極坐標(biāo)與參數(shù)方程數(shù)學(xué)講義

極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、考綱領(lǐng)求1.理解參數(shù)方程的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義，掌握參數(shù)方程與一般方程的互化方法.會(huì)依據(jù)所給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.理解極坐標(biāo)的觀點(diǎn).會(huì)正確進(jìn)行點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.會(huì)正確將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，會(huì)依據(jù)所給條件建立直線、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.參數(shù)方程的觀點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，若是曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)xf(t),M(x,y)都在這條曲線上，y而且關(guān)于t的每一個(gè)同意值，由這個(gè)方程所確立的點(diǎn)g(t),參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的相關(guān)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做一般方程。常有的曲線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程(1)標(biāo)準(zhǔn)式過(guò)點(diǎn)Po(x0,y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是xx0tcosa為參數(shù)，其幾何意義是PM的數(shù)目)(tyy0tsina．．．．．．．．．．(2)一般式過(guò)定點(diǎn)P(xb的直線的參數(shù)方程是000axx0at1yy0(t為參數(shù)，t)②bttan圓錐曲線的參數(shù)方程xarcos(1)圓圓心在(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程是ybrsin

(φ是參數(shù))橢圓x2y2xacos(2)橢圓1(a＞b＞0)的參數(shù)方程是ybsina2b2橢圓y2y21(a＞b＞0)的參數(shù)方程是xbcosa2b2yasin

(φ為參數(shù))(φ為參數(shù))(3)拋物線拋物線y22px的參數(shù)方程為x2pt2t為參數(shù)y2pt極坐標(biāo)極坐標(biāo)系在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，從O引一條射線Ox，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度以及計(jì)算角度的正方向(平時(shí)取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，O點(diǎn)叫做極點(diǎn)，射線Ox叫做極軸.①極點(diǎn)；②極軸；③長(zhǎng)度單位；④角度單位和它的正方向，組成了極坐標(biāo)系的四因素，優(yōu)選缺一不行.點(diǎn)的極坐標(biāo)設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度，θ表示射線Ox到OM的角度，那么ρ叫做M點(diǎn)的極徑，θ叫做M點(diǎn)的極角，有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)叫做M點(diǎn)的極坐標(biāo).注意：①點(diǎn)P(,)與點(diǎn)P1(,)關(guān)于極點(diǎn)中心對(duì)稱；②點(diǎn)P(,)與點(diǎn)P2(,)是同一個(gè)點(diǎn)；③若是規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示（即一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）；同時(shí)，極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確立的。④極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同樣是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的．即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不唯一的．P(，)（極點(diǎn)除外）的所有坐標(biāo)為(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意?。畧A的極坐標(biāo)方程①以極點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是a；②以(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos；③以(a,)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2asin；2直線的極坐標(biāo)方程①過(guò)極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程是(0)和(0).②過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是cosa.化為直角坐標(biāo)方程為xa.③過(guò)點(diǎn)A(a,)且平行于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是sina.化為直角坐標(biāo)方程為2ya.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合③兩種坐標(biāo)系中取同樣的長(zhǎng)度單位.(2)互化公式．．．．xcos2x2y2yθ的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確立ysin'tgx(x0)三、課前預(yù)習(xí)1．直線y2x1的參數(shù)方程是（）A、xt2（t為參數(shù)）B、x2t1（t為參數(shù)）y2t21y4t1優(yōu)選C、xt1（t為參數(shù)）D、xsin（t為參數(shù)）y2t1y2sin1答案：C2．已知M5,，以下所給出的不能夠表示點(diǎn)的坐標(biāo)的是()3A、5,B、5,4C、5,2D、53335,3答案：A3．在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是（）A、(1,)B、(1,)C、(1,0)D、(1，)22解：將極坐標(biāo)方程化為一般方程得：x2y22y0，圓心的坐標(biāo)為(0,1)，其極坐標(biāo)為(1,3)，選B24．點(diǎn)P1,3，則它的極坐標(biāo)是()A、2,3B、2,4C、2,3D、2,433答案：C5．直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A,B分別在x3cos為參數(shù)）和曲線C2:1上，則AB的最小值為()曲線C:（1ysinA、1B、2C、3D、4答案：Ax16．參數(shù)方程為tt(t為參數(shù))表示的曲線是（）y2A、一條直線B、兩條直線C、一條射線D、兩條射線答案：D7．若直線x12t垂直，則常數(shù)為參數(shù)與直線（）y2t4xky1k3tA、-6B、1C、6D、166優(yōu)選答案：A8．極坐標(biāo)方程4cos化為直角坐標(biāo)方程是( )A、(x2)2y24B、x2y24C、x2(y2)24D、(x1)2(y1)24答案：Ax12t9．曲線24sin(x)與曲線22的地址關(guān)系是（）412yt22A、訂交過(guò)圓心B、訂交C、相切D、相離答案：D10．曲線的參數(shù)方程為x3t22是參數(shù))，則曲線是（）yt2(t1A、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線答案：D11．在極坐標(biāo)系中，圓2上的點(diǎn)到直線cos3sin6的距離的最小值是.答案：112．圓C：x=1+cosθx=22+3t(θ為參數(shù))的圓心到直線l：y=sinθy=13t

(t為參數(shù))的距離為。答案：213x(0≤)和x42(tR)，它們．已知兩曲線參數(shù)方程分別為5cos5tysinyt的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．答案：(1,25)．514．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，已知曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分優(yōu)選別為0,x2cos，曲線C3的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且3y2sin曲線C1、C2、C3所圍成的封閉圖形的面積是.答案：23四、典例解析考向一極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長(zhǎng)度單位同樣.

），則22xcos2x2y2互化公式：或y(xysintan0)x【例1】（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)分別是(2,)，(4,)，(6,2)，(2,3)234換算成直角坐標(biāo)挨次是，，，（2）點(diǎn)M的直角坐標(biāo)分別是(2,0)，(0,2)，(2,2)，(3,1)若是0,02換算成極坐標(biāo)挨次是，，，【例2】在極坐標(biāo)系中，過(guò)圓4cos的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為．解析：由4cos得24cos．所以x2y24x，2)2y24圓心坐標(biāo)(2,0)(x過(guò)圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為x2．直線的極坐標(biāo)方程為cos2?！咀兪?】在極坐標(biāo)系中，圓心在(2，)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為（B）A、22cosB、22cosC、22sinD、22sin解析：圓心在(2，)即指的是直角坐標(biāo)系中的(2，0)圓的直角坐標(biāo)方程：(x2)2y22。圓的極坐標(biāo)方程為22cos【變式2】已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為cos3,4cos（0,02），則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)____.2)2y2解:曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程分別為x3,(x4,且y0，兩曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（3，3）.所以，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為23,6【變式3】在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，3）和B(2,),則A、B兩點(diǎn)間的距離44是．解:如下列圖,在△OAB中，|OA|4,|OB|5,75AOB361OAOBsin6SAOBAOB52評(píng)論:本題考察極坐標(biāo)及三角形面積公式，數(shù)形結(jié)合是重點(diǎn)。考向二曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與一般方程的互化優(yōu)選xcos1.【例3】（1）曲線:(為參數(shù))的一般方程為(C)sin1yA、(x1)2(y1)21B、C、(x1)2(y1)21D、x1t（2）參數(shù)方程t表示的曲線是（）y1tt

(x1)2(y1)21(x1)2(y1)21A、橢圓B、雙曲線C、拋物線D、圓答案：B【變式1】已知拋物線C的參數(shù)方程為x8t2,1的直線經(jīng)過(guò)拋物線y8t.（t為參數(shù)）若斜率為C的焦點(diǎn)，且與圓x42r2(r0)相切，則r=________。y2答案：2解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(2,0)，所以直線的方程是yx2，圓心到直線的距離為2【變式2】若直線3x4ymx1cos（為參數(shù)）沒(méi)有公共點(diǎn)，0與圓2siny則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(,0)(10,).【變式3】直線x2t(t為參數(shù))被圓(x3)2(y1)225所截得的弦長(zhǎng)為（）y1t、98B、1C、82D、93434分析:x2txy10，Q(x3)2(y1)225得圓心到直線的距離y1t3113，弦長(zhǎng)=2r2d282d22【例4】已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2y22y上的動(dòng)點(diǎn)，求2xy的取值范圍。解：設(shè)圓的參數(shù)方程為xcos，2xy2cossin15sin()1y1sin512xy51優(yōu)選小結(jié)：①設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)方程形式；②將含參數(shù)的坐標(biāo)代人所求代數(shù)式或距離公式；③利用三角性質(zhì)及變換公式求解最值.【變式5】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓x2y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求Sxy的最大值．3解：因橢圓x2y21的參數(shù)方程為x3cos(為參數(shù)），故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3ysin(3cos,sin），此中02.所以Sxy3cossin2(3cos1sin)2sin(3)。所以,當(dāng)是，S取最大值2。226【題后反思】1.化參數(shù)方程為一般方程的基本思路是消去參數(shù)，而且要保證消參的等價(jià)性，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法。2.化一般方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定適合的參數(shù)t，先確立一個(gè)關(guān)系x=f(t)（或y=(t)），再代入一般方程F（x，y）＝0，求得另一關(guān)系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)目、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）。在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。3.在參數(shù)方程與一般方程的互化中，一定使x,y的取值范圍保持一致?！菊n后牢固練習(xí)】1．橢圓x3cos(是參數(shù))的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）y15sinA、(-3，5)，(-3，-3)B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1)D、(7，-1)，(-1，-1)解：化為一般方程得(x3)2(y1)222=9,得2＝１６,c=4.∴9251，∴a=25,bcF(x-3,y+1)=F(0,±4)，∴在xOy坐標(biāo)系中，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3，3)和(3，-5).應(yīng)選B.xcossin2(02．參數(shù)方程22)表示()y1(1sin)2A.雙曲線的一支，這支過(guò)點(diǎn)(1，1)B.拋物線的一部分，這部分過(guò)(1，1)22C.雙曲線的一支，這支過(guò)(-1，1)D.拋物線的一部分，這部分過(guò)(-1，1)21x2(x＞0).∴應(yīng)選B.2解：由參數(shù)式得x2=1+sinθ=2y(x＞0).即y=2xsin(θ為參數(shù))所表示的曲線一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()3．在方程cos2yA、(2,-7)B、（1，2）C、(1，1)D、(1，0)3322優(yōu)選解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，將x=1代入，得y=1?！鄳?yīng)選C.224．曲線的極坐標(biāo)方程ρ=４sinθ化成直角坐標(biāo)方程為()A、x2+(y+2)2=4B、x2+(y-2)2=4C(x-2)2+y2=4D、(x+2)2+y2=4解：將ρ=x2y2，sinθ=yy2代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴x2應(yīng)選B.5．已知圓的極坐標(biāo)方程ρ=2sin(θ+6)，則圓心的極坐標(biāo)和半徑分別為()A、(1,),r=2B、(1,),r=1C、(1,3),r=1D、(1,-),r=2363答案：C6．在極坐標(biāo)系中，與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程是()A、ρsinθ=2B、ρcosθ=2C、ρcosθ=-2D、ρcosθ=-4解：點(diǎn)P(ρ,θ)為l上任意一點(diǎn)，則有cosθ=OB2，得ρcosθ=2，∴應(yīng)選B.OP7．4sin25表示的曲線是()2A、圓B、橢圓C、雙曲線的一支D、拋物線解：4ρsin22=54ρ·cos122cos5.把ρ=x2y2ρcosθ=x，2代入上式，得2x2y2=2x-5.2平方整理得y=-5x+25.它表示拋物線.∴應(yīng)選D.4極坐標(biāo)方程4sin2θ=3表示曲線是( )A、兩條射線B、兩條訂交直線C、圓D、拋物線解：由4sin2θ=3,得4·y2223x,它表示兩訂交直線.∴應(yīng)選B.＝3,即y=3x，y=±x2y29．直線：3x-4y-9=0與圓：x2cos(為參數(shù))的地址關(guān)系是( )y2sin,A、相切B、相離C、直線過(guò)圓心D、訂交但直線但是圓心答案：D10．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(,)到圓2cos的圓心的距離為（）22A、2B、4C、1D、399解：分別化為直角坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，(2,)化為直角坐標(biāo)是(1,3)，圓2cos的直角坐3標(biāo)方程是x2y22x0，圓心的坐標(biāo)是(1,0)，故距離為3。答案：D優(yōu)選11．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，5)且傾斜角為的直線，以定點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是3( )x11tA、2

x11t2B、y53y53tt22x11ty13tC、2D、2y53tx51t22答案：A12．若直線x4at((t為參數(shù))與圓x2+y2-4x+1=0相切，則直線的傾斜角為()ybtA、B、2C、或2D、或5333333答案：C13．設(shè)a,bR,a22b26,則ab的最小值是（C）A、22B、53C、－3D、732x34t14.若直線l的參數(shù)方程為5(t為參數(shù))，則過(guò)點(diǎn)(4，-1)且與l平行的直線在y3ty25軸上的截距為.答案：-4x13t為參數(shù))的傾斜角為；直線上一點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)M(-1，2)15．直線2(ty3t的距離為.答案：135°，|32t|x34cos,(為參數(shù))的圓心坐標(biāo)為，和圓C關(guān)于直線xy01