第二章靜電場

會計學1第二章靜電場2.1

庫侖定律和電場強度電場對某點單位正電荷的作用力稱為該點的電場強度，以E表示。

式中q

為試驗電荷的電量，F(xiàn)為電荷q受到的作用力。N(牛頓)適用條件：1.庫侖定律：兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)F/m；2.電場強度矢量第1頁/共50頁電場線方程用電場線圍成電場管帶電平行板

負電荷

正電荷

幾種典型的電場線分布由此可見，電場線的疏密程度可以顯示電場強度的大小。

第2頁/共50頁（a)單個點電荷產生的電場強度V/m

（b)n個點電荷產生的電場強度(矢量疊加原理)（c)連續(xù)分布電荷產生的電場強度元電荷產生的電場線電荷分布體電荷分布面電荷分布第3頁/共50頁例1

求長度為L，線密度為的均勻線分布電荷的電場強度。

解：

令圓柱坐標系的z軸與線電荷的長度方位一致，且中點為坐標原點。由于結構旋轉對稱，場強與方位角

無關。因為電場強度的方向無法判斷，不能應用高斯定律求解其電場強度。只好進行直接積分，計算其電位及電場強度。

因場量與無關，為了方便起見，可令觀察點P

位于yz平面，即，那么y1xz2r0第4頁/共50頁求得當長度L時，1

0，2

，則兩個分量為由于y1xz2r0第5頁/共50頁例2

有面密度為的無限大均勻帶電平面，求周圍空間的電場。解：分析題意，電場的分布以無限大帶電平面兩側為對稱。采用直角坐標系，作計算圖。為了簡化求解過程，將觀察點P取在z軸上。以原點o為圓心，作一半徑為，寬為的圓環(huán)，為環(huán)上的元電荷，如圖所示。根據(jù)對稱性，此環(huán)形元電荷的電場方向沿z軸，即RzPodEz則無限大面電荷在P點產生的電場為第6頁/共50頁2.2

電位與等位面

靜電場中某點的電位，其物理意義是單位正電荷在電場力的作用下，自該點沿任一條路徑移至無限遠處過程中電場力作的功。

應該注意，這里所說的電位實際上是該點與無限遠處之間的電位差，或者說是以無限遠處作為參考點的電位。原則上，可以任取一點作為電位參考點。顯然，電位的參考點不同，某點電位的值也不同。但是任意兩點之間的電位差與電位參考點無關，因此電位參考點的選擇不會影響電場強度的值。當電荷分布在有限區(qū)域時，通常選擇無限遠處作為電位參考點，因為此時無限遠處的電位為零。電位的數(shù)學表示式中q

為電荷的電量，W為電場力將電荷q

推到無限遠處作的功。點電荷：第7頁/共50頁

由于電場強度的方向為電位梯度的負方向，而梯度方向總是垂直于等位面，因此，電場線與等位面一定處處保持垂直。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位變化較快，因而場強較強。這樣，等位面分布的疏密程度也可表示電場強度的強弱。

電位相等的曲面稱為等位面，其方程為電場線等位面式中常數(shù)C

等于電位值。E第8頁/共50頁1.電位參考點例如：點電荷產生的電位：點電荷所在處不能作為參考點場中任意兩點之間的電位差與參考點無關。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。第9頁/共50頁

標量函數(shù)稱為電位。真空中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的負值。按照國家標準，電位以小寫希臘字母

表示，應寫為2.電位梯度證明：電位梯度增加時，克服電場力做功第10頁/共50頁例3

計算電偶極子的電場強度。

解：由前述電位和電場強度的計算公式可見，無論電荷何種分布，電位及電場強度均與電量的一次方成正比。因此，可以利用疊加原理計算多種分布電荷產生的電位和電場強度。那么，電偶極子產生的電位應為

若觀察距離遠大于兩電荷的間距l(xiāng)

，則可認為，與平行，則x-q+qzylrr-r+O第11頁/共50頁式中l(wèi)的方向規(guī)定由負電荷指向正電荷。通常定義乘積ql

為電偶極子的電矩，以p表示，即求得那么電偶極子產生的電位為

利用關系式，求得電偶極子的電場強度為第12頁/共50頁

上述結果表明，電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角有關。這些特點與點電荷顯著不同。下圖繪出了電偶極子的電場線和等位線的分布。

第13頁/共50頁2.3

真空中靜電場方程

物理實驗表明，真空中靜電場的電場強度E滿足下列兩個積分形式的方程式中0

為真空介電常數(shù)。左式稱為高斯定理，右式表明真空中靜電場的電場強度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零。第14頁/共50頁

1.高斯定理電通量：在電場中通過某一曲面電力線的根數(shù):b)高斯定理：真空中靜電場的電場強度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。以點電荷為例

分析任意形狀的閉合面S對點所張的立體角：當點位于S內時，曲面S與球面對點所張的立體角相等，為4

。當點在閉合面外，兩部分的立體角等值異號互相抵消，于是曲面S對點所張的立體角為零。

qER第15頁/共50頁例3

設半徑為a，電荷體密度為的無限長圓柱帶電體位于真空，計算該帶電圓柱體內外的電場強度。xzyaLS1

解：選取圓柱坐標系，令z

軸為圓柱的軸線。由于圓柱是無限長的，對于任一z值，上下均勻無限長，因此場量與z坐標無關。對于任一z為常數(shù)的平面，上下是對稱的，因此電場強度一定垂直于z軸，且與徑向坐標r一致。再考慮到圓柱結構具有旋轉對稱的特點，場強一定與角度

無關。

取半徑為r

，長度為L的圓柱面與其上下端面構成高斯面。應用高斯定律

第16頁/共50頁

因電場強度方向處處與圓柱側面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為當r<a

時，則電量q為,求得電場強度為當r>a

時，則電量q為,求得電場強度為第17頁/共50頁

上式中a2

可以認為是單位長度內的電量。那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為=a2的線電荷產生的電場。由此我們推出線密度為的無限長線電荷的電場強度為

由此例可見，對于這種結構對稱的無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計算其電場強度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然不易。第18頁/共50頁2.靜電場的無旋性根據(jù)靜電場基本方程可以求出電場強度的散度及旋度，即左式表明，真空中靜電場的電場強度在某點的散度等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強度的旋度處處為零。由此可見，真空中靜電場是有散無旋場。

無旋性證明見書P43由此可以看出電場力沿閉合線路所做的功為零，靜電場為保守場。第19頁/共50頁（1）高斯定律中的電量q

應理解為封閉面S

所包圍的全部正負電荷的總和。

3.靜電場特性的進一步認識:（2）靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可能相交。（3）任意兩點之間電場強度E的線積分與路徑無關。真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守場。（4）已知電荷分布的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度，或者可以通過電位求出電場強度，或者直接根據(jù)電荷分布計算電場強度等三種計算靜電場的方法。

第20頁/共50頁例4

計算點電荷的電場強度。

解：點電荷就是指體積為零，但具有一定電量的電荷。由于點電荷的結構具有球對稱特點，因此若點電荷位于球坐標的原點，它產生的電場強度一定與球坐標的方位角及無關。

取中心位于點電荷的球面為高斯面。若點電荷為正電荷，球面上各點的電場強度方向與球面的外法線方向一致。利用高斯定律上式左端積分為得或第21頁/共50頁

也可通過電位計算點電荷產生的電場強度。當點電荷位于坐標原點時點電荷的電位為求得電場強度E為

若直接根據(jù)電場強度公式，同樣求得電場強度E為

第22頁/共50頁有極分子無極分子2.4靜電場中的介質與導體

導體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質中的電荷是不會自由運動的，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場作用下，介質中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。

無極分子有極分子Ea第23頁/共50頁

實際上，介質極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當外加電場Ea

加到介質中以后，介質中出現(xiàn)的電偶極子產生二次電場Es，這種二次電場Es又影響外加電場，從而導致介質極化發(fā)生改變，使二次電場又發(fā)生變化。一直到合成電場產生的極化能夠建立一個穩(wěn)態(tài)的二次電場，極化狀態(tài)達到動態(tài)平衡，其過程如下圖所示。

介質合成場Ea+Es極化二次場Es外加場Ea第24頁/共50頁

介質極化以后，介質中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強度，以P表示，即式中pi

為體積V

中第i個電偶極子的電矩，N

為V

中電偶極子的數(shù)目。這里V

應理解為物理無限小的體積。

實驗結果表明，大多數(shù)介質在電場的作用下發(fā)生極化時，其極化強度P與介質中的合成電場強度E成正比，即式中e

稱為極化率，它是一個正實數(shù)。

第25頁/共50頁

空間各點極化率相同的介質稱為均勻介質，否則，稱為非均勻介質。

發(fā)生極化以后，介質表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質內部是不均勻的，則極化產生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質內部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。

為極化強度，它與極化電荷的關系為為束縛電荷面密度，為束縛電荷體密度。第26頁/共50頁

介質被極化后，分子可視作一個電偶極子。

設分子的電偶極矩p=ql。取如圖所示體積元，其高度等于分子極矩長度。

則負電荷處于體積中的電偶極子的正電荷必定穿過面元dS在空間中任取體積V，其邊界為S，則經S穿出V的正電荷量為穿出整個S面的電荷量為：

由電荷守恒和電中性性質，留在S面內的束縛電荷量為

1、束縛電荷體密度所以留在S面內的束縛電荷體密度為

第27頁/共50頁在介質表面上，束縛電荷面密度為式中：P為媒質極化強度，

n為媒質表面外法向單位矢量。

討論：若分界面兩邊均為媒質2、束縛電荷面密度從面元穿出的電荷量為介質1介質2n第28頁/共50頁極化電荷不能自由運動，也稱為束縛電荷；由電荷守恒定律，極化電荷總量為零；

P=常矢量時稱媒質被均勻極化，此時介質內部無極化電荷，極化電荷只會出現(xiàn)在介質表面上；均勻介質內部一般不存在極化電荷；位于媒質內的自由電荷所在位置一定有極化電荷出現(xiàn)。注意第29頁/共50頁3.介質中的靜電場方程

在介質內部，穿過任一閉合面S的電通應為式中q為閉合面S

中的自由電荷，為閉合面S

中的束縛電荷。那么

令，求得此處定義的D稱為電位移?？梢?，介質中穿過任一閉合面的電位移的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關。上式又稱為介質中的高斯定律的積分形式，利用矢量恒等式不難推出其微分形式為

第30頁/共50頁

介質中微分形式的高斯定律表明，某點電位移的散度等于該點自由電荷的體密度。

電位移也可用一系列曲線表示。曲線上某點的切線方向等于該點電位移的方向，這些曲線稱為電位移線。若規(guī)定電位移線組成的相鄰的通量管中電位移的通量相等，那么電位移線的疏密程度即可表示電位移的大小。值得注意的是，電位移線起始于正的自由電荷，而終止于負的自由電荷，與束縛電荷無關。已知各向同性介質的極化強度，求得令，式中稱為介質的介電常數(shù)。已知極化率e

為正實數(shù)，因此，一切介質的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。則第31頁/共50頁

實際中經常使用介電常數(shù)的相對值，這種相對值稱為相對介電常數(shù)，以r

表示，其定義為可見，任何介質的相對介電常數(shù)總是大于1。下表給出了幾種介質的相對介電常數(shù)的近似值。介

質介

質空

氣1.0石

英3.3油2.3云

母6.0紙1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有機玻璃2.6~3.5純

水81石

臘2.1樹

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr第32頁/共50頁平板電容器中有一塊介質,畫出D、E

和P線分布。D、E與P

三者之間的關系D線E線P線D

線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷；E

線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷；P

線由負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。第33頁/共50頁

對于均勻介質，由于介電常數(shù)與坐標無關，因此獲得此外，對于均勻介質，前述電場強度及電位與自由電荷的關系式仍然成立，只須將其中真空介電常數(shù)換為介質的介電常數(shù)即可。例已知同軸線的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，內外導體之間填充介質的介電常數(shù)為。試求單位長度內外導體之間的電場強度。ab解：由于電場強度一定垂直于導體表面，因此，同軸線中電場強度方向一定沿徑向方向。又因結構對稱，可以應用高斯定律。

設內導體單位長度內的電量為q，圍繞內導體作一個圓柱面作為高斯面S第34頁/共50頁

為了討論邊界上某點電場強度的切向分量的變化規(guī)律，圍繞該點且緊貼邊界作一個有向矩形閉合曲線，其長度為l，高度為h，則電場強度沿該矩形曲線的環(huán)量為為了求出邊界上的場量關系，必須令h0，則線積分2.兩種介質的邊界條件

E2E11324lh

1

2et

由于媒質的特性不同，引起場量在兩種媒質的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊界條件。為了方便起見，通常分別討論邊界上場量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。第35頁/共50頁

為了求出邊界上某點的場量關系，必須令l

足夠短，以致于在l內可以認為場量是均勻的，則上述環(huán)量為式中E1t

和E2t

分別表示介質①和②中電場強度與邊界平行的切向分量。已知靜電場中電場強度的環(huán)量處處為零，因此由上式得此式表明，在兩種介質形成的邊界上，兩側的電場強度的切向分量相等，或者說，電場強度的切向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質，得此式表明，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，電位移的切向分量是不連續(xù)的。

第36頁/共50頁hS

為了討論電位移的法向分量變化規(guī)律，在邊界上圍繞某點作一個圓柱面，其高度為h，端面為S。那么根據(jù)介質中的高斯定律，得知電位移通過該圓柱面的通量等于圓柱面包圍的自由電荷，即D2D1令h0

，則通過側面的通量為零，又考慮到S

必須足夠小，則上述通量應為式中D1t

及D2t

分別代表對應介質中電位移與邊界垂直的法線分量。邊界法線的方向en

規(guī)定為由介質①指向介質②。

1

2en第37頁/共50頁求得式中s

為邊界上存在的表面自由電荷的面密度?？紤]到在兩種介質形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此此式表明，在兩種介質邊界上電位移的法向分量相等，或者說，電位移的法向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質，得此式表明，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，電場強度的法向分量不連續(xù)的。

還可導出邊界上束縛電荷與電場強度法向分量的關系為動畫演示第38頁/共50頁4.介質與導體的邊界條件

靜電平衡：當孤立導體放入靜電場中以后，導體中自由電子發(fā)生運動，電荷重新分布。由于自由電子逆電場方向反向移動，因此重新分布的電荷產生的二次電場與原電場方向相反，使導體中的合成電場逐漸削弱，一直到導體中的合成電場消失為零，自由電子的運動方才停止，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。

由此可見，導體中不可能存在靜電場，導體內部不可能存在自由電荷的體分布。所以，當導體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導體的表面上。因為導體中不可能存在靜電場，因此導體中的電位梯度為零，這就意味著導體中電位不隨空間變化。所以，處于靜電平衡狀態(tài)的導體是一個等位體，導體表面是一個等位面。第39頁/共50頁

既然導體中的電場強度為零，導體表面的外側不可能存在電場強度的切向分量。換言之，電場強度必須垂直于導體的表面，即介質E,D導體en

導體表面存在的表面自由電荷面密度為或寫為式中為導體周圍介質的介電常數(shù)。

已知導體表面是一個等位面，因，求得表面電位與電荷的關系為

考慮到導體中不存在靜電場，因而極化強度為零。求得分界面束縛電荷面密度為第40頁/共50頁

靜電屏蔽：當封閉的導體空腔中沒有自由電荷時，即使腔外存在電荷，腔中也不可能存在靜電場。這就意味著封閉的導體腔可以屏蔽外部靜電場，這種效應稱為靜電屏蔽。

當然，總電通為零可能是由于閉合面內部沒有電荷，因而沒有場；或者因為正負電荷相等，但是這是不可能的。因為電荷只可能分布在導體的表面上，若以正負電荷之間任一根電場線和腔壁中任一根曲線組成一條閉合曲線，由于腔壁中沒有電場，沿該條閉合曲線的電場強度的環(huán)量不可能為零，這就違背了靜電場的基本特性。此外，顯然若腔體接地，位于腔中的電荷也不可能對外產生靜電場。

由于導體內部沒有靜電場，因此若沿腔壁內部作一個閉合曲面，通過其表面的電通一定為零。第41頁/共50頁

例

已知半徑為r1

的導體球攜帶的正電量為q，該導體球被內半徑為r2

的導體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質，其介電常數(shù)為1，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質，該層介質的外半徑為r4

，介電常數(shù)為2

，外部區(qū)域為真空，如左下圖示。試求：①各區(qū)域中的電場強度；②各個表面上的自由電荷和束縛電荷。解：

由于結構為球對稱，場也是球對稱的，應用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導體表面，因而也垂直于高斯面。r1r2r3r4

0

2

1第42頁/共50頁

在r<r1及r2<r<r3

區(qū)域中，因導體中不可能存靜電場，所以E=0。

在r1<r<r2

區(qū)域中，得r1r2r3r4