函數(shù)恒成立問題端點效應

第第頁共10頁【例5】【2009江西】已知函數(shù)/(x)=2儂：2—2(4-加)x+l,g(x)=儂:，若對于任一實數(shù)x./(x)與g(x)的值至少有一個為正，貝I根的取值范圍是.【變式1】不等式log8—2工+3)?-1(%22)恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()aA.[og] C.(L,3)D.b,4oo)【變式2】【2011北京】設函數(shù)/(x)=(x-k)2片,若對于任意的(0,zo),都有e求實數(shù)上的取值范圍?！咀兪?】【2014江蘇】已知函數(shù)〃x)=&+eT,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若關于％的不等式時(x)?e-x+加-1在(0,小)上恒成立，求實數(shù)用的取值范圍?！咀兪?】【2012北京文】已知/(x)=加(％-2⑼(x+根+3),g(x)=2了一2,若Vx￡凡/(%)<0或g(x)<0,則機的取值范圍是.【變式5】【2012北京理】已知/(x)=加(％-2⑼(x+m+3),g(x)=2了-2,若同時滿足(1)VxeR,f(x)<01Kg(x)<0；(2)3xeCoo,-41/(x)g(x)<0,則用的取值范圍是.三、端點處的取值為0(1)若多項式函數(shù)f(x)滿足f(a)=0，則f(x)一定可以分解成f(x)=(x-a)g(x)這種形式，其中g(x)也為多項式函數(shù)。【例1】【2009全國卷】已知f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍?！纠?】【2012浙江理】設aeR，若x>0時均有1(a-1)x-11x2-ax-1)>0，則a=.【例3】【2009天津】已知f(x)=-3x3+x2+(m2-1)x,m>0,f(x)=0有三個不同的實根，分別為0,x,x(x<x)若對任意的xeL,x]f(x)>f⑴恒成立，求m的取值范圍。121 2 12【變式1】【2008全國卷】設函數(shù)f(x)=ax3-3x2，若g(x)=f(x)+f(x)(0<x<2)在x=0處取得最大值，求a的取值范圍?！咀兪?】【2011湖北】已知x3-3x2+2x=mx有三個不同的實根，分別為0,x,x(x<x)，121 2且對任意的xetx,x]，x3-3x2+2x<m(x-1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。12注意：若多項式函數(shù)有明顯的根，分解因式能夠?qū)⒑瘮?shù)降次，特別是形如f(x)=ax3+bx2+ex的多項式函數(shù)，是高考中的常見情形，它可以分解成f(x)=x(ax2+bx+e)，需掌握此多項式。(2)若高考試題中出現(xiàn)的恒成立問題中的函數(shù)不是多項式，這些函數(shù)雖然在端點處的值為零，但不能將它們分解，對此需用以下知識點：f(x)>0在J,b］上恒成立，若f(a)=0，則f(a)>0；若f(b)=0，則f(b)<0f(x)<0在la,b］上恒成立，若f(a)=0，則f(a)<0；若f(b)=0，則f'(b)>0特別提醒：這里的結論只是必要條件，不一定是充分條件?！纠?】【2007全國I理】已知函數(shù)f(x)=e—e-xI證明：f(x)的導數(shù)f(x)>2；II若對所有x>0都有f(x)>ax，求a的取值范圍?！纠?】【2008全國I文】已知函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2I若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；2II若x>0時，f(x)>0,求a的取值范圍?！纠?】【2008全國I理】已知函數(shù)f(x)=S1nx2+cosxI求f(x)的單調(diào)區(qū)間；II如果對任何x>0時，都有f(x)<ax，求a的取值范圍?！纠?】【2010新課標理】已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2I若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；II若x>0時，f(x)>0,求a的取值范圍。【例5】【2013全國理】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x(1+'x)+xI若x>0時，f(x)<0,求九的最小值；設數(shù)列^a｝的通項a=1+1+1+???+L證明：a-a+—>ln2。n n23n 2n n4n【例6】【2014全國H理】已知函數(shù)f(x)=ex—e_x-2x.I討論f(x)的單調(diào)性；II設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值;III已知1.4142一五<1.4143，估計ln2的近似值(精確到0.001).【例7】【2012大綱理】設函數(shù)f(x)=ax+cosx,xelc,兀1I討論f(x)的單調(diào)性；II設f(x)<1+sinx，求a的取值范圍?？偨Y：對于無法求最值的恒成立問題，解題的基本步驟如下(1)首先由端點效應初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個范圍