【公開課教案】人教A版高中數學必修第二冊：102事件的相互獨立性教學設計

10.2事件的相互獨立性教材分析本節(jié)《普通高中課程標準數學教科書-必修二（人教A版）第十章《10.2事件的相互獨立性》，本節(jié)課主要事在已學互斥事件和對立事件基礎上進一步了解事件之間的關系，相互獨立性是另一種重要的事件關系，注意對概率思想方法的理解。發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)。教學目標與核心素養(yǎng)課程目標學科素養(yǎng)A.理解兩個事件相互獨立的概念.B.能進行一些與事件獨立有關的概念的計算.C.通過對實例的分析，會進行簡單的應用..數學建模：相互獨立事件的判定.邏輯推理：相互獨立事件與互斥事件的關系.數學運算：相互獨立事件概率的計算.數據抽象：相互獨立事件的概念教學重難點.教學重點：理解兩個事件相互獨立的概念.教學難點：事件獨立有關的概念的計算課前準備多媒體教學過程教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、 探究新知前面我們研究過互斥事件，對立事件的概率性質，還研究過和事件的概率計算方法，對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎？由知識回顧，提出問題，類比思考。發(fā)展學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。我們知道積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生，因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關系，那么這種關系會是怎樣的呢？由知識回顧，提出問題，類比思考。發(fā)展學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題。思考1:分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A二"第一枚硬幣正面朝上”，B二“第二枚硬幣反面朝上”.事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？分別計算P(A),P(B),P(AB),看看它們之間有什么關系？用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Q={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率計算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.分析：因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率思考2:一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A二“第一次摸到球的標號小于3"，B二“第二次摸到球的標號小于3”.事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？分析：對于試驗2,因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.分別計算P(A),P(B),P(AB),看看它們之間有什么關系？樣本空間Q={(m,n)|m,n￡{1,2,3,4}}包含16個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},1 1所以P(A)=P(B)=,P(AB)=2 4于是也有P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘積.相互獨立事件的定義：設A,B兩個事件,如果事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響(即P(AB)=P(A)P(B)),則稱事件A與事件B相互獨立.簡稱獨立顯然：(1)必然事件。及不可能事件0與任何事件A相互獨立.通過具體問題的事件分析，歸納出相互獨立事件的概念。發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。⑵若事件A與B相互獨立，則以下三對事件也相互獨立：①A與b;②A與5；③a與五.通過具體問題的事件分析，歸納出相互獨立事件的概念。發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。例如證①QA=AW=A(B+B)=AB+AB\P(A)=P(AB)+P(AB):.P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)k-P(B)]=P(A)P(B)而且AB與AB互斥，所以1.判斷下列事件是否為相互獨立事件.①籃球比賽的“罰球兩次”中，事件A：第一次罰球，球進了.事件B：第二次罰球，球進了.②袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球.事件A：第一次從中任取一個球是白球.事件B：第二次從中任取一個球是白球.③袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球.事件A：第一次從中任取一個球是白球.事件B：第二次從中任取一個球是白球.是;是;不是2.下列事件中，A，8是相互獨立事件的是（）A.一枚硬幣擲兩次，A=｛第一次為正面｝，B=｛第二次為反面｝B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=｛第一次摸到白球｝,B=｛第二次摸到白球｝C.擲一枚骰子，A=｛出現點數為奇數｝，B=｛出現點數為偶數｝D.A=｛人能活到20歲｝，B=｛人能活到50歲｝答案：A解析：把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故A是獨立事件；B中是不放回她摸球，顯然人事件與B事件不相互獨立；對于C,A,B應為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件8受事件A的影響.3.拋擲一枚均勻的骰子一次，記事件A=“出現偶數點”,B=

“出現3點或6點”，則事件A與B的關系是()A.互斥 8.相互獨立C.既相互互斥又相互獨立事件D.既不互斥又不相互獨立事件答案:B解析：因為A={2,4,6},B={3,6},APB={6},所以P(A)=1,P⑻=^(ABLLm1*1，所以A與8相互獨立.2 3 6 2 3注：互斥事件和相互獨立事件是兩個不同概念：兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。相互獨立事件的判斷方法.定義法：P(AB)=P(A)P(B).直接法：由事件本身的性質直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響。通過實例分析，讓學生掌握相互獨立事件的判定及概率計算，提升推理論證能力，提高學生的數學抽象、數學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。例1.一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用不放回方式從中任意摸球兩次，設事件A二“第一次摸出球的標號小于3"，事件B二“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？解：因為樣本空間Q={(m,n)|m,n￡{1,2,3,4},且mWn},共有12個樣本點通過實例分析，讓學生掌握相互獨立事件的判定及概率計算，提升推理論證能力，提高學生的數學抽象、數學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,2),(2,1)}所以此時P(AB)WP(A)P(B),因此，事件A與事件B不獨立.P(A)=P(B)=-6=j,P(AB)=1122 6例2.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,求下列事件的概率:⑴兩人都中靶;⑵恰好有一人中靶;⑶兩人都脫靶;⑷至少有一人中靶.解：設A=“甲中靶"，b=“乙中靶"，則A=“甲脫靶"，B=“乙脫靶”，由于兩個人射擊的結果互不影響，所以A與B相互獨立,A與B,A與B,A與B都相互獨立由已知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.1(1)AB="兩人都中靶”，由事件獨立性的定義得P(AB)=P(A).P(B)=0.8x0.9=0.72(2)“恰好有一人中靶”=abuAb，且aB與Ab互斥根據概率的加法公式和事件獨立性定義，得P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)?P(B)+p(A)P(B)=0.8*0.1+0.2義0.9=0.26(3)事件“兩人都脫靶”=AB,所以p(AB)=P6).P(B)=(1-0.8)x(1-0.9)=0.02(4)方法1：事件“至少有一人中靶”=ABUABUAB，且AB,AB與A.B兩兩互斥，所以P(ABUABU~AB)=P(AB)+P(AB)+P(Ab)=P(AB)+P(ABUAB)=0.72+0.26=0.98方法2：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”根據對立事件的性質，得事件“至少有一人中靶”的概率為1-P6b)=1-0.02=0.98例3甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲，乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為0.75，乙每輪猜對的概率為2/3.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率分析：兩輪活動猜對3個成語，相當于事件“甲猜對1個，乙猜對2個”、事件“甲猜對2個，乙猜對1個”的和事件發(fā)生，解：設A,A分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，B,B分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件，根據獨立性假定，得TOC\o"1-5"\h\z313 3 9P(A)=2x-x-=-,P(A)=(—)2=—i448 2，'4 16214 2 4P(B)=2x—x—=-,P(B)=(-)2=—i339 239設A二“兩輪活動'星隊'猜對3個成語”，則A二ABUAB,且AB與AB互斥，A與B,A與B分別相互獨立，所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)3494 5——x—+—x—— 8916912因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是例4.甲，乙兩人同時向敵人炮擊，已知甲擊中敵機的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機被擊中的概率.解：依題設A=｛甲擊中敵機｝,B=｛乙擊中敵機）,C=｛敵機被擊中｝則C=AUB.P(A)=0.6,P(B)=0.5由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立，進而A與B獨立.QC=AUB=AB，\P(C)=1-P(C)=1-P(A)P(B)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-(1-0.6)(1-0.5)=0.8

三、達標檢測.兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別TOC\o"1-5"\h\z為2和3，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零3 4件中恰有一個一等品的概率為()A.1 B.2 C.1 D.112 4 6答案:B解析:恰有一個一等品即有一個是一等品、一個不是一等品,故所求概率為2xr-3：+r-2X3=2義1+1*3=3十3 , 4 、 3 4 3 4 3 4 12—=—,故選B.12 12.甲、乙兩人各進行1次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.7，則其中恰有1人擊中目標的概率是()A.0.49 B.0.42 C.0.7D.0.91解析:記甲擊中目標為事件A,乙擊中目標為事件B,且人刀相互獨立.則恰有1人擊中目標為AR或ZB,所以只有1人擊中目標的概率P=P(AH)+P(4B)=0.7X0.3+0.3X0.7=0.42.答案:B.一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產品的正品率為( )A.1-a-b B.1-ab通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模的核心素養(yǎng)。C.(1-a)(1-b)

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模的核心素養(yǎng)。D.1-(1-a)(1-b)答案:C解析:設A表示“第一道工序的產品為正品”，B表示“第二道工序的產品為正品”，且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).4.已知A,B相互獨立，且P(A)=1,P(B)=2,則4 3P(AR)= .答案:上12解析:根據題意得,P(Aa)=P(A)P(為=P(A)(1-P(B))=iX(1-24 3)二.1125.某天上午，李明要參加“青年文明號”活動.為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己.假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是 .答案：0.98解析:至少有一個準時響的概率為1-(1-0.90)X(1-0.80)=1-0.10X0.20=0.98.6,已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大解出問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4，且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？略解：三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為1一P(A?B-C)=1一0.5x0.55x0.6=0.835>0.8=P(D)所以，合三個臭皮匠之力就解出的概率大過諸葛亮.7.某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05，求兩次抽獎中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定號碼； (2)恰有一次抽到某一指定號碼；⑶至少有一次抽到某一指定號碼；解：(1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A，“第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB.由于兩次抽獎結果互不影響，因此A與8相互獨立.于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05?0.050.0025“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(AB)U(AB)表示。由于事件AB與AlB互斥，根據概率加法公式和相互獨立事