測量誤差分析與處理

會計學1測量誤差分析與處理8.1誤差的基本概念測量誤差與精度真值（truevalue）基本誤差源（sourcesofelementalerror）基本誤差分類：標定誤差、數據采集誤差、數據處理誤差。按性質及產生原因，誤差可分為：

系統(tǒng)誤差：重復性測量條件下，對同一被測量進行多次測量結果的平均值與被測量真值之差。

隨機誤差：單次測試結果與在重復性條件下對同一被測量進行多次測量結果的平均值之差。

粗大誤差：一種明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期范圍的誤差。第1頁/共54頁測量誤差與精度準確度(justness):也稱正確度(correctness),測量數據的平均值偏離真實值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。精密度(precision):在進行某一量的測量時，各次測量的數據彼此接近的程度，是隨機誤差的反映。精確度(accuracy):簡稱為精度，指測量數據集中于真實值附近的程度。a)高準確度，低精密度情形b)低準確度，高精密度情形c)高準確度、高精密度情形8.1誤差的基本概念第2頁/共54頁8.1誤差的基本概念誤差的表示方法誤差(error):也稱絕對誤差(absoluteerror)，是測量值與其真值之差。相對誤差(relativeerror)

:測量誤差與真值之比。引用誤差(quotederror):絕對誤差與儀表的滿量程值A之比。第3頁/共54頁8.2隨機誤差隨機誤差分布規(guī)律正態(tài)分布式中，測量值（隨機變量）；

被測量的平均值，表征測量值平均水平或集中趨勢的參數；被測量的標準差，表征測量值相對于其中心位置的離散程度。標準正態(tài)分布將一般正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，令第4頁/共54頁隨機誤差分布規(guī)律則

的概率密度函數為：誤差落在區(qū)間的概率為：其中，

稱為置信系數，

稱為置信限，

稱為置信區(qū)間，概率P稱為置信水平。表8-1列出了典型置信區(qū)間與相應置信水平之間的關系。8.2隨機誤差第5頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析中心趨勢的度量平均值：中位數：位于序列中間數據的值，或位于中間的兩個數據的平

均值（若序列中元素的數量為偶數）。眾數：出現概率最大的隨機變量的值。8.2隨機誤差第6頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析分散性的度量每次測量的偏差：平均偏差：總體的標準差：樣本標準差：8.2隨機誤差第7頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析總體均值的區(qū)間估計在估計總體平均值時，將其表示為或(8-17)

其中，δ是誤差，

是樣本平均值。區(qū)間（

，

）為關于均值的置信區(qū)間。分別稱

、

為關于均值的置信下限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通過顯著性水平（levelofsignificance）表示：(8-18)8.2隨機誤差第8頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析(1)大樣本（n＞30）事件總體均值的區(qū)間估計直接應用中心極限定理估計置信區(qū)間。因為是正態(tài)分布的，所以可以使用統(tǒng)計量:（8-20）其中，當足夠大時，根據中心極限定理，的標準差：由（8-18），有（8-21）也可以寫成：

（當置信水平為）8.2隨機誤差第9頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析 (2)小樣本(

)事件總體均值的區(qū)間估計由于標準差的誤差，小樣本情況下，可以使用分布統(tǒng)計量:（8-23）與正態(tài)分布不同，分布取決于樣本量。由（8-18），有（8-26）也可以寫成：

（當置信水平為）

8.2隨機誤差第10頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析總體方差的區(qū)間估計總體方差的最佳估計是樣本方差，對于正態(tài)分布的總體，可以應用統(tǒng)計量估計置信區(qū)間。設隨機變量的平均值為μ，標準差為σ，則有：（8-28）變量被定義為：（8-29）聯(lián)立式(8-28)和(8-29)，有（8-30）8.2隨機誤差第11頁/共54頁隨機誤差統(tǒng)計分析

是隨機變量，在正態(tài)分布總體的情況下不同自由度的概率密度函數曲線如右圖所示。變量在任意兩個值之間的取值概率等于曲線下這兩值之間的面積：（8-32）為顯著性水平，按式（8-29）得：（8-33）則總體方差的置信區(qū)間為：（8-34）8.2隨機誤差第12頁/共54頁可疑數據的取舍萊茵達準則（3σ準則）若測量值只含有隨機誤差，且按正態(tài)分布，則測量數據落在置信區(qū)間以外的概率只有0.27%。萊茵達準則規(guī)定，如果實測數據的誤差滿足以下條件

則將作為異常數據處理。注：根據統(tǒng)計學原理，萊因達準則不適用于測量次數的場合。8.2隨機誤差第13頁/共54頁可疑數據的取舍肖維納準則肖維納準則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在n次測量中，某一誤差可能出現的次數小于半次就被認為是過失誤差。設任一次測量值的誤差落在區(qū)間

的概率為α，則誤差落在置信區(qū)間

之外的概率為對于n次測量，令隨機誤差落在置信區(qū)間

之外的次數等于1/2，則有于是8.2隨機誤差第14頁/共54頁可疑數據的取舍則由式（8-10）得：若已知測量次數

，則可求出滿足肖維納準則的

，再由積分表查得置信系數

。根據肖維納準則，若某次測量所得誤差絕對值大于相應的置信限

，應予舍棄。8.2隨機誤差第15頁/共54頁可疑數據的取舍格拉布斯準則格拉布斯法假定測量結果服從正態(tài)分布，根據順序統(tǒng)計量來確定可疑數據的取舍。進行n次重復試驗，試驗結果為

，且

服從正態(tài)分布。為了檢驗

中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據順序統(tǒng)計原則，給出標準化順序統(tǒng)計量g：當最小值

可疑時，則：當最大值

可疑時，則：8.2隨機誤差第16頁/共54頁可疑數據的取舍根據格拉布斯統(tǒng)計量的分布，在給定的顯著性水平α（一般α=0.05）下，查得判別可疑值的臨界值

，見表8-4。該檢驗的拒絕域為：即標準化順序統(tǒng)計量大于其臨界值，即可認為其相應數據為粗大誤差影響的可疑數據。利用格拉布斯準則每次只能舍棄一個可疑值，若有兩個以上的可疑數據，應該一個一個數據地判斷。即舍棄第一個數據后，試驗次數由n變?yōu)閚-1，以此為基礎再判別第二個可疑數據。8.2隨機誤差第17頁/共54頁可疑數據的取舍t(yī)檢驗準則檢驗準則是將測量列的個測得值中可疑的測得值先剔除，然后按余下的個數據計算算術平均值和標準差值，再判斷數據是否含有粗大誤差。（不含）（不含）根據測量次數和所選取的顯著度α，從表8-5中查得k值。若所懷疑的數據

滿足下式：則可認為為可疑數據，應予以剔除。8.2隨機誤差第18頁/共54頁8.3系統(tǒng)誤差任何測量過程首先要注意發(fā)現與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的范圍內。對于在實驗中無法補償的系統(tǒng)誤差，應對測量結果進行修正。系統(tǒng)誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在整個測量過程中的大小和符號都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測量過程中大小和符號都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：1)線性變化－測量過程中誤差值隨某些因素作線性變化。2)周期性變化－系統(tǒng)誤差的數值或符號隨某些因素按周期規(guī)律變化。例如，軋輥有偏心，軋制時的精度誤差。3)復雜規(guī)律變化－按復雜規(guī)律，例如按指數規(guī)律變化。

第19頁/共54頁系統(tǒng)誤差對測量結果的影響恒值系統(tǒng)誤差對測量結果的影響如果在多次重復測量時存在恒值誤差，則一組測量值

中的每一個都含有恒值系統(tǒng)誤差

。于是，不含系統(tǒng)誤差的測量值應為其算術平均值為由偏差的定義，有恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復測得值的算術平均值

，對測得值的偏差

沒有影響，即不影響隨機誤差的分散性及精度參數。8.3系統(tǒng)誤差第20頁/共54頁系統(tǒng)誤差對測量結果的影響變值系統(tǒng)誤差對測量結果的影響變值系統(tǒng)誤差對每個測量值有不同的影響，但有規(guī)律，不是隨機性的。設有一系列測得值

，并含有變值系統(tǒng)誤差

，則不含系統(tǒng)誤差的測量值為其平均值為如果測量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術平均值的形式影響測量結果，應在消除或校正后，以

作為測量結果。在偏差

的計算中有偏差

受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測量結果的精確度。8.3系統(tǒng)誤差第21頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正恒值系統(tǒng)誤差判別方法（1）對比檢定法在確認沒有明顯變值系統(tǒng)誤差的前提下，可以改用更理想的測量條件，進行檢定性測量。以此兩種不同的測量條件對同一量值進行次數相同的重復測量，求出兩者算術平均值之差，則該差值即為被判斷的測量條件下的定值系統(tǒng)誤差。（2）均值與標準差比較法對同一量值在測量條件不同，測量次數也不同的情況下進行兩組（或多組）測量。由于

和

是服從正態(tài)分布的隨機變量，故其差值

也服從正態(tài)分布（其分布的平均值為零，方差為

）。因此，可用區(qū)間的概率估計原理來判斷是否有恒值系統(tǒng)誤差，即8.3系統(tǒng)誤差第22頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正在給定置信概率

時，若無定值系統(tǒng)誤差，則

應不超過

；如果超出，則可認為

與

的差異不只是受隨機誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)誤差存在。這樣判斷的置信概率為

。8.3系統(tǒng)誤差第23頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正變值系統(tǒng)誤差判別方法（1）偏差觀察法偏差觀察法是將一系列等精度測量值，按測量的先后順序把測得值及其偏差值列表，觀察其偏差數值及其符號的變化規(guī)律。若偏差數值有規(guī)律的遞增或遞減，并且在測量開始和結束時偏差符號相反，則可判定該測量列含有線性系統(tǒng)誤差。若在某一測量條件時，偏差基本上保持相同符號，當變?yōu)榱硪粶y試條件時偏差均變號，則表明測量中含有隨測量條件而變的恒值系統(tǒng)誤差。若偏差的符號有規(guī)律地由正變負，再由負變正，或循環(huán)交替變化多次，則可判定該測量序列含有周期性誤差。8.3系統(tǒng)誤差第24頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）偏差核算法將測得值按測量先后順序排列，并將其分為前半組k個和后半組k個，兩組分別求和后相減，有當測量次數n足夠多時，，所以上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后兩組的符號相反，則值將隨n的增大而增大。因此，若值顯著不為零，則說明測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。

8.3系統(tǒng)誤差第25頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）阿貝赫梅特判據阿貝赫梅特判據為：只要測量列滿足下式，就認為該測量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。

8.3系統(tǒng)誤差第26頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的修正（1）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法代替法；相消法；對換法。

8.3系統(tǒng)誤差第27頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法例如測量電阻，

為被測電阻，

為已知電阻。設回路電流

隨時間線性降低，可用對稱測量法修正該線性誤差，方法如下：第一次測

兩端電壓為：第二次測

兩端電壓為：第三次測

兩端電壓為：

8.3系統(tǒng)誤差第28頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正因電流下降是線性變化的，所以從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。

8.3系統(tǒng)誤差第29頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正只要讀取相隔半周期的兩次測量值，然后取平均值為測量結果，即可修正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因為根據周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，有：變化半周期即

時，有取

和

的算術平均值，有

8.3系統(tǒng)誤差第30頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差修正準則如果系統(tǒng)誤差或偏差代數和的絕對值不超過測量結果總誤差絕對值最后一位有效數字的一半，就認為系統(tǒng)誤差已被修正。測量結果的總誤差，一般只用一位或兩位有效數字表示，可用公式來表達上述準則。設測量結果的總誤差絕對值為

，殘余系統(tǒng)誤差的代數和為

。當

用兩位有效數字表示時當

用一位有效數字表示時只要滿足上述條件，就可認為已修正系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。

8.3系統(tǒng)誤差第31頁/共54頁消除系統(tǒng)誤差的措施從產生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測量人員對測量過程中可能產生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細分析，并在測量前就將誤差從產生根源上加以消除。用修正方法消除系統(tǒng)誤差預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數值大小相同、符號相反的值作為修正值。

8.3系統(tǒng)誤差第32頁/共54頁8.4間接測量中的誤差計算間接測試參量的估計值間接測量量

一般可以表示為相互獨立的直接測量量

的函數：由于各直接測得的參量

都是隨機變量，間接測量量

是隨機變量的函數，其分布參數（均值和標準差等）通常需要根據其自變量的分布參數計算。計算隨機變量函數分布參數的常用方法是矩法。在各隨機變量

的均值處做泰勒級數展開，有：上式即為間接測量量均值的近似估計。

第33頁/共54頁間接測量誤差計算間接測量參數為

與各直接測量參數為

，二者之間的函數關系為

，進行微分運算有令

，并用增量代替微分，有：的可能最大誤差為：的最佳估計為：的相對誤差為：

8.4間接測量中的誤差計算第34頁/共54頁8.5誤差分析與測試數據處理系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析隨機誤差一般通過重復測量某一變量來測定，可用測得的數據計算測量樣本標準差。在誤差分析中，隨機誤差反映為精密度指數

。可以利用

統(tǒng)計量估計單個測量

的精密度極限:式中，

為置信水平（例如95%）和自由度（

）的函數。變量

的隨機誤差區(qū)間（置信區(qū)間）是

。因為用于估計

的樣本容量一般較小（

），所以經常采用

分布而不是正態(tài)分布。當樣本容量大于30，正態(tài)分布與

分布基本上是相同的。平均值的標準差

與測量值的標準差

之間的關系為：

第35頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析平均值的誤差為:平均值的隨機誤差帶（置信區(qū)間）表示為

。如果測量條件不變，則系統(tǒng)誤差不變。因此，需要用置信區(qū)間而不是置信水平來定義準確度誤差極限的可信度。通常要求系統(tǒng)誤差的置信區(qū)間與隨機誤差的置信水平相對應，例如95%的置信水平用于隨機誤差，同時95%的置信區(qū)間用于系統(tǒng)誤差。

a)單次測量測量值誤差圖b)多次測量均值誤差圖

8.5誤差分析與測試數據處理第36頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析在圖a中，如果進行了大量的測量，可以預測出正態(tài)的頻率分布。曲線的頂點在總體均值處，由于系統(tǒng)誤差B，該均值不同于x的真值。一個測量讀數

偏離總體均值并且存在關于讀數的隨機誤差帶。圖b顯示多次測量的情形。樣本均值不同于總體均值，存在隨機誤差帶

。多次測量均值的隨機誤差帶

比單次測量測量值的隨機誤差帶

窄。為了合成隨機誤差和系統(tǒng)誤差，要使用均方根公式:誤差的置信水平與的置信水平相同。系統(tǒng)誤差帶不必是對稱的。在不對稱情況下，上式必須應用2次，一次獲得正方向的綜合誤差，另一次獲得負方向的綜合誤差。

8.5誤差分析與測試數據處理第37頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析為了獲得測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差，必須合成基本系統(tǒng)誤差和隨機誤差，這個過程如圖：各項誤差用均方根合成：，

8.5誤差分析與測試數據處理第38頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析例8.4在估計一個氣田的天然氣燃燒值過程中，取了10個樣本并且用熱量計測量每個樣本的燃燒值，以kJ/kg為單位測得的值為48530，50210，49860，48560，49540，49270，48850，49320，48680，48980。假設熱量計在測量中沒有產生任何的系統(tǒng)誤差，試用95%的置信水平計算每次測量的隨機誤差和測量均值的隨機誤差。

解：若

表示燃燒值，則平均值為

樣品的標準差（精密度指數）為

8.5誤差分析與測試數據處理第39頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析使用置信水平95%的

分布（表8-2）和10-1=9的自由度，可以查得值為：

于是，每個樣本的隨機誤差為：

kJ/kg

由于

，均值的隨機誤差為：

kJ/kg

8.5誤差分析與測試數據處理第40頁/共54頁有效數字及其運算規(guī)則有效數字含有誤差的任何近似數，如果其絕對誤差的絕對值不超過近似數的半個單位，那么這個近似數左方起的第一個非零的數字，稱為第一位有效數字。從第一位有效數字起到最末一位數字止的所有數字（包括零）都叫有效數字。例如取n=3.14159，第一位有效數字為3，共有六位有效位數；又如0.00270，第一位有效數字為2，共有三位有效位數。若近似數的右邊帶有若干個零，通常把這個近似數寫成a10n形式（1<a<10）。如2.400103，表示四位有效位數。最末一位有效數字取到哪，是由測量精度來決定的－最末一位有效數字應與測量精度同量級。測量結果應保留的位數原則是，其最末一位數字是不可靠的，而倒數第二位數字應是可靠的。測量誤差一般取1-2位有效數字。

8.5誤差分析與測試數據處理第41頁/共54頁有效數字及其運算規(guī)則數字舍入規(guī)則對于位數很多的近似數，當有效位數確定后，其后面多余的數字應予舍去，而保留的有效數字最末一位數字應按下面的舍入規(guī)則進行湊整：:1)若舍去部分的數值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1,2)若舍去部分的數值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。3)若舍去部分的數值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數－當末位為偶數時末位不變，當末位為奇數時則末加１。

8.5誤差分析與測試數據處理第42頁/共54頁有效數字及其運算規(guī)則數據運算規(guī)則1)在近似數加減運算時，各運算數據以小數位數最少的數據位數為準，其余各數據可多取一位小數，但最后結果應與小數位數最少的數據小數位相同。2)在近似數乘除運算時，各運算數據以有效位數最少的數據位數為準，其余各數據要比有效位數最少的數據位數多取一位數字，而最后結果應與有效位數最少的數據位數相同。3)在近似數平方或開方運算時，平方相當于乘法運算，開方是平方的逆運算，故可按乘除運算處理。4)在對數運算時，n位有效數字的數據應該用n位對數表，或用（n+1）位對數表，以免損失精度。5)三角函數運算中，所取函數值的位數應隨角度誤差的減小而增多，其對應關系如表8-8所示。

8.5誤差分析與測試數據處理第43頁/共54頁測量最終結果的誤差單樣本測量最終結果的誤差結果

是由n個測量變量所組成的函數，即,那么結果的系統(tǒng)誤差

和精密度指數

可以由下式計算：偏導數

被稱為靈敏度系數，式中，

為

分布值。

8.5誤差分析與測試數據處理第44頁/共54頁測量最終結果的誤差多樣本測量最終結果的誤差在一些試驗中可能進行多樣本試驗來確定

。在這些情況下，每次試驗可獲得結果的值

。然后可以得到

的平均值，并且可以通過測量結果的分散性估計精密度指數和隨機誤差。結果均值為：式中有

的M組測量值。精密度指數（標準差）可由下式獲得：

8.5誤差分析與測試數據處理第45頁/共54頁測量最終結果的誤差于是結果的隨機誤差為：系統(tǒng)誤差的確定方法與單樣本測量相同。最終誤差的估計由下式得出：

8.5誤差分析與測試數據處理第46頁/共54頁誤差分析的步驟確定測量過程。這一步包括審查試驗任務，識別所有獨立參數和它們的正常值，確定獨立參數和試驗結果之間的函數關系。將所有基本誤差源列表。這一步包括對每個被測量參數制做一個全面和詳細的全部可能誤差源的列表。估算基本誤差。這一步必須估計系統(tǒng)誤差和精密度指數。計算每個被測