第節(jié)三重積分

會(huì)計(jì)學(xué)1第節(jié)三重積分2定義:

設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素

若對(duì)作任意分割,及任意取點(diǎn),下列“乘積和式”的極限則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下也常寫(xiě)作第1頁(yè)/共39頁(yè)3性質(zhì)中值定理:

設(shè)在有界閉域上連續(xù),使得其中V為的體積.三重積分的性質(zhì)與二重積分相似,例如計(jì)算方法則存在一點(diǎn)第2頁(yè)/共39頁(yè)41、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計(jì)算如圖，在直角坐標(biāo)系下第3頁(yè)/共39頁(yè)5化三重積分為三次積分第4頁(yè)/共39頁(yè)6其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面例1.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:第5頁(yè)/共39頁(yè)7解第6頁(yè)/共39頁(yè)8第7頁(yè)/共39頁(yè)9解如圖，第8頁(yè)/共39頁(yè)10第9頁(yè)/共39頁(yè)11第10頁(yè)/共39頁(yè)12解第11頁(yè)/共39頁(yè)13原式第12頁(yè)/共39頁(yè)14解如圖,第13頁(yè)/共39頁(yè)15第14頁(yè)/共39頁(yè)163、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：第15頁(yè)/共39頁(yè)17

柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．第16頁(yè)/共39頁(yè)18如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為第17頁(yè)/共39頁(yè)19其中為由柱面例1.計(jì)算三重積分所圍成半圓柱體.解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面第18頁(yè)/共39頁(yè)20例2.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面第19頁(yè)/共39頁(yè)21解知交線為第20頁(yè)/共39頁(yè)22第21頁(yè)/共39頁(yè)23解所圍成的立體如圖，第22頁(yè)/共39頁(yè)24所圍成立體的投影區(qū)域如圖，第23頁(yè)/共39頁(yè)25第24頁(yè)/共39頁(yè)26第25頁(yè)/共39頁(yè)274、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第26頁(yè)/共39頁(yè)28規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．第27頁(yè)/共39頁(yè)29球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，第28頁(yè)/共39頁(yè)30球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，第29頁(yè)/共39頁(yè)31例1.計(jì)算三重積分

其中為解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.錐面與球面第30頁(yè)/共39頁(yè)32第31頁(yè)/共39頁(yè)33第32頁(yè)/共39頁(yè)34第33頁(yè)/共39頁(yè)35解第34頁(yè)/共39頁(yè)36第35頁(yè)/共39頁(yè)37三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)第36頁(yè)/共39頁(yè)38（1）柱面坐標(biāo)的體積元素（2）球面坐標(biāo)的體積元素