2023屆廣西三校玉林高中、國(guó)龍外校、柳鐵一中高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆廣西三校玉林高中、國(guó)龍外校、柳鐵一中高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．己知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)集合,再根據(jù)交集的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，故選：A．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，且，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由已知條件列方程求解.【詳解】解：設(shè)，則有，解得．由，解得或（不合題意，舍去），有，∴．得．故選：D．3．已知向量是單位向量，且，則向量與的夾角是（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【分析】設(shè)向量的夾角為，，再利用數(shù)量積的公式和運(yùn)算化簡(jiǎn)已知等式求解.【詳解】設(shè)向量的夾角為，，因?yàn)闉閱挝幌蛄?，，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?故選：B4．2019年7月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可，良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量），經(jīng)過測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．距今約在4011年到5730年之間B．距今約在3870年到11460年之間C．距今約在4011年到11460年之間D．距今約在2005年到5730年之間【答案】A【分析】由題意，衰變規(guī)律滿足，要想碳14的質(zhì)量是原來的至，對(duì)應(yīng)得到和，所以得到正確的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?，令，則，∴，∴，∴良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間，故選：A.5．若拋物線（）上一點(diǎn)P（2，）到其焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【分析】由拋物線的定義可解答.【詳解】拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.6．閱讀如圖的程序框圖，并判斷運(yùn)行結(jié)果為（）A．55 B． C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖，在從1到10時(shí)，若為偶數(shù)，則將賦給；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，賦給，即為求的值，分組求和即得答案.【詳解】根據(jù)程序框圖，在從1到10時(shí)，若為偶數(shù)，則將賦給；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，賦給，即為求的值，兩兩結(jié)合分組求和即為輸出的值為，故選：D.7．如圖，已知所有棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱，，分別為和的中點(diǎn)，則下列陳述不正確的是（

）A．平面 B．C．與所成角的正切值為 D．與平面所成角的正切值為2【答案】B【分析】對(duì)于A：結(jié)合已知條件，構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行判定定理即可判斷；對(duì)于B：結(jié)合空間幾何關(guān)系即可判斷；對(duì)于CD：通過直線的平行關(guān)系，利用異面直線夾角的求法和線面夾角的定義即可判斷.【詳解】分別取，的中點(diǎn)為，，連接，，，，如下圖所示：對(duì)于A：由題意可知，，且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹比庵睦忾L(zhǎng)均相等，所以，即為等腰三角形，從而與不垂直，因?yàn)?，，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)樗耘c所成角為與所成角，從而，故C正確；對(duì)于D：與平面所成角為與平面所成角，由直三棱柱的性質(zhì)可知，所求角為，故，故D正確.故選：B.8．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進(jìn)而可判斷其它選項(xiàng)．【詳解】解：若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯(cuò)誤；，單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；，，故C錯(cuò)誤．故選：B．9．有一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的底面半徑相等，圓錐的母線與底面所成角為60°，若圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的6倍，則圓柱的高是底面半徑的A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，圓柱的外接球的半徑為，則.圓錐的母線與底面所成角為60°，∴圓錐的高為，母線長(zhǎng)，∴圓錐的側(cè)面積為.∴，∴，∴，.選C．【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式（其中是母線長(zhǎng)，r是底面半徑）和圓柱的表面積公式（其中是母線長(zhǎng)，r是底面半徑）是解本題的鍵．10．已知：，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的公式求出，然后借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，整理后即可得到.【詳解】，∵，∴，則，設(shè)函數(shù)，則，∵，，且函數(shù)單調(diào)遞增，∴只存在一個(gè)使，且，在單調(diào)遞減，∴，即，所以.故選：B.11．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12．已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)由，是極值點(diǎn)，得，進(jìn)而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求得最小值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，，，所以，是方程的兩個(gè)正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)問題，通常求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)根的問題，結(jié)合韋達(dá)定理可將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題；而恒成立問題，通常采用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，設(shè)的最大值為a，則____________．【答案】1【分析】根據(jù)線性約束條件作出可行域，找到最優(yōu)解求出a，再求定積分.【詳解】約束條件滿足條件的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分所以，由圖可知，當(dāng)取時(shí)，可取得最大值，所以故．故答案為：114．在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________．【答案】-40【分析】由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為：故答案為：-4015．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是______.【答案】【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式變換和函數(shù)的圖象的平移變換的應(yīng)用求出函數(shù)，再利用函數(shù)的零點(diǎn)是方程的根和三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值.【詳解】由題意，可知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，所以.因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以，因此有或，解得或.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值是；當(dāng)時(shí)，的最小值是.綜上，的最小值是.故答案為：.16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)m、n及正常數(shù)q，當(dāng)時(shí)，恒成立，若存在常數(shù)，使得為等差數(shù)列，則常數(shù)c的值為______【答案】【分析】可令m＝n﹣1，結(jié)合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，討論q是否為1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得所求結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，m，當(dāng)n＞m時(shí)，Sn﹣Sm＝qm?Sn﹣m總成立，所以n≥2時(shí)，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1?S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，當(dāng)n＝1時(shí)，也成立，所以an＝qn﹣1，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，q≠1時(shí)，Sn，{lg（c﹣Sn）}為等差數(shù)列，可得q≠1，lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）為等差數(shù)列，即有c（0＜q＜1），故答案為：c（0＜q＜1）．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求等比數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，屬于較難題.三、解答題17．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)證明：的面積(2)若，求符合條件的k的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)已知等式運(yùn)用三角恒等變形，解得，再利用余弦定理和三角形面積公式證明即可；(2)運(yùn)用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和基本不等式求符合條件的k的最小值．【詳解】（1）由題知得：由等式可知，A、B均為銳角，故有．所以，由余弦定理得：，所以的面積.方法2：（1）由題知得：或下同方法1；方法3：由題知去分母得：或下同方法1；（2）由（1）可得，，由得，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即符合條件的k的最小值為.18．如圖，在四棱柱中，底面為矩形，平面平面，且．(1)證明：平面；(2)若與平面所成角為．求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理求證即可；（2）根據(jù)二面角的平面角與法向量所成角相等或互補(bǔ)求解即可．【詳解】（1）解：由知為等邊三角形，取的中點(diǎn)為E，則，又∵平面平面，為兩垂直平面的交線，平面，平面又平面∴．∵是矩形，又平面∴平面．（2）解：由（1）可知，與平面所成的角為，故有．．∴．過D作平面，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則有，∴，取得，設(shè)平面的法向量為，則有，∴，取得，∴．故所求二面角的余弦值為．19．甲、乙兩地教育部門到某師范大學(xué)實(shí)施“優(yōu)才招聘計(jì)劃”，即通過對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬課堂考核這3項(xiàng)程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)考核組獨(dú)立依次考核，當(dāng)3項(xiàng)程序均通過后即可簽約．去年，該校數(shù)學(xué)系130名畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過3項(xiàng)程序考核放棄簽約的情況）．性別

人數(shù)參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才招聘計(jì)劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計(jì)：小明通過甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，通過乙地的各項(xiàng)程序的概率依次為，，m，其中0＜m＜1．(1)判斷是否有90%的把握認(rèn)為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；(2)若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件A，B，他通過甲、乙兩地的程序的項(xiàng)數(shù)分別記為X，Y．當(dāng)E（X）＞E（Y）時(shí)，證明：P（A）＞P（B）．參考公式與臨界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】(1)沒有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)(2)證明見解析【分析】(1)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入，求出后參考臨界值表.(2)分別列出小明參加甲乙程序的分布列，算出E（X）與E（Y），通過E（X）＞E（Y）即可證明：P（A）＞P（B）．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以沒有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)．（2）因?yàn)樾∶鲄⒓痈鞒绦虻慕Y(jié)果相互不影響，所以，則．Y的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機(jī)變量Y的分布列：Y0123P．因?yàn)镋（X）＞E（Y），所以，即，所以，所以P（A）＞P（B）．20．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，橢圓的右頂點(diǎn)滿足.(1)求橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：當(dāng)直線的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)，使得.【答案】(1)1(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，可求得，再根據(jù)離心率求得，即可求得橢圓方程，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)即可得出答案；（2）分直線的傾斜角為和不為兩種情況討論，當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，由直線的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)，使得，可得平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，證明即可.【詳解】（1）解：，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，離心率，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為1；（2）證明：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線與軸重合，不妨取，則，由，得，所以此時(shí)存在實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，則，聯(lián)立，消得，則，.所以直線的傾斜角互補(bǔ)，則平分，所以當(dāng)直線的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)，使得，綜上所述，當(dāng)直線的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法及橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題，考查了橢圓中的定值問題，考查了計(jì)算能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想，解決本題的第二問關(guān)鍵時(shí)將索證轉(zhuǎn)化為平分，有一定的難度.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是，證明成等比數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性，滿足函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)時(shí)，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合找到的位置，代入函數(shù)解析式化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1），，若，由，解得；由，解得，于是在上遞增，在遞減，所以是在上唯一的極大值點(diǎn)，不合題設(shè)．若，若，得（?。┊?dāng)時(shí)，．；或，在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個(gè)極值點(diǎn)，不合題設(shè)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．；或在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個(gè)極值點(diǎn)，不合題設(shè)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，．由；；函數(shù)在區(qū)間遞減，在區(qū)間上遞增，故在上有唯一極小值點(diǎn)．綜上所述，符合題設(shè)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．方法2：同方法1，若時(shí)，在上唯一的極大值點(diǎn)，不合題設(shè)．若時(shí)，由上述可知，要使有唯一極小值點(diǎn)，則只需要對(duì)恒成立∴對(duì)時(shí)，遞增∴故綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）當(dāng)時(shí)，則有，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，而，如下圖所示：因此曲線的交點(diǎn)只有一個(gè)，因此曲線和只有一個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，且，圖像如下圖所示，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，當(dāng)無限接近0時(shí)，無限接近，圖像如下圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過曲線和唯一的公共點(diǎn)時(shí)，直線與兩條曲線恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)如上圖所示，則有，且，①對(duì)上式同構(gòu)可得：，∵且函數(shù)在單調(diào)遞增，∴②又∵，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴．③由方程②③可得：，再結(jié)合方程①可得：．所以成等比數(shù)列．【點(diǎn)睛】1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠?/p>