補(bǔ)充馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)方法

會(huì)計(jì)學(xué)1補(bǔ)充馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)方法一、幾個(gè)基本概念2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程

在事件的發(fā)展過(guò)程中，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。譬如，天氣變化從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁?、從“陰天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁?、從“晴天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤扒缣臁?、從“陰天”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣幪臁钡榷际菭顟B(tài)轉(zhuǎn)移。事件的發(fā)展，隨著時(shí)間的變化而變化所作的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，或者說(shuō)狀態(tài)轉(zhuǎn)移與時(shí)間的關(guān)系，就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程，簡(jiǎn)稱過(guò)程。第1頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念3.馬爾可夫過(guò)程

若每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都只僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)、而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，或者說(shuō)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程是無(wú)后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程就稱為馬爾可夫過(guò)程。在區(qū)域開發(fā)活動(dòng)中，許多事件發(fā)展過(guò)程中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移都是具有無(wú)后效性的，對(duì)于這些事件的發(fā)展過(guò)程，都可以用馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述。第2頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念（二)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

在事件的發(fā)展變化過(guò)程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)條件概率的定義，由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P（Ei→Ej)就是條件概率P（Ej/Ei)，即P（Ei→Ej)=P（Ej/Ei)=Pij

（1)第3頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

假定某一種被預(yù)測(cè)的事件有E1，E2，…，En，共n個(gè)可能的狀態(tài)。記Pij為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，作矩陣則稱P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。第4頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念如果被預(yù)測(cè)的某一事件目前處于狀態(tài)Ei，那么在下一個(gè)時(shí)刻，它可能由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)向E1，E2，…Ei…En中的任一個(gè)狀態(tài)。所以Pij滿足條件：第5頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念一般地，我們將滿足條件（3)的任何矩陣都稱為隨機(jī)矩陣，或概率矩陣。不難證明，如果P為概率矩陣，則對(duì)任何數(shù)m＞0，矩陣Pm都是概率矩陣。如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m＞0，使得概率矩陣Pm中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在αP=α

（4)這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。第6頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算

計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是要求每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它任何一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率Pij（i，j=1，2，…，n)。為了求出每一個(gè)Pij，我們采用頻率近似概率的思想來(lái)加以計(jì)算?？紤]某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個(gè)狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。表2-18給出了該地區(qū)1950—1989年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。以下，我們來(lái)計(jì)算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

第7頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念表2-18

某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況第8頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念從表2-18中可知，在15個(gè)從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移中，有3個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35)，有7個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40)，有5個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32)。故按照上述同樣的辦法計(jì)算可以得到第9頁(yè)/共23頁(yè)一、幾個(gè)基本概念所以，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為第10頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法為了運(yùn)用馬爾可夫預(yù)測(cè)法對(duì)事件發(fā)展過(guò)程中狀態(tài)出現(xiàn)的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)，還需要再介紹一個(gè)名詞：狀態(tài)概率πj（k)。πj（k)表示事件在初始（k=0)時(shí)狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過(guò)k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)處于狀態(tài)Ej的概率。根據(jù)概率的性質(zhì)，顯然有：第11頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法從初始狀態(tài)開始，經(jīng)過(guò)k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ej這一狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程，可以看作是首先經(jīng)過(guò)（k-1)次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)Ei（i=1，2，…，n)，然后再由Ei經(jīng)過(guò)一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej。根據(jù)馬爾可夫過(guò)程的無(wú)后效性及Bayes條件概率公式，有第12頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法若記行向量π(k)=[π1(k)，π2(k)，…，πn(k)]，則由(7)式可得逐次計(jì)算狀態(tài)概率的遞推公式：（8)式中，π（0)=[π1（0)，π2（0)，…，πn（0)]為初始狀態(tài)概率向量。第13頁(yè)/共23頁(yè)（一)第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)的狀態(tài)概率預(yù)測(cè)由上述分析可知，如果某一事件在第0個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期)的初始狀態(tài)已知（即π（0)已知)，則利用遞推公式（8)式，就可以求得它經(jīng)過(guò)k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)處于各種可能的狀態(tài)的概率（即π（k))，從而得到該事件在第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期)的狀態(tài)概率預(yù)測(cè)。在前例中，如果將1989年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為π（0)=[0，1，0]（因?yàn)?989年處于“平收”狀態(tài))，則將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（5)式及π（0)代入遞推公式（8)式，就可以求得1990—2000年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率（見表2-19)。

二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法第14頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法表2-19

某地區(qū)1990—2000年農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)概率預(yù)測(cè)值第15頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法（二)終極狀態(tài)概率預(yù)測(cè)經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率，或稱平衡狀態(tài)概率。如果記終極狀態(tài)概率向量為π=[π1，π2，…，πn]，則即：第16頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法按照極限的定義可知：將（11)式代入馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的遞推公式（8)式得即：π=πP

（12)第17頁(yè)/共23頁(yè)這樣，就得到了終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件（1）π=πP

（2）0≤πi≤1（i=1，2，…，n)以上條件（2)與（3)是狀態(tài)概率的要求，其中，條件（2)表示，在無(wú)窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，事件必處在n個(gè)狀態(tài)中的任意一個(gè)；條件（1)就是用來(lái)計(jì)算終極狀態(tài)概率的公式。終極狀態(tài)概率是用來(lái)預(yù)測(cè)馬爾可夫過(guò)程在遙遠(yuǎn)的未來(lái)會(huì)出現(xiàn)什么趨勢(shì)的重要信息。第18頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法在前例關(guān)于某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)概率的預(yù)測(cè)中，設(shè)終極狀態(tài)的概率為π=[π1，π2，π3]，則即第19頁(yè)/共23頁(yè)二、馬爾可夫預(yù)測(cè)法求解方程組（13)式得：π1=0.3653，π2=0.3525，π3=0.2799。這說(shuō)明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的變化，在無(wú)窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率。第20頁(yè)/共23頁(yè)在地理事件的預(yù)測(cè)中，被預(yù)測(cè)對(duì)象所經(jīng)歷的過(guò)程中各個(gè)階段（或時(shí)點(diǎn))的狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率是最為關(guān)鍵的。馬爾可夫預(yù)測(cè)的基本方法就是利用狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)事件發(fā)生的