等比數(shù)列的性質(zhì)

會(huì)計(jì)學(xué)1等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系以及性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.(1)兩項(xiàng)關(guān)系：an＝_______(m，n∈N*)．(2)多項(xiàng)關(guān)系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝____.(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時(shí)，am，an，ap成等比數(shù)列．等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩自學(xué)導(dǎo)引1．2．a(chǎn)mqn－mapaqan－1an－k＋1第1頁/共28頁等比數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則(1){an}去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公比為__的等比數(shù)列；(2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n－1}是公比為__的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n}是公比為__的等比數(shù)列；(3)在數(shù)列{an}中每隔k(k∈N*)取出一項(xiàng)，按原來順序組成新數(shù)列，則新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk＋1.3．qq2q2第2頁/共28頁：如果等比數(shù)列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？提示：如果等比數(shù)列的三項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列，那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列．事實(shí)上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.在等比數(shù)列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n＝p＋q＝2k，如非零常數(shù)列．第3頁/共28頁等比數(shù)列的單調(diào)性(1)當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．(3)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列{an}是常數(shù)列．(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列．等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①{c·an}(c是非零常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列；②{|an|}是公比為|q|的等比數(shù)列；名師點(diǎn)睛1．2．第4頁/共28頁④{anm}(m是整數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列．特別地，若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{anm}(m是實(shí)數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列．(2)若{an}，{bn}分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列．(3)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列．

第5頁/共28頁題型一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[思路探索]應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)：a2a4＝a32，a4a6＝a52，a1a3＝a22，化簡(jiǎn)已知，可求解．解

(1)法一∵an>0，∴a1>0，q>0.又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，【例1】第6頁/共28頁∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36，∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.法二∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a32＋2a3a5＋a52＝36，∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6.(2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.第7頁/共28頁在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算．若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩，通過本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果．第8頁/共28頁(2)已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解

(1)在等比數(shù)列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得：a3·a7＝64與a3＋a7＝20聯(lián)立得：【變式1】(1)在遞增等比數(shù)列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．第9頁/共28頁第10頁/共28頁有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．[思路探索]根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)出未知數(shù)，結(jié)合題中條件求解即可．題型二

靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列【例2】第11頁/共28頁所以，當(dāng)a＝4，d＝4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.當(dāng)a＝8，q＝2時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.第12頁/共28頁第13頁/共28頁三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2，則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．【變式2】第14頁/共28頁某市2010年新建住房400萬平方米，其中250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)今年后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬平方米，那么到哪一年底(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2010年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.[思路探索]本題主要考查構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，通過閱讀之后，找出題目中的相關(guān)信息，構(gòu)造等差數(shù)列和等比數(shù)列．題型三

等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】第15頁/共28頁解(1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，{an}是等差數(shù)列，其中a1＝250，d＝50，

令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整數(shù)．∴n≥10. 故到2019年年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米．

第16頁/共28頁(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列{bn}，由題意可知，{bn}是等比數(shù)列，其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400×(1.08)n－1，

由題意可知an>0.85bn，即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85滿足上述不等式的最小正整數(shù)n＝6. 故到2015年年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 第17頁/共28頁本題將實(shí)際問題抽象出一個(gè)數(shù)列問題，解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意，建立數(shù)學(xué)模型，弄清問題的哪一部分是數(shù)列問題，是哪種數(shù)列．在求解過程中應(yīng)注意首項(xiàng)的確立，時(shí)間的推算．不要在運(yùn)算中出現(xiàn)問題．第18頁/共28頁始于2007年初的美國次貸危機(jī)，至2008年中期，已經(jīng)演變?yōu)槿蚪鹑谖C(jī)．受此拖累，國際原油價(jià)格從2008年7月每桶最高的147美元開始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比嗎？若按此計(jì)算，到什么時(shí)間跌至谷底(即每桶34美元)?解設(shè)每月平均下降的百分比為x，則每月的價(jià)格構(gòu)成了等比數(shù)列{an}，記：a1＝147(7月份價(jià)格)，則8月份價(jià)格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；9月份價(jià)格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.設(shè)an＝34，則34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8.即從2008年7月算起第8個(gè)月，也就是2009年2月國際原油價(jià)格將跌至34美元每桶．【變式3】第19頁/共28頁(2)是否存在m，使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)指出符合題意的m的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．審題指導(dǎo)(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an→b＝b1b8求得m.(2)由2b4＝b1＋bt可得以m為變量，t為函數(shù)的關(guān)系式→由t≥5，t∈N*可得m的取值．題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用第20頁/共28頁第21頁/共28頁第22頁/共28頁【題后反思】(1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)公式．(2)方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵．第23頁/共28頁(1)求通項(xiàng)公式an及Sn；(2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解

(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為19，公差為－2的等差數(shù)列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；【變式4】已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．第24頁/共28頁A．(n－1)2

B．n2C．(n＋1)2 D．n(2n－1)[錯(cuò)解]易得an＝2n，且log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)誤區(qū)警示

因沒數(shù)清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)致誤【示例】第25頁/共28頁

對(duì)等差數(shù)列1,3，…，2n－1的項(xiàng)數(shù)沒數(shù)清．[正解]∵a5·