云南省昆明市第十八中學2023年高三數學理模擬試題含解析

云南省昆明市第十八中學2023年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為﹣1的直線l，l與離心率為e的雙曲線(b＞0)的兩條漸近線的交點分別為B，C．若xB，xC，xF分別表示B，C，F的橫坐標，且，則e=（）A．6 B． C．3 D．參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質．【分析】過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F（a，0），所以直線y=﹣x+a與y=±交于B、C兩點，求出B、C的橫坐標，再根據且，建立關于a、b的等式解出b2=2a2，可得此雙曲線的離心率．【解答】解：過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為﹣1的直線l，直線方程為y=﹣x+a，∵雙曲線的漸近線為y=±x，∴直線y=﹣x+a與漸近線的交點橫坐標分別為xB=，xB=，xF=a，∵，∴a2=﹣，解得2a2=b2，∴e===，故選：D【點評】本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的交點坐標、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．2.的值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：3.已知函數，則關于的方程有5個不同實數解的充要條件是（

）A．且

B．且

C．且

D．且參考答案：B4.

給出下列兩個命題：甲：異面直線m,n分別在平面α、β內，且n∥α，且m∥β，則α∥β.乙：兩平面互相垂直，分別在這兩個平面內且互相垂直的兩條直線，一定分別與另一平面垂直.正確的判斷是

A.甲、乙均假

B.甲、乙均真

C.甲真乙假

D.甲假乙真參考答案：答案：C5.在下列四個結論中，正確的有

（1）的必要非充分條件；

（2）中，A>B是sinA>sinB的充要條件；

（3）的充分非必要條件；

（4）的充要條件.A.(1)(2)(4)

B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)(4)

D.(1)(2)(3)(4)參考答案：D6.已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點，且點在直線上，則的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D與,相減得公共弦所在直線方程：，即，所以由得，即，因此，選D.點睛：在利用基本不等式求最值或值域時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.

7.集合,則A．

B．

C．

D．參考答案：答案:C

8.設是正實數，以下不等式

（）

①，②，③，④

恒成立的序號為

(A)①、③

(B)①、④

(C)②、③

(D)②、④參考答案：D9.設，則下列關系正確的是A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設全集，集合，則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點】集合的補集A1A解析：因為，，所以,故選A.【思路點撥】由補集運算直接計算可得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下表給出一個“直角三角形數陣”

……滿足每一列的數成等差數列,從第三行起,每一行的數成等比數列,且每一行的公比相等,記第i行第j列的數為等于

參考答案：略12.數列{an}是公差不為零的等差數列，若a1，a3，a4成等比數列，則公比q=__________．參考答案：考點：等差數列的通項公式；等比數列的通項公式．專題：計算題；方程思想；綜合法；等差數列與等比數列．分析：由等差數列的通項公式和等比數列的性質得a1=﹣4d，由此能求出公比q．解答：解：∵數列{an}是公差不為零的等差數列，a1，a3，a4成等比數列，∴，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴公比q===．故答案為：．點評：本題考查等比數列的公比的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的通項公式和等比數列的性質的合理運用13.已知數列的前項和為

…

…

×××

×××

，現把數列的各項排成如圖所示的三角形形狀．記為第行從左起第個數．有下列命題：①為等比數列且其公比；②當時不存在；③；④假設為大于的常數，且，，其中為的最大值，從所有，中任取一個數，若取得的數恰好為奇數的概率為，則必然為偶數．其中你認為正確的所有命題的序號是___________.參考答案：②③④．14.曲線在點

處的切線傾斜角為__________；參考答案：

解析：15.等比數列滿足，，則__________．參考答案：解：等比數列中，，，∴，解得：或（舍去）．∴．16.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是CC1中點，則二面角的正切值為_______．參考答案：【分析】設正三棱柱的所有棱長2,取的中點,這樣可以證明出，通過側面與底面垂直，利用面面垂直的性質定理可以證明出側面,也就證明出，這樣過作,利用線面垂直的判定定理，可以證明出所以平面,也就證出，這樣就可以找到二面角的平面角的補角,通過計算可以求出二面角的平面角的補角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【詳解】設正三棱柱的所有棱長2,取的中點,連接,由題意可知,,所以,利用勾股定理可以求得,過作,垂足為,連接,如下圖所示:在正三棱柱中,側面底面,而側面底面,所以側面,平面,所以有,,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的補角,在正方形中,由面積可得,求出,在中,,所以二面角的正切值為.【點睛】本題考查了求二面角的正切值問題，解決本題的關鍵是找到二面角的平面角的補角.17.如圖,在等腰三角形中,底邊,,,若,則=

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）設數列的前項和為，滿足，，且成等比數列．（1）求，，的值；（2）令，求數列的通項公式；（3）證明：對一切正整數，有…．參考答案：（1），，；（2），；（3）略.試題分析：對于第一問，可以根據題中的條件，找到關于的等量關系，從而求出的值，對于第二問，注意根據和與項的關系，類別著再寫一個，兩式相減，可以得出數列的相鄰兩項之間的遞推關系式，對所得的式子進行變形，轉化成目標數列的相鄰兩項的關系，再應用累加法求得結果，也可以應用某些項所滿足的關系，猜想數列的通項公式，之后應用數學歸納法證明即可，對于第三問，根據第二問求得數列的通項公式，之后應用裂項相消法求和，之后應用不等式的性質即可得結果.試題解析：（1）由已知，得

…………2分解之，得，，．

………4分（2）（法1）因為，，……①所以，其中．

……②1

②并整理得，，

……………6分即，．所以，相加，得．

……8分由（1）知，所以，所以時，，

……………9分又，也符合上式，所以，數列的通項公式為，．

……10分（法2）因為，，

……①所以，其中．

……②1

②，并整理得，，

即，．

……………………6分由（1）知，，．可得，，．猜想，．…………8分以下用數學歸納法證明之：（i）當時或時，猜想顯然正確．（ii）假設（）時，猜想正確，即．那么時，即時，猜想也正確．由（i）（ii），根據數學歸納法原理，對任意的，猜想正確．所以，數列的通項公式為，．…………10分（3）對一切正整數，因為，…………12分所以，………．

………14分考點：等比數列的定義，處理與的遞推公式，用累加法求數列通項，數學歸納法，理解裂項求和，考生運算求解、推理論證、歸納猜想的能力．19.設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點.若P是該橢圓上的一個動點，的最大值為1.（1）求橢圓E的方程；（2）設直線與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角(其中O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍.參考答案：解:（1）易知，，所以，，設，則，因為，故當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值1，即，解得故所求的橢圓方程為（2）設，，由得，故，.又為銳角，∴又∴，∴，解得∴的取值范圍是.

20.（15分）（2015?浙江模擬）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點M到直線l：y=x+1的最小距離為．點N在直線l上，過點N作直線與拋物線相切，切點分別為A、B．（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）當原點O到直線AB的距離最大時，求三角形OAB的面積．參考答案：【考點】：拋物線的簡單性質．【專題】：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：（Ⅰ）設y=x+b與拋物線y2=2px（p＞0）相切，且與l：y=x+1的最小距離為，求出b，再將直線方程與拋物線方程聯立，利用△=0，即可求拋物線方程；（Ⅱ）當原點O到直線AB的距離最大時，求出直線AB的方程，即可求三角形OAB的面積．解：（Ⅰ）設y=x+b與拋物線y2=2px（p＞0）相切，且與l：y=x+1的最小距離為，則=，∴b=或（舍去），y=x+與拋物線y2=2px聯立，可得x2+（1﹣2p）x+=0，∴△=（1﹣2p）2﹣4=0，∴p=1或p=0（舍去），∴拋物線方程為y2=2x；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），則過點A的切線方程為yy1=x+x1，點N在直線上，故有y0y1=x0+x1，同理，y0y2=x0+x2，故直線AB的方程為y0y=x0+x，y0=x0+1代入整理可得（y﹣1）x0+1﹣x=0，∴AB恒過（1，1），O到直線AB距離最大，顯然直線AB的方程為y=﹣x+2，代入拋物線方程，整理得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1x2=4，∴|AB|==2，∴原點O到直線AB的距離最大時，三角形OAB的面積為=2．【點評】：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，確定拋物線的方程是關鍵．21.已知函數(1)若在區(qū)間［1，+）上是增函數，求實數的取值范圍(2）若是的極值點，求在［1，］上的最大值(3）在（2）的條件下，是否存在實數b,使得函數的圖象與的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由.參考答案：（1）

在是增函數，

在上恒有，即

在［1，+）上恒成立，

則必有且

(2）依題意，即令，得.則當經變化時，與變化情況如下表1(1,3)3(3,4)4

-0+

-6

-18

-12

在［1，4］上的最大值是.C．函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，即方程恰有3個不等實根.

有兩個非零不等實根.

是其中一個根，且.存在滿足條件的b的值，b的取值范圍是且.22.(本小題滿分12分)某品牌經銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調查結果如下：

微信控非微信控合計男性262450女性302050合計5644100(1)根據以上數據，能否有95%的把握認為“微信控”與“性別”有關？(2)現從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數；(3)從(2)中抽取的5位女性中，再隨機抽取3人贈送禮品，試求抽取3人中恰有2人為“微信控”的概率.參考數據：P(K2≥k)0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510