．∵A(﹣1，0)，C(0，1)，∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴點Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點．設(shè)△ABC外接圓圓心為M，那么∠CMB=90°．設(shè)⊙M的半徑為x，那么Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=5(負(fù)值已舍去)，∵AC的垂直平分線的為直線y=﹣x，AB的垂直平分線為直線x=1