第講廣義積分

會(huì)計(jì)學(xué)1第講廣義積分第五章一元函數(shù)的積分第五節(jié)廣義積分第1頁/共82頁

我們前面討論的積分是在有限區(qū)間上的有界函數(shù)的積分.在科學(xué)技術(shù)和工程中，往往需要計(jì)算無窮區(qū)間上的積分或者計(jì)算不滿足有界條件的函數(shù)的積分，有時(shí)還需計(jì)算不滿足有界條件的函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分.這就需要我們將定積分的概念及其計(jì)算方法進(jìn)行推廣.

我們將運(yùn)用極限的方法來完成這個(gè)工作.第2頁/共82頁一、無窮積分——無窮區(qū)間上的廣義積分1.無窮積分的概念第3頁/共82頁第4頁/共82頁例1解能否將這里的書寫方式簡化？第5頁/共82頁這樣就將無窮積分的計(jì)算與定積分的計(jì)算聯(lián)系起來了.第6頁/共82頁例2解第7頁/共82頁例3解第8頁/共82頁例4解第9頁/共82頁例5解第10頁/共82頁例5解第11頁/共82頁綜上所述，第12頁/共82頁2.無窮積分的基本運(yùn)算性質(zhì)其它類型的無窮積分的情形類似于此.第13頁/共82頁例6解羅第14頁/共82頁例7解第15頁/共82頁例8解第16頁/共82頁第17頁/共82頁3.無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法第18頁/共82頁定理第19頁/共82頁證第20頁/共82頁定理（比較判別法）第21頁/共82頁證第22頁/共82頁第23頁/共82頁定理（比較判別法的極限形式法）第24頁/共82頁例9解讀者不妨自己用比較判別法的極限形式進(jìn)行判別.第25頁/共82頁定理（柯西極限判別法）第26頁/共82頁證第27頁/共82頁第28頁/共82頁例10解第29頁/共82頁例11解第30頁/共82頁例12解第31頁/共82頁下面介紹兩個(gè)有關(guān)函數(shù)乘積的無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法第32頁/共82頁定理（阿貝爾判別法）有關(guān)證明請(qǐng)參看

《微積分學(xué)教程》第二卷第三分冊(cè)

Г.M.菲赫金哥爾茨北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研組譯人民教育出版社1954.第33頁/共82頁定理（狄利克雷判別法）有關(guān)證明請(qǐng)參看

《微積分學(xué)教程》第二卷第三分冊(cè)

Г.M.菲赫金哥爾茨北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研組譯人民教育出版社1954.第34頁/共82頁例13解第35頁/共82頁4.無窮積分的絕對(duì)收斂性第36頁/共82頁定理第37頁/共82頁證第38頁/共82頁定理（柯西判別法）該定理的證明請(qǐng)讀者自己完成.第39頁/共82頁例14解第40頁/共82頁二、瑕積分1.瑕積分的概念——無界函數(shù)的廣義積分(1)瑕點(diǎn)的概念第41頁/共82頁(2)瑕積分的概念第42頁/共82頁類似地，可定義第43頁/共82頁與無窮積分的情形類似，瑕積分也有下列運(yùn)算形式：這樣就將瑕積分的計(jì)算與定積分的計(jì)算聯(lián)系起來了.第44頁/共82頁2.瑕積分基本運(yùn)算性質(zhì)第45頁/共82頁例15解第46頁/共82頁例16解

有問題沒有？第47頁/共82頁例16解第48頁/共82頁例17解第49頁/共82頁例18解不存在第50頁/共82頁第51頁/共82頁例19解第52頁/共82頁綜上所述，得第53頁/共82頁2.瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法

瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法與無窮積分的情形類似，我們僅介紹常用的方法.第54頁/共82頁定理（瑕積分的比較判別法）第55頁/共82頁定理（比較判別法的極限形式法）第56頁/共82頁定理（瑕積分的柯西極限判別法）第57頁/共82頁例19解第58頁/共82頁例20解羅第59頁/共82頁例21解柯西判別法比較判別法第60頁/共82頁例22解第61頁/共82頁三、廣義積分的柯西主值第62頁/共82頁無窮積分的柯西主值第63頁/共82頁例23解由此例想到一點(diǎn)什么沒有?第64頁/共82頁第65頁/共82頁第66頁/共82頁例24解第67頁/共82頁第68頁/共82頁第69頁/共82頁比較判別法的極限形式第70頁/共82頁第71頁/共82頁第72頁/共82頁下面證明這個(gè)遞推關(guān)系式第73頁/共82頁第74頁/共82頁例