【高中數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)類壓軸題

值中數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué)〃導(dǎo)數(shù)”類壓軸題方法一等價變刑，轉(zhuǎn)化構(gòu)造方法導(dǎo)讀研究函數(shù)的性質(zhì)是高考壓神題的核心思想，但直接枸造或者篇單拆分函數(shù)依然復(fù)雜，這時候需要依核對函效的等價變形，通過恒等變擢發(fā)現(xiàn)簡單函費(fèi)結(jié)構(gòu)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會起到事半功倍的效果;方法導(dǎo)引例I已知函敷.門幻=ueT(?ER),,y(x)=?+111求函數(shù)g⑴的楣伯：2)當(dāng)以濟(jì)口'1，求葩：f㈤二.(x)，解析:⑴山口3=竽+1.得43二與篝定算域?yàn)榈厥?令g'(H)=O.解蹲X=W.弼表如卜：X(。⑷X(。⑷g'㈤+式心單豳遞增e(fi.+的0-極大值單招遞減結(jié)合我格可知困數(shù)貝公的極大侑為雙白)=3+1+尢械小值-⑵要證明『㈤二鼠辦即證現(xiàn)二3+3而定義域?yàn)?0,十聞，所鼠！I要口〔口比11hix4x20.義因?yàn)樗詔tHE,一Irx-，之，必丫一山工―工,r jj所原只混ii「明LxP-(nx-xD.爭F(x)— -Jnx-Xr!il:]f'(l)=O+1)(鏟T—J記h(x)="T一5則Mx)在(0.+8)單調(diào)遞增且h(l)=0.所以當(dāng)ke(0,1)時,h(x)<0,從而FCOvo：當(dāng)x€(l,+8)時，k(x)>0.從而F(x)>0.即/㈤在(0?。/調(diào)遞減.在(1,+8)單調(diào)遞增,F(x)F(l)=0.所以當(dāng)a九f(x)>g(x).例2已知小飛/0,函數(shù)/a)="L?r.其中常數(shù)e=2)1828.(1)求/(工)的最小值；(2)當(dāng)aNl時，求證:對任意—0,都Cx)N2lnx+|一加.解析：⑴因?yàn)?(x)=e"E-以?則/'(x)="e"T_1),/(工)=提個>0故r(x)為霏上的增函數(shù),令rw=o.W^x=-u故Mx《yo,￡|j'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減：當(dāng)xG(：+<e)J'(x)>0./(x)單調(diào)遞增，則/(/=/[￡|=0故函數(shù)/(工)的最小值為0.(2)證明：要證明#(222111—1?以2等價于證明x/E>2/nv+l由(I)可知：d1"-以20?即小,以因?yàn)閤>0,故x/112ax2故等價于證明?222/小+]即ar?-2lnx-1>0,xg(0,+cc)令g(*)=a4-2/nx-1,叫證8(幻?0/€(0,+00)恒成立.令g'（*）=o.解相工=亍故當(dāng)海邸（工｝單調(diào)速城；當(dāng)X 雙打單調(diào)遞臉拉虱”）蔓爵［十=2hJtJ=irtct有因?qū)﹂T之1，放屣之0曲g（龍）蘭加〃蘭。即證.即對仟意F。，都得43三維上+1N.方法二:構(gòu)造常見典型函數(shù)方法導(dǎo)讀常見典型函數(shù)主要包括日業(yè)，刈5bix/x:營那吃等，通過變形發(fā)現(xiàn)簡單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會起到事半功倍的效果.方法導(dǎo)引⑼3口就函數(shù)fU）=竺:（口是R）在工=2處的地桀斜率比一U§求實(shí)鴕ri的值，并時論函融J㈤的單調(diào)性:;2）若的）=印噸+f（通涵明i >1.思造分析：|1｝先對函數(shù)f㈤求尋，由函旨正：.x=Z處的切或斜率超即可求出口的“避而可得函數(shù)的單避性：$（幻>1.即讓小取A；一三的造函數(shù)h（r）=x\nx.m（T）=:一%用導(dǎo)致的方M求函數(shù)顯幻的最小情和函匏工（幻的量.注晅-即可磔出皓論【詳解】⑴/㈤竽=*一1與L由切線斜率出=42）=碇，1=皋解得?-2.時./'(x)<O,/(x)單調(diào)遞求.所以7?&)的單詢遞增區(qū)間為(O.c*”),單調(diào)遞戰(zhàn)區(qū)間為(c'1+8)(2)由g(.v)>/(.V)得e'-12"''十"X也就是aWxe'-X-Inx?令》(*)=xe'-x-lnxXiJ/r(A)=c+.rc'-l---(.r+IXcA--)f由x>0知，x+l>0.X X設(shè)?x)=b-L,Ux)=c、+」>o, 在(0,+8)平調(diào)遞增.X Xs又/(；)=正-2<0.?l)=e-1>0,所以存在/W(』?D使得/(怎)=0,“1即C”=一.4當(dāng)XG(0/o)時,〃(v)vO.以幻在(0,而)單調(diào)遞端當(dāng)xw(%,xo)時，h\x)>09%(外在(w，+x)單調(diào)遞增；所以力(幻3=力(X.)=X"e'一?o-In%-1-兒+%=L所以。的取值范國足(-8,1].點(diǎn)評:利用甘數(shù)研究不等大恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用號數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含卷不等式.從而求出參數(shù)的取值范圍：也可分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問JK轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.恒成立問屣的處理方法:I)根據(jù)卷變分窩.也化為不含參數(shù)的函數(shù)的減值問題：(2)若/(x)>0就可討論參軟不同取俏.F的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最伯.最終轉(zhuǎn)化為>。?若/(X)<0恒成立,就轉(zhuǎn)化為/(刈?乂<0：⑶若/(x)>g。)恒成立,可轉(zhuǎn)化為/(x)min>ga」方法三局部構(gòu)造方法導(dǎo)讀整體與局部是認(rèn)識論重要的哲學(xué)視角，在研究函數(shù)問藤要學(xué)會從不同視角觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，如果從整體觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)感覺束手無策或復(fù)雜時，可以從觀察函數(shù)的局部結(jié)構(gòu)入手,可能會柳暗花明。方法導(dǎo)引例5.已知函數(shù)/'(x)=-alnx-J+at，ueR(1)當(dāng)avO時，討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性(2)當(dāng)。=1時，F(xiàn)(x)=/(x)+I.v+- 對任意X€(o,+<c),都有(2)當(dāng)。=1時，F(xiàn)(x)=/(x)+立，求實(shí)數(shù)〃的取伍危用.導(dǎo)引：(1)先求得定義域及函數(shù)的導(dǎo)函較.求得函數(shù)極值點(diǎn),再由。＜0.可判斷導(dǎo)函我的符號.即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.?2)招“=1代入/(x),再代入網(wǎng)”可得解析式.由不等式”(x)型恒成立，分離參救后構(gòu)造函數(shù)g(x)="-也求其導(dǎo)函數(shù)可得屋(“=巨乙［”.再構(gòu)造函數(shù)?X AA(a)=//+In.l求得/；(a)=(x2+2x)?/+：.可判斷出h(x)TT唯?的雪點(diǎn)七，即g(x)代工=%處取得最小值,進(jìn)而結(jié)合不等式即可求得6的取值他國.解析(I)定義域?yàn)?0,+8)由趣知/(》)=一〃加工一幺+,“則仆)一—_+a=(f(l).XX JT令/'(x)=0解得x=l■:當(dāng)"<0、0￥—/<0.???當(dāng)x>l./'(x)<o;當(dāng)0vxvL/'(x)>0：二函數(shù)/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,加>)單調(diào)遞減(2)將“=1代入/(x),再代入戶(x)=/(.r)+(x+g卜一桁中可得

ill產(chǎn)(x)Nl恒成立可得M”一加十(1-6)x21恒成立,即〃-14/恒成立，XX次8(*)=/-叱/.則g,(加立孝竺.XX A/?(a-)=.vV+ln.rJ/(a-)=(x2+2x)?e”+L二當(dāng)x>0忖,/(x)>0..?/(X)在(O,y)上單調(diào)遞增且有Ml)=e>O/(g)=乎一ln2<0,???函數(shù)，7(X)有唯?的零點(diǎn)小，且JvqVl,當(dāng)工w(0,%).0(*)<0.g'(x)<0,a(x)甲.i同建成當(dāng)“w(%,+00),h(x)>0,g'(x)>0.g(x)單調(diào)遞增,???g(*J是g(x)在定義城內(nèi)的最小值??〃(.0)二()得與e、=一'!^,：<與<1,(*)/2令A(yù)(r)=xF.qvxvl.方程⑴等價為A(x)=A(-lnx).；<x<M"),xw(0,+8)單調(diào)遞塔???力(工)=攵(-1111)等價為4=一11】兒1<.￥<1./"(x)=x+lnx.；〈工/"(x)=x+lnx.；〈工v1.易知川(x)單調(diào)遞增m—=--ln2<0,m(l)=1>0.、2J2???/是〃，(x)的唯,零點(diǎn),*口二g（M的最小值gf而）匚/j達(dá)與-:6一1，1惘成.主,修的荒困是（-**2］例也已知函數(shù)/（.V）==In1—M*且函數(shù)戶q在工hI處取到極悔CD求曲線『二，（功在。―⑴）處的切線方程:（2）若函數(shù)4幻=（2）若函數(shù)4幻=我一段yJ\x)+x（0<ttr<］）-且函數(shù)如R有3個極值點(diǎn)對.0,-Y+￥'$(&</<$)?證明：In';'>--.導(dǎo)引：（1）■原南效求導(dǎo)函數(shù),由6⑴=。求解吶則曲稅尸=/30在比/口））處的切線方程可求二（3）求出的微名（力的解折式,由,莒（幻（3）求出的微名（力的解折式,由,莒（幻(A■一Ml21MM4 -1'、、K1高-/據(jù)已切用'｛］）=0仃三個幃2n工+^-1=。存在兩個個同于的的零卡，地網(wǎng)丈｝=2】11工+凸一1一樂出川狀X X值范困I軸占加，）的函教特征「可判斷勺=，*弓「'是函數(shù)用工）的兩個零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)V+￥］鞏重）=2父忻，一心伊七）二/（nJ『研充/（對的單面性，把證明品.：J>一二牯化為k2> 2證明伊（天）>國證明伊（天）>國（1:』）印可.解析，UJ/（jr）=/jlnjf-j，｛刈rg—ltX二函數(shù)代劃在K=］處取到極值.二/。）三口一1=0.即口=I.數(shù)值的正負(fù)好去判斷原函數(shù)的單調(diào)性.方法導(dǎo)引：題型一：利用二次求？求函敢的極值或參數(shù)的的園例7.已知關(guān)丁X的不等式2lnx+2(l-w).v4.2<m.v?在(0.8)上恒或、》.，財槃數(shù)力的用小值為(TOC\o"1-5"\h\zA.I B.2 C.3 D.4, 、 ， lnx+.r+1解析：2ln.v+2(l-/n)x+2om2‘，. 2r+klnt+x+1 (x+l)(— —Inx)構(gòu)造/(x)=———— 求尋/(x)=-//2—?令/(x)=o?即Qx 惇、?--.r-lnx=0.2內(nèi)令4(k)=」x-lnx,g(不)=一！一1在(0,+8),g(x)<。,g(x)4(0,+8)匕是單科2 2x遞減.設(shè)*1.-1z-ln/=0 /(x)&(0,t)遞誠；任(，,+8)遞增，所以/(Mm=/a)」；；?+l工g4)>0,g(1)<0/Jill|e(l,2)??l2+tt, 2 ， (2八t所以m的最大(ft此2.【濘奚】氏JS型二，利用二次求導(dǎo)證明不等式例&已知南以/(.t)=(x+l)lnx-x+I.<1) 若可/(幻0/+。丫+1,求〃的取僮抱困：(2) 狂叫(x-l)/(x)>0.方法］常規(guī)睇法：(I)南數(shù)的比義域?yàn)?lt;o.?"f\x)=ln.v+—.xxC(x)工k，+or+I= +10x,+ax+I,oa21nx-x=a2(皿》一、)…?令冢工)二111工一工則戈(1)=1一1.x以打工=g(D=-L當(dāng)0<xvl時,g'(*)>O,g(x)以打工=g(D=-L當(dāng)X>耐,g'(X)<O.g(K)遞減,故所求G的范國型(2)由(l)m,Inx-K+I￡0,則①0<x<I時.f(x)=xInx+(Inx-x+I)<0：②x21時，f(x)=lnx+(xlnx-x+I)=lnx-x(ln---+1)0XX綜I,.可知.不等式成立.力法一,.次求二的巧妙運(yùn)用:今尸(x)=(x-l)/(x),要證明F(x)NO,只需證F(x)mm>0.閑F(x)=f(x)+(x-l)/*(x) =(x+l)lnx-r+l+(x-l)(lnx+-)x=2Wn.”(x+l)+2.x顯然當(dāng)x=l時,P(x)=0.當(dāng)0cx<I時，x+->2Jnx<0./7，(x)<0.A(x)(o,i，電域；x當(dāng)x>l時.x+->2Jnx>0,k(好的符號仍不能劃定.求一)檸數(shù)存，x(Ft(x)T=21nx+l+-!?>0.尸從仙/'。)在x>l時速此廠'(x)〉/7'⑴=0.F(x)az(ij/所以當(dāng)工一I時.F(x)min=F(I)=O.?iF(x)>Oi^>Z,原不等式成匕甥型三，利用二次求導(dǎo)來函故的單圜性例9,函數(shù)/(3)=1一0一”.xI>d明：當(dāng)x>T時.f(x)>——：X+III)設(shè)當(dāng)x20時,/(.v)<—^―-求〃的取位近的.ar+l方法??常規(guī)”法，(1>當(dāng)x>-i時上當(dāng)n.僅當(dāng)丁之1+工x+l々g(*)=e'-x-L則g(r)=e*-1.當(dāng)k>Olli,g3>O,g(t)在［0,8)是增函數(shù)：當(dāng)彳4附，g0)SO.g(x)在(-8,0］是減函數(shù)，于是g(x)科=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)xwR時,g(x)>g(O).B|Jer>l+x所以當(dāng)x>-l時J(x)N」一.I+x山題設(shè)jCO,此M/(x)20.當(dāng)a<01時，若x>-L則一三一<0,f(x)<-X-不成立：aav+1 ar+i當(dāng)。?Oflj,令人(x)=axf(x)+f(x)-x,則f(x)<二一當(dāng)且僅^h(x)<0.ar+i1［1h(.r)=af(x)+axf(x)+/(x)-1=af(x)-axf(x)+ar-/(x).(1)^0￡a￡J時，由(/)欣￡(*+l)/(x).一N")? -w(工)+G(K+1)/(.r)-/(x),=(2r/-l)/(x)<0.皿工)住［0.x)是減函數(shù).Mx)<ft(0)=0,即/?(》)M .ax+1(2)當(dāng)時，由⑴53Lr>/(x),h{x}^af(x)axf(x)\av-/(x)Nqf(x)-axf(x)+af(x)-八x)=(2?-l-av)/(x),當(dāng)0<工<即二1時，力(工)>0.所以方⑴>〃(0)=0.即/(M>x-.a at+1絳上，”的取值范圍是似曰.方法:次求B的巧妙運(yùn)用：(II)由壯設(shè)xN0./(x)W-^—,ar+l1 y?；a<0.刖Mk>一q?時，^-+1<0,f(x)< 不恒成立；a ar+1若〃之0,則以+1>O,，(x)￡—^—o(at+1)(l-e')-x0O.av+1令g(x)=3+1)(1-(?')-x,則g(0)=0，g"(x)=e'(ar+］—a)+°—Lg'。)=0.c-(2a-1-at).；aN0.'10tr—R-j.2t/—1^0,從而［￡（幻］皆0（僅當(dāng)h=Qr=:時取H="1.:* g1（工）在J0,e）內(nèi)遞減，￡（何〈耳,（。）=。 ， 二現(xiàn)於在內(nèi)遞誡,g㈤Mg⑼=0.即原不可式成匚?斤〃：＞；時上門一1＞o,令＞r-。得jc=膽二L從而當(dāng)o＜j＜型口時，怏工外1'〉ajfcit父⑴在位白^的遞增,FO酣。）=o.A甘仁）在電處_3內(nèi)遢增,虱總＞及他）一0,/（.T）＜?不歸成立.a tir+1琮Injfti.OWcrM—.方法五，構(gòu)造一元函敝方法導(dǎo)讀此發(fā)向腰一般是給出言行M,三,/（$）,/（4）的不等式,若能通過變股，指不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用函數(shù)加調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函甑再利用導(dǎo)鼬求解.方法導(dǎo)引例對一口知闡數(shù)/值）E（□,+ ＞/時，不等式等一管式。恒成仁則％數(shù)＜r的取質(zhì)但國為A-（-?,e］B.f-E由C.｛一曲/門-（一,金］［答案】口【分折】本題可以K通過構(gòu)造畫故g「）一切（燈野山。㈤在建三城內(nèi)是一個增的虬冉鞭據(jù)搏函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出心）的導(dǎo)數(shù)大于0.得出口最后通過計照的最小值得出&的取情范圍.【解析】因?yàn)橐粤σ唤z）式。X.Xa)-?Jn-上單調(diào)遞減?[inZ.+oo]單.調(diào)速增，???/(冷的極小值為a)2) 2/In-=2-21n-,無極大值，\a) a綜上：當(dāng)心0時./(k)無極值.當(dāng)q>0時./(x)的極小值為/(injj=2-2ln無極大值:(2)當(dāng)忖，/(x)—lnK+2.rNd-Inv.令g(x)=cTTnx-2,軌化證明g(x)>。???g'(x)=e*_」(x>0>gr(Ar)=^+-L>0,所以g'(x)在(0,+s)為增國數(shù).因?yàn)間'(l)=e_]>0，g'(；=\/e-2<0所以配wg.l),使得以'(")=。-2=0,因此函數(shù)g(x)在(0.X。)上中,戰(zhàn)函數(shù)，在(勺,包)上單增函數(shù).-2=0,所以g(.t)Ng(x())="'_卜1.%_2=‘+/―222???戈豐I/.g(.v)>0囚此/(x)-lnx+2x>2.2r-l例13.己知/(x)=a(x-lnx)+~.；-hwR.(I)討論/(幻的小調(diào)性：(II)當(dāng)“=1時.證明/(工)>/'")+；對于任意的工41,2]成立.解析11)求導(dǎo)數(shù)/,(*)=。(1一！)一蕓工?VA(.v—l)(av2-2)=?x當(dāng)〃二0時，A-e(o,1).y(x)>0. 單調(diào)遞增.xW(l,+8)./?(x)vo,/(x)單調(diào)遞減：當(dāng)“。時，"1)『)尸。-加+0X X'(1) 當(dāng)OVaV2時,「>1,xW(O,1)或x￡(，,+8),f>(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，x￡(1，A)./口)<0,/(x)單調(diào)遞減；(2)為"=2時，J|=l,丫￡(0,+8),八幻2。，/。)單調(diào)遞增.(3)當(dāng)。>2時,o<J|<Lxe(o,0或xW(lg),/,(、)>0,/(%)單調(diào)<1).f(x)<0.f(x)單調(diào)圮成2x-I(II)當(dāng)a=I時,f(.r)=x—Inx+——?xTOC\o"1-5"\h\z(x-\)(x2-2) I2 2fW= 3 =1 F+—X XXX, , 2x-\,1 2 2?/(x)-/(x)=x-lnA+- -(H —+—)?X XXX3 1 2=x-In.r-1+―+- t,xe[1.2]x k /3 1 2令g(K)=x-kix,h(x)=-]+-+- \..re[1,2]I .1于是/(X)—fG)=g(*+MM，g(x)=i--=-o.g(x)的最小值為g(i)=l：-V又h'(x)=又h'(x)=3 2 6_-3.r-2x+6設(shè)。(%)=-3/—2x+6,xw[1.2],因?yàn)椤?1)=1,0(2)=-10,所以必有修￡|1.2卜使得。(x0)=0.11ume(x)>o.〃(x)單調(diào)遞增,與〈XV2時，0(x)<O,其*)單闞遞減:.又〃。)=1,A(2)=1.所以方(工)的最小位為版2)=1.所以fix)-f(x)=g(A-)+h(x)>g(l)+//(2)=l+|=|.乙4即/(x)>八X)+［對r?任意的x引1,2］成立.方法七：函數(shù)分拆，獨(dú)立雙變量，換元構(gòu)造一元函數(shù)［方法導(dǎo)讀］比較復(fù)雜函數(shù)，一般是給出兩個獨(dú)立變置.通過代數(shù)變形,構(gòu)造兩個函數(shù).再利用導(dǎo)數(shù)知識求解.方法導(dǎo)引例14、xj滿足ln(4x+3y-6)-小尸2A3*+2y-6.則x+y的值為()A.2 B.1 C.0 D?-I【答案】A分析：設(shè)m=4x+3y-6,n=x+y-2.行|nm--Nm-n-2.變形為Inin-inNcn- >0),令f(m)=lnm-m.h(n)=en-n-2.求導(dǎo)求最值得f(m)z=h(n%,結(jié)合取等條件求出x.y即可解析：設(shè)m=4x+3y-6,n=x+y-2，則m-n=3x+2y-419Inm-e">mnJJnm-m-n—>1(111)=ImnmJ'((m) y,：.U<nrlF(m|>0^in>J,/1(mh。、則l(m)在(04)？出調(diào)速是(L+m)單調(diào)遞減，—L二 1令h,nj=七"一n-2(廿｝=c<-m0?歸'(川〉G；"u0/'(力<0h則h(ni(-JchO)單調(diào)速躡(O,y)單調(diào)遞增.?』(H/=h(0)=-l-\h(o).-1由題苴「（m）E"n）二m=i,n=O-j,；、打jx=I。=I.故乂y2故選A.的L5若存在正定數(shù)叫使得關(guān)于x的方程工+a（3x+3m-4*，）|1n13x1+■3m）-ln（2x）］=0■R兩個不等的處根（找中e晶自然行數(shù)的底數(shù)）.虹突數(shù)口的取砧市用足■■）*"他口）"（M遍is） 日1小’.吟匚（-8口川盛：8） D.（5號譴）1答案】D分折：由周，無時H討論，曷用QX口,再用^變力離時隙式進(jìn)行變將一再及兀轉(zhuǎn)化成新的泄放.利用新函購的單調(diào)性.最情求殍ft的范圍即可m\當(dāng)口二o時.方程乂有一個睥.小合題窟：工o原方程等價于：=［?與叫In華包有兩解2口I2j）2xifx+陽］1 I >', 1'''>j=- >-加一三（2”.加，，令“j）={2@t）Ur>-，則2H 2 2a I 2）r,l=生_加_1.由/'?）=（）用e=%且r㈤在值一句上遞減.「?當(dāng)時.（卜卜必當(dāng):時/⑴>0--/'（d茯I廣?-Z）上遞短.在仁局）遞唱.歷程-L=（左T）IlW在信十8用兩個不等的實(shí)帆例17已知函數(shù)/(幻=竺?吧9meR9x>I.x(I)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間；2)若〃工)<心恒成立.求〃7的取值范因.【答案】(I)見解析：(2〉"亞；]一〃？一Iny分析，(D求出導(dǎo)由數(shù)/''(')= ；―對〃7分類討論得出/'(工)止負(fù).從而得/(MX的單調(diào)區(qū)間：?2)不等式為111￥〈〃“/一1),x>1恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=1HA-l),x>1.問也轉(zhuǎn)化為#3(不)<0?利用g(M的導(dǎo)函數(shù)求得豉大值.注意對〃7分類討論,再解不等式可得.詳解：(I) ,X>l.t21-加40時，即”?N1時,l—m—lnvVO在口.+8)1.恒成立，所以/(N)的班調(diào)減區(qū)間是[[,+8)，無單調(diào)增區(qū)間.當(dāng)1一切>0時，即加〈I時,ill/,(x)>O^xe(Le,由/'(x)vO,得，+8),所以/(村的單間或區(qū)間是(《i，+8),單調(diào)增區(qū)間是(|.廣”[TOC\o"1-5"\h\z(2)由跑意，1他<加(./-1),x>1恒成立，g(.r)=lnx-/n(x2-l).x>I, (x)<0，/\?, 1-2心二一g(x)=-2mx= 9x>Ix x①加WOH寸，g'(x)>0(x>l),g(M在(I,p)遞增.』>l,g(x)>g(l)=0,舍我②〃后；時，g'(x)<0(x>l),g(x)在(1,長功遞減??.x>I,&(<)<8(1)=0,成立③0<刖<；時，g(x)=o(x>l),x=???x'l，舊b'(x)>O，g(x)遞增，g(x)>g⑴=0舍去綜匕/n>i.臣暗：<|)木題主要考任導(dǎo)數(shù)求兩數(shù)的中,調(diào)性、顯值.考包導(dǎo)數(shù)證明不等式.意在考倉學(xué)生對這些知識的竽握能力和分析推理能力傳化能力.(2)解答本趨的難點(diǎn)在J第2問中驍構(gòu)造新函數(shù)然后求困數(shù)的最大伯,體現(xiàn)的主要是轉(zhuǎn)化的思想.例18.函數(shù)/(x)=.v-uln.v(4/G/<).(I)求函數(shù)/?(*)=/")+上2的單調(diào)區(qū)聞?A(2)若g(x)=-LH在［1，4(￡=2.71828???)上存在一點(diǎn)工,使得〃/)必(/)成立,求〃的取值范圍.【答案】。)當(dāng)〃>一1時.〃(K)在［0,。+1)上單調(diào)遞減，在(。+1,+8)上單調(diào)通增，當(dāng)或a<-2.“W-1時，的(0.+8)上單調(diào)遞增.(2)。2或a<-2.試版分析：(1)先求函數(shù)字?jǐn)?shù),并因式分解(―1)［二(1辿］.安裝導(dǎo)函數(shù)是否變號進(jìn)行犬分類討論：當(dāng)4f-l時.導(dǎo)函數(shù)不變號，在定義區(qū)間上單調(diào)遞用；當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)由結(jié)合C》討論〃(x)單結(jié)合C》討論〃(x)單?X調(diào)性，確定對應(yīng)最小值?解出對應(yīng)。的取值范lit試胞解析：?S：<1)/;(x)=x-dav+—,定義域?yàn)?0,+oc),Xx2-ax-(\+a)_(x+l)[x-(l+a)]

2 — 2①當(dāng)。+1>0,即a>-l時,令介'(工)>0，Vx>0.：.x>\^a.令人'(x)v0,Vx>0.二0<x<1+a：②當(dāng)a+1W0,即aW-I時."(x)>0恒成立，綜I，當(dāng)〃>一1時，力(工)在(O,a+l)上單調(diào)遞遍，在(a+l,+?)I5調(diào)遞增,當(dāng)〃￡-1時,4(x)的(O,《c)上單調(diào)遞利(2》由題意可知.A口?目上存4一點(diǎn)/，使用/(/)4g(xJ成立.即在［1,?］上存在一點(diǎn)?%,使得〃(％)WO,即函數(shù)乂X)=.丫一〃瓜丫+史在［Le］上的最小值［〃(》)］,￡0.A由(1)知,①當(dāng)a+lNe?即aNe—l時.人(耳?。?,4上單調(diào)遞減?.'.［方(x)］=力(c)=e+?+"-ez<0..*.ci>。―+!,②“儲+141,即〃40時，"(可在［"］上單調(diào)通用，////(.V)］f=/;(1)=1+l+a<0,?"?a4"2：③當(dāng)1<a+］<e.即0va<d—1時.，［力(1)］皿=力(1+。)=2+a-aln(l+a)w0.:0<In(1+a)<1?,0valn(1+a)va.l.力(1+a)>2.此時不存在/使力(與)40成立.練上可得。的取值范惘是或a￡-2.e-1點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研光小等式恒成立或存在型問題，仃先以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出晟值,進(jìn)而行出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范困：也可分離變量,構(gòu)造函數(shù)，自接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問邈.方法九：換元構(gòu)造函數(shù)［方法導(dǎo)讀］比較復(fù)雜函數(shù)，一玻是給出兩個獨(dú)立變量.通過代數(shù)變形.構(gòu)造兩個函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識求解方法導(dǎo)引與函數(shù)零點(diǎn)小三奇美的雙變量I句題.一般是根據(jù)知三是方程〃x）=。的兩個限確定上"a的關(guān)系一再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有工?我.士的關(guān)系式,而構(gòu)造函數(shù)解題，有時也可以杷所結(jié)條件轉(zhuǎn)化為孫聯(lián)的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于厘的函熱.有時也.可轉(zhuǎn)化為美于』匕的函瓦若函數(shù)中刀］含有密數(shù)一可考慮把多數(shù)消去.它轉(zhuǎn)化為俄參數(shù)為自變品的雷觸例19.設(shè)日eR屈數(shù)/㈤=加工一心，⑴討論f㈤的單調(diào)性:（2）若"劃有兩個相異軍點(diǎn)孫斗，求證In』+In七＞2,I解折】由題苣窗外不上（竺JTC^+W）,當(dāng)婚口時，/丫工＞＞。朋/㈤在這義域上單增,當(dāng)"＞。.則函數(shù)在（（!-）上單.增用J,+加上單減.a a（力由已知河Jn』一"項(xiàng)=。,加工一a*=U,Inr.+lt\.x1InxIn m114MllM、所以。=一b -=—! 7期以1$+加#,＞2等價于」一Mn，券2和xL+工二用「三 ' x1'七上--In^-＞2.玉-1xi與設(shè)工＞%.號，=:1式.=1［!."；；「的一一L=U二工＞0,所以￡（/）＞￡（］）=但即儕『〉生二□/a+iy比+u r+i印是*1口，＞2,所以原理得證，例ZQ.已知函效用0=所工一通（將AR訝為常數(shù)，若函敷上】為網(wǎng)‘個等點(diǎn)#if&［工］舐），求證：rix：＞e-.［ilk明1不如殳"華。詳解:(I)awR,函數(shù)/(x)二/十2-(4-a)1,nr定義域：{>>0}.,、個..、12x2+2ax+(4-a)..f(x)=2x+2/+(4-“)一= ,x x函數(shù)/(外有兩個不同的極值點(diǎn)凡..q.對J尸仕)中的2-+2m+(4-a)應(yīng)滿足①②③三個條件：???均=-3>0?①，△=4a2-4x2x(4-a)>0.②4-。>0，③山①②③可得a的取值范圍：…、czj、l2/+2以+(4—。)TOC\o"1-5"\h\z(2)證明：???r(x)=21+2。+(4-。)一= ; ,x x得：再?X[=-a,x}.%= ,4a/?)+/(.0)=(M+xf-2x{x2+2a(?0+電)+(4-")1%與=-a2+a-4+(4-a)In——,乙4—q Q令f=-y->4,則/(xJ+/(&)=2〃，”-4廠+141-16,將其令為姐)即:的)=〃M)，/UJ?則有:他)=2山-8/+16.獷⑺=2-8，:/H/)=--8<0, =2加-&+16在定義域是單調(diào)遞藏的函數(shù)，f I：.h\t)</r(4)<0.?,?帕)在定義域也是單調(diào)遞減的函數(shù)????廂)〈力(4)=16加2-24.即：/區(qū)）+/但）＜悶〃2-24得證.【點(diǎn)睛】本題芍存導(dǎo)致9函數(shù)的極侑,本題的關(guān)健在于松據(jù)極侑點(diǎn)「二次方程根據(jù)系數(shù)的關(guān)系.結(jié)合I；送定理代人將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為有關(guān)參數(shù)的函數(shù),借助導(dǎo)致來證明，￥百分析問題以及運(yùn)算求解能力，屬T-難題.例22.已知函數(shù)/（X）=4x-aInx-：』-2,其中〃為實(shí)數(shù).乙（1）求函數(shù)y=/（x）的單調(diào)區(qū)間：（2）若函數(shù)p=/（N）右兩個極色點(diǎn)苞,心，求證：〃陽）+/（?勺）〈6-1。。.分析:（I）計算導(dǎo)數(shù),采用分類討論的方法,t/>4,0<“<4與,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（I）的結(jié)論,可得/（%）+/（占）=4+a-alna,然后構(gòu)造新函數(shù).通過導(dǎo)致研究新成數(shù)的單調(diào)性，并計算最值，然后與0比較大小，可得結(jié)果.詳解：（I）函數(shù)）=〃X）的定義域?yàn)椋?,48），17；16-4“K0,即a>4時?則7(x)<0,此時/U)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+8)：②I若16-4〃>0,0<〃<4時，令/(1)=0的兩根為2土"工，xw(0,2-V4-a)=(2+ +8),f\x)<0工€(2-。4-！,2十。4-a)./(.r)>0所以/(D的單調(diào)減區(qū)間為(0,2-,4-4)，(2+x/4-a,+力)，單調(diào)減區(qū)間為(2-"a,2+j4-a).③當(dāng)a￡0時，.Ve(0.2+x/4-a),f(x)>0x€(2+j4-a,+oo)，f(x)<0此時/(.v)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2+百K)，單淵減國間為(2+J4-U,+3).<2)當(dāng)0va<4時，函數(shù)N=/(工)有兩個極值點(diǎn)罰,與，且2+、2=4,x]x2=a./(芭)+/(xJ=4*-aIn為一Qxj-2+4x2-c?Inx2---2則/(司)+/(々)=4(*+X2)j1"中2)-；仁+引-4則/(為)+，(xj=l6-"lna-；(4’一2a)—4=4+a—alna要證/(*)+/(/)<6-Ina,只需證ahi。-。-lno+2>0.構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx—戈-lnx+2,則g(x)=1+In.v-1—=Inx—，X Xg(x)在(0.4)上單調(diào)速憎.又&(])二一]<0,. I .g(2)=In2-3>0,n.g(x)在定義域上.不間斷,由零點(diǎn)存在定理可知：,I&Cv)=O在(1,2)上唯實(shí)根飛,且In5一.則g(x)在(0,與)上遞減，(即4)上遞增，所以g")的最小值為x(?%).因?yàn)樵??%)=%卜氏0-凡一姑為+2,g(x0)=1-x0——+2=3-與+一與 IX”當(dāng)天€(1，2), 則g(*o)>O,所以g(x)Ng(xJ>0恒成立,所以alna-a-lna+2>0.所以/(為)+/(占)<6-m。，仔證.木城考查導(dǎo)致的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在丁分類討論思想的應(yīng)用，同時掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡,考驗(yàn)分析能力以及極強(qiáng)的邏輯推理能力,綜合性較強(qiáng)，屬難題.方法十：邏輯分析構(gòu)造函數(shù)［方法導(dǎo)讀］比較復(fù)雜函數(shù)，一通過邏輯分析構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識求解方法導(dǎo)引.設(shè)工為自變量，典范圍設(shè)為0，/(X)為函數(shù)：〃為參數(shù)，g(a)為大衣送式)<1)若/(#的值域?yàn)椋劬艜r］(DVxeO,g(〃)</(x)?則只需要g(</(x)ini=mWxwQ，x(x)</(x),則只需要X(c/)</(x)皿=m②VxwO,g(a)N/(".則只褥要gg)N/(x)a=MVx€D^(a)>/(a),則只需要g(a)>/(x)2=M③玉€D,g(a)<f(x),則只需要g(a)”(.x)w=M3r€D,g(a)</(x),則只需要*(〃)</(村山=M④3x€Dg(〃)2f(x),則只需要g(a)>/(x)m=m3reD,g(<2)>/(x).則只需要g(a)>/(x)M-m(2)若/("的值域?yàn)镚〃,M)①VxwD,g(人)”()則只需要g(a)g洲VxwO,g(〃)</(A?)，則只需要g(a)金〃(注意與⑴中對應(yīng)情況進(jìn)行對比)②VxwDg(a)2/(.v),則只需變g(a)2M▼xw，g(a)>/(x)?則只露耍g(a)NM(注意與《1》中對應(yīng)情i兄進(jìn)行對比)③3xeD^(a)<f(x).則只褥耍x(a)vM(注卷。(I)中對應(yīng)情況進(jìn)行對比)3xeD^(a)<f(x).則只需要g(a)<M31④BxeD^（a）＞f（x）.則只需要g（〃）＞“（注意與⑴中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）3xeD^（a）＞f（x）.則只需要2多變量恒成立問題:對干含兩個以上字以（通常為3個）的恒成立不等式，先觀察好哪些字再的范圍已知（作為變量）,那個是所求的參數(shù),然后通常行兩種方式處理（1）選杼,個已知變雄?與所求參數(shù)放在超與另?變雄進(jìn)行分離,則不含參數(shù)的伸可以耕出玨值（同時消去一元），進(jìn)而多變電恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問題了.（2）將參數(shù)與變量迸行分離，即不等號?側(cè)只含有參數(shù)，另?側(cè)是雙變量的衣達(dá)式，然后拉所需求得雙變雄去達(dá)式的最值即可.3最值法的特點(diǎn)："）構(gòu)玷函數(shù)時往往將參數(shù)叮白變疥放在不等號的一側(cè).整體視為一個函數(shù).其函數(shù)含參＜2）參數(shù)往往會出現(xiàn)在導(dǎo)曲數(shù)中,進(jìn)而參數(shù)不同的取值會對原由數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響——可能經(jīng)歷分類討論4理論基礎(chǔ)：設(shè)/（"的定義域?yàn)?。?）若Uxe。，均fr/a）VC（其中C為常數(shù)），則/（壯心4。（2）打Uxe。，均有/（x）之C（共中C為常數(shù)），則3技巧與方法：（1）最也法解決恒成立問應(yīng)會了敢所構(gòu)造的函數(shù)中白卷數(shù).進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.所以在使用最依法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作：①觀察函數(shù)/（*的零點(diǎn)是否便于猜出（注意邊界點(diǎn)的位）②縮小參數(shù)與自變狀的范惘：通過代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范也《便于單調(diào)性分析）觀察在定義域中是否包含一個恒成立的區(qū)間（即無論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小自變量的取伯范國（2）首先要明確導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性.如果所構(gòu)造的函數(shù),其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性,則可把浦要判斷符號的式子拿出來構(gòu)造一個新圉數(shù),再想辦法解決其符號.32

（3）在考慮函數(shù)最值時.除了依季單調(diào)性，也可根據(jù)景值點(diǎn)的出處，即“只白邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”,所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi)./'（'）/'（'）為/（幻的導(dǎo)函數(shù).例23.已知函數(shù) Inx（1）當(dāng)。=。時，求函數(shù)的極值：（2）若土丁三亡上,/],使/（演）4/，（彳。+“〉1成立，求實(shí)數(shù)。的量小值.解析：（1）/（X）的定義域?yàn)椋?J）U（l,+8）,、lnx-1當(dāng)。=0時，/?）二大一"/，（In.rF令/'5)=0,得*=e，列衣得X(0,1)（1，。）e（c,田）/'(X)——0+/3極小值e/所以當(dāng)戈二。時./（X）取得極小值，且極小值為C：無極大值.（2）若盯應(yīng)式&/],使/（?）￡/＜毛）+〃+1成電、lnx-1由(1)知./(x)=-，+t；_-T,(In療令后所以/'（三）十的最大位為】，=/.則原式=--+/+二4令后所以/'（三）十的最大位為】，=/.則原式=--+/+二4x故存在〃