第八章-概率論與模糊數(shù)學

會計學1第八章-概率論與模糊數(shù)學§8.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計簡解

第1頁/共34頁

概率是研究隨機現(xiàn)象之數(shù)量規(guī)律的科學，而統(tǒng)計學的任務是收集和分析數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)對事物或現(xiàn)象作出科學的推斷。由于偶然因素對數(shù)據(jù)的收集和分析都有影響，所以在推斷時，就必然要考慮到這些偶然因素對推斷結(jié)果的影響。因此統(tǒng)計學中必須用到相當多的概率知識，建立在概率論基礎(chǔ)上的統(tǒng)計學又稱為數(shù)理統(tǒng)計學。17世紀中葉，在法國出現(xiàn)了對賭博問題的研究。也正是由于這個問題的研究，推動了數(shù)學的發(fā)展，使一門嶄新的學科──概率論誕生了。1657年，荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯（Huygens,1629-1695年）也試圖解決帕斯卡與費爾馬通信中提出的問題，撰寫出《論賭博中的計算》一書，建立了概率和數(shù)學期望等重要概念，揭示了它們的性質(zhì)和演算方法，這是最早的概率論著作。

第2頁/共34頁1917年前蘇聯(lián)科學家伯恩斯坦首先給出概率的公理體系?？聽柲缏宸蛴?933年又以更完善的形式提出了公理結(jié)構(gòu)。從此，基本完成了現(xiàn)代意義下的概率論。

1896年，由英國傳教士傅蘭雅（JonFryer,1839-1928年）和畢衡芳（1833-1902年）合譯概率論，定名為《決疑數(shù)學》。從此，概率論開始傳入我國。

第3頁/共34頁§8.2隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象

第4頁/共34頁

一類現(xiàn)象，具有偶然性，在個別試驗中呈現(xiàn)出不確定性，在大量的重復試驗中，又具有統(tǒng)計規(guī)律性，我們稱之為隨機現(xiàn)象。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科

隨機試驗：我們將具有以下三個特征的試驗稱之為隨機試驗1.

可以在相同的條件下重復進行；2.

每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；3.

進行試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)，但試驗結(jié)束時能確定出現(xiàn)的結(jié)果。第5頁/共34頁

在隨機試驗中，對一次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復試驗中卻具有某種規(guī)律性的結(jié)果或結(jié)果組合，稱之為此隨機試驗的隨機事件，簡稱事件?；臼录?/p>

:在一隨機試驗中，它的每一可能出現(xiàn)的直接結(jié)果都是一個隨機事件，它們是這個試驗的最簡單的隨機事件，我們稱這些簡單的隨機事件為基本事件。必然事件與不可能事件

第6頁/共34頁§8.3樣本空間（基本事件空間）

與事件的運算

隨機試驗E的所有基本事件所組成的集合稱之為E的樣本空間

,又稱為基本事件空間。第7頁/共34頁1.包含與相等2.事件之和（或并）3.事件之積（或交)

4.事件之差

第8頁/共34頁A1A2A3An5.事件互不相容（或互斥）

6.互為對立事件（或逆事件）

若在試驗中，事件A與事件B中必然有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生，即事件A與事件B滿足：稱事件A與事件B互為對立事件（或互為逆事件）記為:或第9頁/共34頁記號概率論集合論S樣本空間，必然事件全集不可能事件空集e基本事件元素A隨機事件子集A的對立事件A的余（補）集事件A發(fā)生必然有事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等事件A與事件B至少有一個發(fā)生A與B之并事件A與事件B同時發(fā)生A與B之交事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A與B之差事件A與事件B不相容交為空集第10頁/共34頁§8.4頻率、概率與古典概型第11頁/共34頁我們重復進行了n次試驗，假定事件A出現(xiàn)了nA次，比值fn(A)=nA/n,稱之為事件A在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率。

當n充分大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在一個數(shù)值P(A)上，稱P(A)為事件A發(fā)生的概率

“擲骰子”的試驗，有兩個特點：1.試驗的樣本空間的基本事件的個數(shù)是有限的；2.試驗中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同。一般地，設(shè)試驗E的樣本空間為，如果每個基本事件的概率相等，即，則稱之為等可能概型。第12頁/共34頁對于古典概型，由于故得因此若事件A包含k個基本事件，則有這就是等可能概型的概率計算公式。

第13頁/共34頁例1

作試驗E：“將一枚均勻的硬幣擲三次”，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。

1.寫出E的樣本空間。

2.設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求；

3.設(shè)事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求。第14頁/共34頁例2

袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球。從袋中任取球二次，每次取一只?？紤]兩種情況：（1）第一次取一球觀察顏色后放回袋中，第二次再取一球，這種情況叫做有放回抽樣；（2）第一次取后不放回袋中，第二次再取一球，這種情況叫做不放回抽樣。試分別就上述二種情況下，求：

1.取到二只球都是白球的概率；

2.取到的二只球的顏色相同的概率；

3.取到的二只球至少有一只是白球的概率。第15頁/共34頁例3

將n個不同的球隨機地放入n個不同的盒子中去，每個盒子恰有一個球的概率是多少？

例4

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件是次品，從中隨機抽取n件，問其中恰有件次品的概率是多少？

第16頁/共34頁§8.5條件概率與乘法定理

第17頁/共34頁

有某產(chǎn)品共10只，其中有3只是次品，從中任取二只，每只取后不放回。問第一只取到次品后第二只再取到次品的概率是多少？

在A已發(fā)生的條件下，求B發(fā)生的概率，故稱之為A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率，記為P(B|A),即有條件概率作如下解釋

ABBA這兩個式子叫做概率的乘法定理。第18頁/共34頁例5

設(shè)在一盒子中裝有10個球，4個黑球，

6個白球，抽球兩次，一次抽取一個，取后不放回，問兩次都抽到白球的概率是多少？

第19頁/共34頁§8.6全概率公式及應用

第20頁/共34頁定義

設(shè)S為隨機試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若

1.，{Bi}互不相容；

2.，即為全概率。則稱為樣本空間的一個劃分（分割)。

B1ABnB1B1B1如圖所示:第21頁/共34頁例7

對目標進行三次獨立炮擊，每次都重新瞄準。第一次命中率為0.4，第二次為0.5，第三次為0.7。目標中一彈而被擊毀的概率為0.2，中兩彈和三彈被擊毀的概率分別為0.6和0.8，求射擊三次擊毀目標的概率。例6

設(shè)一批同類型的產(chǎn)品是由三家工廠所生產(chǎn)的，已知其中的產(chǎn)品是第一家工廠所生產(chǎn)的，其它二廠各生產(chǎn)又已知第一、第二兩廠生產(chǎn)的有2%是次品，第三家工廠生產(chǎn)的有4%是次品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一產(chǎn)品，問抽取的是次品的概率是多少？第22頁/共34頁§8.7模糊數(shù)學及基礎(chǔ)概念

第23頁/共34頁模糊數(shù)學的對象和任務

模糊數(shù)學是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學。這里所謂模糊性，主要是指客觀事物在差異的中介過程中所顯現(xiàn)的“亦此亦彼”性。模糊數(shù)學從它誕生的那天起，便和電子計算機的發(fā)展息息相關(guān)的，也是相輔相成的，主要是同提高計算機的人工智能密切相關(guān)。

科技工作者在實踐中受到一條不相容原理：當一個系統(tǒng)復雜性增加時，我們使它精確化的能力將減少，在達到一定閾值以上時，復雜性與精確性將互相排斥，與復雜性緊緊相伴隨的就是模糊性。1965年，美國控制論專家查德（L.A.zaheh）第一次提出了模糊集合的概念，標志著模糊數(shù)學的誕生。

第24頁/共34頁概率論的產(chǎn)生，把數(shù)學的應用范圍從必然現(xiàn)象的領(lǐng)域擴大到偶然現(xiàn)象的領(lǐng)域；而模糊數(shù)學則把范圍從精確現(xiàn)象的領(lǐng)域擴大到模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域。概率論是研究和處理隨機性；而模糊數(shù)學是研究和處理模糊性。二者都屬于不確定性數(shù)學，它們之間有深刻的聯(lián)系，但又有本質(zhì)的區(qū)別。模糊數(shù)學試圖解決的任務是給各門科學，尤其是那些數(shù)學的“禁區(qū)”──如人文科學提供新的語言和工具（人文科學，指有人的智力活動參與其內(nèi)的系統(tǒng)進行研究的科學。如經(jīng)濟管理、人工智能、環(huán)境科學等等）。是使計算機能效仿人腦對復雜系統(tǒng)進行識別和判斷。第25頁/共34頁

模糊數(shù)學的基本概念簡介

對于普通子集A

打破上面的限制，將隸屬度從二元集合{0,1}推廣到閉區(qū)間[0,1]。定義1

給定論域U，所謂指定了U上的一個模糊子集是指對任意，存在隸屬度與之對應。稱為的隸屬函數(shù)。記作第26頁/共34頁例如，對于有限元的情況，，其中a,…,e表示如圖的幾何形狀。表示“園塊塊”這一模糊概念。則第27頁/共34頁模糊子集的圖象、支集、核和邊界

的度圖像一般恒有即:稱為的支集

記為:為的核如圖中[e,f]。稱為的邊界第28頁/共34頁模糊子集的運算

第29頁/共34頁

例8

“年輕”和“年老”是兩個模糊檢念。分別用模糊子集表示。其隸屬度如圖中兩條曲線分別表示實際上可以解析表出的。──“年輕或年老”（見圖中①）──“年輕又年老”（見圖中②）──“不年輕”（見圖中③）③(Yc)(u)1501001①②5