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云南省曲靖市宣威市熱水鄉(xiāng)第三中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.給出平面區(qū)域如圖所示,若目標(biāo)函數(shù)僅在點(2,2)處取得最大值,則a的取值范圍為(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】根據(jù)取值的不同,進行分類討論.當(dāng)時,不符合題意;當(dāng)時,由目標(biāo)函數(shù)得,利用數(shù)形結(jié)合,可以求出的取值范圍.【詳解】解:畫出已知約束條件的可行域為內(nèi)部(包括邊界),如圖,易知當(dāng)時,不符合題意;當(dāng)時,由目標(biāo)函數(shù)得,則由題意得,故.綜上所述,.答案:C【點睛】本題考查了已知線性目標(biāo)函數(shù)最值情況,求參數(shù)問題,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.2.設(shè)函數(shù)的定義域為,的解集為,的解集為,則下列結(jié)論正確的是(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且,,則使得最小的n為(
)A.10 B.11 C.12 D.13參考答案:B【分析】先根據(jù)條件得首項與公差關(guān)系,再結(jié)合選項判斷符號.【詳解】因為,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,所以選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式與求和公式,考查基本分析判斷能力,屬中檔題.4.同時擲兩個骰子,向上的點數(shù)之和是6的概率是()A. B. C. D.參考答案:C【分析】分別計算出所有可能的結(jié)果和點數(shù)之和為6的所有結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】同時擲兩個骰子,共有種結(jié)果其中點數(shù)之和是6的共有:,共5種結(jié)果點數(shù)之和是6的概率為:本題正確選項:C【點睛】本題考查古典概型問題中的概率的計算,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計算出總體基本事件個數(shù)和符合題意的基本事件個數(shù),屬于基礎(chǔ)題.5.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于5km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為(
)A.km B.km C.5km D.10km參考答案:B【分析】根據(jù)題意畫出ABC的相對位置,再利用正余弦定理計算?!驹斀狻咳鐖D所示,,,選B.【點睛】本題考查解三角形畫出相對位置是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題。6.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(2)=0,則<0的解集為()A.(﹣2,0)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣2,0)∪(2,+∞)參考答案:A【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合.【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想.【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(2)=0,判斷函數(shù)f(x)在R上的符號,根據(jù)奇函數(shù)把<0轉(zhuǎn)化為<0,根據(jù)積商符號法則及函數(shù)的單調(diào)性即可求得<0的解集.【解答】解:因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),f(2)=0,所以x>2或﹣2<x<0時,f(x)>0;x<﹣2或0<x<2時,f(x)<0;<0,即<0,可知﹣2<x<0或0<x<2.故選A.【點評】考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,以及根據(jù)積商符號法則轉(zhuǎn)化不等式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想,屬中檔題.7.(5分)已知直線x+y+2=0截圓x2+y2=z2所得弦的長度為4,則圓半徑為() A. 2 B. C. 6 D. 參考答案:D考點: 直線與圓相交的性質(zhì).專題: 計算題;直線與圓.分析: 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,求出弦心距,再由條件根據(jù)弦長公式求得z的值解答: 由題意,弦心距d==.∵直線x+y+2=0截圓x2+y2=z2所得弦的長度為4,∴由弦長公式可得2=4,∴|z|=;故選:D.點評: 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式,弦長公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8.側(cè)棱長為的正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形,且四個頂點都在一個球面上,則球的表面積為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:D略9.函數(shù)在點(1,1)處的切線方程為()A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0參考答案:B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【專題】計算題.【分析】欲求切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解:依題意得y′=,因此曲線在點(1,1)處的切線的斜率等于﹣1,相應(yīng)的切線方程是y﹣1=﹣1×(x﹣1),即x+y﹣2=0,故選B.【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.10.在下列區(qū)間中,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(5分)已知a∈{x|()x﹣x=0},則f(x)=loga(x2﹣2x﹣3)的減區(qū)間為
.參考答案:(3,+∞)考點: 函數(shù)的值域.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 本題可以先將已知集合時行化簡,得到參數(shù)a的取值范圍,再求出函數(shù)f(x)的定義域,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)律,求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,得到本題結(jié)論.解答: ∵()x﹣x=0∴()x=x,當(dāng)x>1時,,方程()x=x不成立,當(dāng)x=1時,方程()x=x顯然不成立,當(dāng)x<0時,方程()x>0,方程()x=x不成立,當(dāng)x=0時,方程()x=x顯然不成立,∴0<x<1.∵函數(shù)f(x)=loga(x2﹣2x﹣3)中,x2﹣2x﹣3>0,∴x<﹣1或x>3.當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,y=x2﹣2x﹣3單調(diào)遞減,f(x)=loga(x2﹣2x﹣3)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(3,+∞)時,y=x2﹣2x﹣3單調(diào)遞增,f(x)=loga(x2﹣2x﹣3)單調(diào)遞減.∴f(x)=loga(x2﹣2x﹣3)的減區(qū)間為(3,+∞).故答案為:(3,+∞).點評: 本題考查了指數(shù)方程、函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性,本題難度不大,屬于基礎(chǔ)題.12.在平面坐標(biāo)系內(nèi),已知點,給出下面的結(jié)論;
①直線與直線平行;②;③;④,其中正確的結(jié)論序號是
參考答案:13..已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三點共線,則k=______________.參考答案:14.冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(9,3),則f(2)=______________.參考答案:4略15.已知,若不等式f(x+a)>f(2a﹣x)在[a﹣1,a]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.參考答案:(2,+∞)【考點】函數(shù)恒成立問題;分段函數(shù)的應(yīng)用.【分析】畫出f(x)的圖象,由圖象可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則原不等式轉(zhuǎn)化為2x>a在[a﹣1,a]上恒成立,解得即可.【解答】解:畫出f(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),∵不等式f(x+a)>f(2a﹣x)在[a﹣1,a]上恒成立,∴x+a>2a﹣x在[a﹣1,a]上恒成立;即2x>a在[a﹣1,a]上恒成立,故2(a﹣1)>a,解得,a>2,故答案為:(2,+∞)16.教室內(nèi)有一直尺,無論怎樣放置,在地面上總有直線與直尺所在的直線
參考答案:垂直17.已知y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù),它們的定義域均為[﹣3,3],且它們在x∈[0,3]上的圖象如圖所示,則不等式的解集是.參考答案:{x|﹣2<x<﹣1或0<x<1或2<x<3}【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì);其他不等式的解法.【分析】先將不等式轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)<0,觀察圖象選擇函數(shù)值異號的部分,再由f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),得到f(x)g(x)是奇函數(shù),從而求得對稱區(qū)間上的部分,最后兩部分取并集即可求出不等式的解集.【解答】解:將不等式轉(zhuǎn)化為:f(x)g(x)<0如圖所示:當(dāng)x>0時其解集為:(0,1)∪(2,3)∵y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù)∴f(x)g(x)是奇函數(shù)∴當(dāng)x<0時,f(x)g(x)>0∴其解集為:(﹣2,﹣1)綜上:不等式的解集是{x|﹣2<x<﹣1或0<x<1或2<x<3}故答案為:{x|﹣2<x<﹣1或0<x<1或2<x<3}三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)
已知圓的半徑為3,圓心在軸正半軸上,直線與圓相切
(I) 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(II)過點的直線與圓交于不同的兩點,而且滿足
,求直線的方程參考答案:(I)設(shè)圓心為,因為,所以,所以圓的方程為:
----------------------------------4分(II)當(dāng)直線L的斜率不存在時,直線L:,與圓M交于此時,滿足,所以符合題意
-------------------------6分當(dāng)直線L的斜率存在時,設(shè)直線L: 消去y,得
整理得:
-----------(1)所以由已知得:
整理得:
-----------------------10分把k值代入到方程(1)中的判別式中,判別式的值都為正數(shù),所以,所以直線L為:,即綜上:直線L為:,
------------------------------12分19.設(shè)函數(shù)的一條對稱軸是直線。(1)求得值;(2)求得單調(diào)增區(qū)間;(3),求f(x)的值域.參考答案:(1);(2);(3).【分析】(1)由函數(shù)的一條對稱軸是直線,得,即可求解;(2)由(1)可得,令,即可求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(3)由,所以,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,函數(shù)的一條對稱軸是直線,則,結(jié)合可得.(2)由(1)可得,令,可得,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.(3)因為,所以,所以,故的值域為.
20.已知點關(guān)于直線的對稱點為,且對直線恒過定點,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn,且,(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和,證明:對一切正整數(shù)n,有參考答案:(1);(2)見證明【分析】(1)先通過點線的位置關(guān)系求出的值,再帶入與的關(guān)系式中,再利用公式求出(2)由(1)知,再利用放縮法證明不等式?!驹斀狻拷猓?1)由已知解得,.
①當(dāng)時,
②由①—②得
數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列.當(dāng)時,上式顯然成立,(2)證明:由(2)知,①當(dāng)時,,原不等式成立.②當(dāng)時,,原不等式亦成立.③當(dāng)時,當(dāng)時,原不等式亦成立.綜上,對一切正整數(shù),有.【點睛】關(guān)于的常見放縮有。21.(6分)已知數(shù)列滿足如圖所示的程序框圖。
(I)寫出數(shù)列的一個遞推關(guān)系式;并求數(shù)列的通項公式(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和,證明不等式≤,對任意皆成立.參考答案:解(Ⅰ)由程序框圖可知,數(shù)列{an}的一個遞推關(guān)系式:,
…………1分,.又,所以數(shù)列是首項為,且公比為的等比數(shù)列,
…………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知數(shù)列的前項和
……………4分對任意的,所以
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