第3講數(shù)列極限

會(huì)計(jì)學(xué)1第3講數(shù)列極限第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“ε－δ”和“ε－X”

語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限。第1頁/共59頁第二章極限第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則第2頁/共59頁稱為一個(gè)數(shù)列,

記為{xn}.1.定義

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng)xn=f(n)

稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)

數(shù)列也稱為序列第3頁/共59頁2.數(shù)列的表示法公式法圖示法表格法

運(yùn)用數(shù)軸表示運(yùn)用直角坐標(biāo)系表示第4頁/共59頁介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1第5頁/共59頁…xnx2x1x0x3…??????????第6頁/共59頁01–1x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)第7頁/共59頁x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項(xiàng)第8頁/共59頁1xnx3x2x1x0………??????????…第9頁/共59頁3.數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性第10頁/共59頁(1)

數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？有誰來說一說.第11頁/共59頁第12頁/共59頁嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列第13頁/共59頁(2)數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎？第14頁/共59頁第15頁/共59頁數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？

有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？想想：第16頁/共59頁|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N從數(shù)軸上看,有界數(shù)數(shù)列{xn}

的全部點(diǎn)都落在某區(qū)間

(－M*,M*)中.()x0M*－M*??????????第17頁/共59頁例2…xnx2x1x0x3…??????????觀察例1中的幾個(gè)數(shù)列：第18頁/共59頁01–1x第19頁/共59頁x1M3x1xx4x2??????????0第20頁/共59頁1xnx3x2x1x0………??????????…第21頁/共59頁xn0242nx1x2……x???????????????……

有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.第22頁/共59頁若xnM,MR,

則稱

{

xn}有上界.若xnm,mR，

則稱

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.第23頁/共59頁

一個(gè)數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個(gè)界(上界,下界).第24頁/共59頁

現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界：

首先看有界性定義的關(guān)鍵所在對(duì)所有的第25頁/共59頁例3證分析第26頁/共59頁二、數(shù)列的極限001第27頁/共59頁

極限描述的是變量的變化趨勢(shì).討論數(shù)列當(dāng)無限增大時(shí)的變化趨勢(shì).容易看出:當(dāng)無限增大時(shí),x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????第28頁/共59頁“n無限增大”

記為

n.此時(shí)稱數(shù)列當(dāng)n時(shí)以零為極限,記為：這就是該數(shù)列的變化趨勢(shì)第29頁/共59頁的圖上看,

從數(shù)列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????

量化表示：n時(shí),xna.第30頁/共59頁預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù)>0,不論它的值多么小,當(dāng)n無限增大時(shí),

數(shù)列

{xn}總會(huì)從某一項(xiàng)開始,

以后的所有項(xiàng)都落在

U(0,)中.（在U(0,)外面只有有限項(xiàng)）第31頁/共59頁

010)1(e<--nn其中,是描述點(diǎn)xn與點(diǎn)

0

無限接近的度量標(biāo)準(zhǔn),它是預(yù)先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關(guān).不存在.第32頁/共59頁由

N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標(biāo)不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標(biāo)不等式.第33頁/共59頁一般地,

如果數(shù)列{xn}當(dāng)

n時(shí),

列{xn}當(dāng)

n時(shí)以

a為極限,記為xn可以無限地趨近某個(gè)常數(shù)

a,

則稱數(shù)此時(shí),也稱數(shù)列是收斂的.第34頁/共59頁例4001第35頁/共59頁若{xn}當(dāng)

n時(shí)沒有極限,

則稱{xn}發(fā)散.若時(shí),使當(dāng)記為或此時(shí),

也稱數(shù)列{xn}是收斂的.

極限描述的是變量的變化趨勢(shì)

數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：第36頁/共59頁例5證故取則n>N時(shí),由極限的定義,得第37頁/共59頁例6證成立.由極限的定義可知:

放大不等式法第38頁/共59頁例7證

通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.第39頁/共59頁例8證由絕對(duì)值不等式,得注意：該例題結(jié)論的逆命題不真.例如,{(1)n}.第40頁/共59頁例9證逆命題成立嗎？第41頁/共59頁例10證第42頁/共59頁第43頁/共59頁1.唯一性定理若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數(shù)列極限的性質(zhì)第44頁/共59頁設(shè)數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：證運(yùn)用反證法任意性由的任意性,上式矛盾,故a=b.第45頁/共59頁

唯一性定理的推論的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以a為極限.

充分必要條件何謂子數(shù)列？第46頁/共59頁子數(shù)列的概念

在數(shù)列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各項(xiàng)原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列,記為

唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．第47頁/共59頁例11解取子數(shù)列：第48頁/共59頁例12解利用函數(shù)的周期性,在{xn}中取兩個(gè)子數(shù)列:第49頁/共59頁第50頁/共59頁2.有界性定理

若數(shù)列{xn}收斂,

則{xn}必有界.證設(shè)則由極限定義,取時(shí),即有則由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn}收斂,則必有界.

該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.

例如,{(－1)n}.第51頁/共59頁有界性定理的推論：即無界數(shù)列的極限不存在.

無界數(shù)列必發(fā)散.第52頁/共59頁例13發(fā)散的數(shù)列不一定都無界.例如,{(－1)n}.第53頁/共59頁

收斂的數(shù)列必有界.

有界的數(shù)列不一定收斂.

無界的數(shù)列必發(fā)散.

發(fā)散的數(shù)列不一定無界.第54頁/共59頁第55頁/共59頁3.保號(hào)性定理證由絕