其他代數(shù)系統(tǒng)

其他代數(shù)系統(tǒng)第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定義7.1

設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(R,+,＊)如對任意a,b,c∈R滿足下列條件： 1)(R,+)是一個可換群； 2)(R,＊)是一個半群； 3)運算＊對+滿足分配律，即a＊(b+c)=a＊b+a＊c(b+c)＊a=b＊c+c＊a(使得加法單位元成為乘法零元素(R,＊)不可能是群) 則稱(R,+,＊)是環(huán).在環(huán)中,a-b≡a+(-b),這里-b是b關(guān)于運算+的逆元第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定義7.2

設(shè)(R,+,＊)是環(huán)，而且對＊滿足交換律，則稱(R,+,＊)是可換環(huán).定義7.3

設(shè)(R,+,＊)是環(huán)，(R,＊)是單元半群，則稱(R,+,＊)是含單位元的環(huán).對+運算的單位元用“0”表示,對＊運算的單位元用“1”表示.例：(I,+,×),(Q,+,×),(R,+,×)都是環(huán)，且是可換環(huán)及含單位元的環(huán).第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)例：設(shè)(R,+,＊)是一代數(shù)系統(tǒng),其中R為實數(shù)集,+為實數(shù)加法,任取a,b∈R,a＊b=|a|b. 試判斷(R,+,＊)是否為環(huán).解： (R,+)是可換群,(R,＊)是半群 任取a,b,c∈R,有 a＊(b+c)=|a|(b+c)=|a|b+|a|c=(a＊b)+(a＊c) (b+c)＊a=|b+c|a (b＊a)+(c＊a)=|b|a+|c|a |b+c|a=|b|a+|c|a不一定成立,所以＊對+不是右可分配的. 所以(R,+,＊)不是環(huán).第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)例(7.4)：設(shè)(R,+,＊)是環(huán)且對每個a∈R,有a2=a(此種環(huán)稱布爾環(huán)),試證： 1)(R,+,＊)是可換環(huán); 2)對所有a∈R,都有a+a=0.證明： 1)因為對于任意的a,b∈R,都有a+b∈R,a2=a,所以(a+b)＊(a+b)=a+b =>a＊a+a＊b+b＊a+b＊b=a+b =>a+a＊b+b＊a+b=a+b =>a＊b+b＊a=0 即a＊b=-b＊a第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán) 2)因為對任意的a∈R,都有a+a∈R,a2=a,所以 (a+a)＊(a+a)=a+a =>a＊a+a＊a+a＊a+a＊a=a+a =>a+a+a+a=a+a =>a+a=0 即a=-a=>b＊a=-b＊a 綜上有a＊b=b＊a,所以(R,＊)滿足交換律,(R,+,＊)是可換環(huán).第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定理7.1 設(shè)(R,+,＊)是環(huán)，對a,b∈R，必有 1)a＊0=0＊a=0 2)a＊(-b)=(-a)＊b=-(a＊b) 3)(-a)＊(-b)=a＊b如果環(huán)(R,+,＊)有非零元素a,b∈R，使得a＊b=0,則稱(R,+,＊)有零因子.第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定理7.2 環(huán)(R,+,＊)無零因子當(dāng)且僅當(dāng)(R,+,＊)滿足消去律. 即環(huán)(R,+,＊)中a,b,c∈R且a≠0，有 a＊b=a＊c?b=c b＊a=c＊a?b=c證明：環(huán)(R,+,＊)無零因子,令a,b,c∈R滿足a＊b=a＊c,a≠0,因此a＊b-a＊c=a＊(b-c)=0,所以b=c.如果環(huán)(R,+,＊)有零因子,令a,b∈R使得a＊b=0,假設(shè)a≠0,有a＊b=a＊0=0,由消去律有b=0.同理,假設(shè)b≠0,則有a=0。這與環(huán)(R,+,＊)有零因子矛盾.第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)例：設(shè)I是整數(shù)集合,X={(a,b)|a∈I且b∈I},定義X上的二元運算⊕和◎如下： 設(shè)(a1,b1),(a2,b2)∈X,則有 (a1,b1)⊕(a2,b2)=(a1+b1,a2+b2) (a1,b1)◎(a2,b2)=(a1×b1,a2×b2) 其中+,×分別是算數(shù)加法和乘法運算. 試證(X,⊕,◎)是環(huán),并求出此環(huán)的所有零因子.證明： 根據(jù)運算⊕的定義,⊕在X上封閉,且滿足交換律和結(jié)合律.第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán) (X,⊕)的幺元是(0,0),任取(a,b)∈X,(a,b)的逆元是(-a,-b).所以(X,⊕)是可換群. 運算◎在X上封閉,且滿足結(jié)合律,所以(X,◎)是半群. 任取(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3)∈X,有 (a1,b1)◎((a2,b2)⊕(a3,b3)) =(a1×a2+a1×a3,b1×b2+b1×b3) ((a1,b1)◎(a2,b2))⊕((a1,b1)◎(a3,b3)) =(a1×a2+a1×a3,b1×b2+b1×b3) 運算⊕和◎滿足交換律,可得◎?qū)Θ捠强煞峙涞?第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán) 綜上,(X,⊕,◎)是環(huán) ⊕的幺元(0,0)就是◎的零元 對于任意元素(a,0),(0,b)∈X(a≠0,b≠0),有 (a,0)◎(0,b)=(0,0) 所以所有的(a,0)及(0,b)(a≠0,b≠0)都是該環(huán)的零因子.第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定義7.4 設(shè)(R,+,＊)是環(huán),S是R的非空子集,如子代數(shù)(S,+,＊)也是環(huán),則稱它是(R,+,＊)的子環(huán).定理7.3 設(shè)(R,+,＊)是環(huán),(S,+,＊)是它的子代數(shù),(S,+,＊)是(R,+,＊)的子環(huán)的充分必要條件是對任一a∈S,都有a-1∈S.(這里a-1是+運算的逆)第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.1環(huán)定義7.5 設(shè)(R,+,＊)與(S,⊕,◎)是兩個環(huán),f：RS是函數(shù),如果對所有a,b∈R,有： 1)f(a+b)=f(a)⊕f(b) 2)f(a＊b)=f(a)◎f(b) 則稱f是一個環(huán)同態(tài).如f是一一對應(yīng)函數(shù),則稱f是一個環(huán)同構(gòu),或說環(huán)(R,+,＊)與(S,⊕,◎)環(huán)同構(gòu),并記以 (R,+,＊)

(S,⊕,◎)或簡記為為RS第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.2理想定義7.6環(huán)(R,+,＊)的子環(huán)(D,+,＊)如滿足對每個a∈R,d∈D都有a＊d∈D,d＊a∈D,則稱(D,+,＊)是(R,+,＊)的一個理想子環(huán),或簡稱理想.如D=R或D={0}則稱(D,+,＊)是(R,+,＊)的平凡理想.如D≠{0}、D?R則稱(D,+,＊)是(R,+,＊)的真理想.第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.2理想若(D,+,＊)是(R,+,＊)的真理想,且不存在D’?D使得(D‘,+,＊)是(R,+,＊)的真理想,則稱(D,+,＊)是(R,+,＊)的最大理想.設(shè)(D,+,＊)是(R,+,＊)的理想,對某個g∈D有 D={r＊g|r∈R}, 則稱(D,+,＊)為主理想.顯然,g是(D,+,＊)的生成元素.若一個環(huán)的每個理想都是主理想,則稱該環(huán)為主理想環(huán). 如：(I,+,×)是主理想環(huán),對每個非負(fù)整數(shù)m,子環(huán)({m×I|i∈I},+,×)都是(I,+,×)的主理想.第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.2理想例(7.1)：試證兩個理想的交集仍構(gòu)成一個理想.證明： 設(shè)(D1,+,＊)和(D2,+,＊)是環(huán)(R,+,＊)的兩個理想,令a,b∈D1∩D2,r∈R,于是a,b∈D1,a,b∈D2,從而有： a-b,r＊a,a＊r∈D1 a-b,r＊a,a＊r∈D2 因此a-b,r＊a,a＊r∈D1∩D2 故(D1∩D2,+,＊)是一個理想.第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3整環(huán)定義7.7 設(shè)(R,+,＊)是環(huán),它有單位元、是可換環(huán)、無零因子則稱(R,+,＊)是一個整環(huán).定理7.5 (R,+,＊)是一個整環(huán),A-{0}中所有元素關(guān)于運算＊均是可消去的,即對任意a,b,c∈R且a≠0,如有a＊b=a＊c,則必有b=c.第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3整環(huán)例：判斷以下環(huán)是否是整環(huán)？ 1)(I,+,×) 2)(Z6,+6,×6)3)(Z7,+7,×7)解： 1)(I,+,×)是整環(huán).因為×可交換,1是乘法幺元,且(I,+,×)中無零因子. 2)(Z6,+6,×6)不是整環(huán).因為[0]是×6運算的零元,而[3]×6[2]=[0],所以(Z6,+6,×6)是含零因子環(huán). 3)(Z6,+6,×6)是整環(huán).定理7.6 環(huán)(Zm,+m,×m)是整環(huán)的充分必要條件是m是素數(shù).第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3整環(huán)例：已知({(a,b)|a,b為整數(shù)},+,＊),討論該代數(shù)系統(tǒng)是否為環(huán)?是否為整環(huán)?其中 (a,b)=(c,d)a=c且b=d (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)＊(c,d)=(ab,cd)解：設(shè)S={(a,b)|a,b為整數(shù)} 1)(S,+)為可換群,其單位元素為(0,0) 2)(S,＊)對任何(a,b),(c,d),(e,f)∈S,有 ((a,b)＊(c,d))＊(e,f)=(ac,bd)＊(e,f)=(ace,bdf) (a,b)＊((c,d)＊(e,f))=(a,b)＊(ce,df)=(ace,bdf) 故滿足結(jié)合律,(S,＊)是半群.第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3整環(huán)

3)(a,b)＊(c,d)+(a,b)＊(e,f)=(ac,bd)+(ae,bf) =(ac+ae,bd+bf) (a,b)＊((c,d)+(e,f))=(a,b)＊(c+e,d+f) =(ac+ae,bd+bf)=(a,b)＊(c,d)+(a,b)＊(e,f)

同理可證, ((a,b)+(c,d))＊(e,f)=(a,b)＊(e,f)+(c,d)＊(e,f)

＊對+滿足分配律.

故,(S,+,＊)是環(huán).

＊運算的單位元素為(1,1),但(0,1)＊(1,0)=(0,0),存在零因子,所以(S,+,＊)是環(huán),不是整環(huán).第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3域定義7.8

設(shè)環(huán)(F,+,＊)滿足下列條件：

1)F至少包括有一個以上元素; 2)(F,＊)有單位元; 3)(F,＊)是可換的; 4)(F,＊)除零元素外均有逆元素.

此時稱(F,+,＊)為域.設(shè)(F,+,＊)是整環(huán),|F|>1,且(F-{0},＊)是群,則(F,+,＊)是域.第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3域定理7.7 每個域均滿足消去律.定理7.8 域一定是整環(huán).定理7.9 有限整環(huán)必是域. 環(huán)(Zm,+m,×m)是域的充分必要條件是m是素數(shù).第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.1.3域例(7.6):設(shè)(F,+,＊)是域,(R,+,＊)是它的子環(huán),說明(R,+,＊)是否一定為一個整環(huán).解： 此時(R,+,＊)不一定是整環(huán). 例如：令(F,+,＊)為(Q,+,＊),有理數(shù)上的普通加法和乘法，是一個域. 令(R,+,＊)為({2x|x∈Z},+,＊),偶數(shù)集上的普通加法和乘法. 此時(R,+,＊)是(F,+,＊)的子環(huán)，但是不含乘法單位元，故不是整環(huán).第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2格與布爾代數(shù)定義2.12集合X上的關(guān)系R如果是自反的、反對稱的、傳遞的，則稱R在X上是偏序的或稱R是集合X上的偏序關(guān)系。而稱集合X為R的偏序集用(X,R)表示.一般用符號“≤”表示偏序

(有時我們用x＜y表示x≤y,且x≠y)定義2.16 設(shè)集合X有一個偏序關(guān)系“≤”且設(shè)Y是X的一個子集，則如果x∈X是Y的上界且對每一個Y的上界x’均有x≤x’，則稱x是Y的上確界；如果x∈X是Y的下界且對每一個Y的下界x’均有x’≤x，則稱x是Y的下確界.第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格定義7.9

格是一個偏序集,其中任兩元素所構(gòu)成的子集有下確界與上確界,它也可稱為偏序格.

記x,y的上確界為x∨y=lub(x,y) x,y的下確界為x∧y=glb(x,y)lub=leastupperbound上確界glb=greatestlowerbound下確界集合P上的偏序關(guān)系“≤”所構(gòu)成的偏序集如它是格,可寫成

(P,∧,∨)若P中的元素有限,則P稱有限格.第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格例：判斷下面各哈斯圖表示的偏序集合是否是格.(1)(2)(3)解：

1)不是格,a,b無上確界,e,f沒有下確界. 2)不是格,b,c和c,d沒有下確界,c,e沒有下確界和上確界. 3)不是格,d,e沒有上確界,b,c沒有下確界.aecfbdabdceabcdef第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格

(4)(5)(6)(7)

解: (4)-(7)都是格.acdbabcdeccabdeabde第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格(P,∧,∨)是格,M?P且M≠?,若(M,∧,∨)也構(gòu)成格,則稱(M,∧,∨)是(P,∧,∨)的子格.(M,∧,∨)是(P,∧,∨)的子格的充分必要條件是M關(guān)于∧,∨是封閉的.定義7.10 設(shè)(P,∧,∨)和(L,∧,∨)是兩個格,若存在函數(shù)f:PL,使得對任意的b∈P,有 f(a∧b)=f(a)∧f(b) f(a∨b)=f(a)∨f(b) 則稱f為格P到L的格同態(tài),或稱(P,∧,∨)與(L,∧,∨)同構(gòu).第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格1個元素的格：2個元素的格： 3個元素的格：4個元素互不同構(gòu)的格：5個元素互不同構(gòu)的格：acdbabcdabcdeabdeabdeacdbeabdeccc第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格定理7.10 設(shè)(P,∧,∨)是格,則對任意a,b,c∈P,有 a≤a∨b,b≤a∨b 或a∨b≥a,a∨b≥b a≤c且b≤c=>a∨b≤c 或c≥a且c≥b=>c≥a∨b a∧b≤a,a∧b≤b 或a≥a∧b,

b≥a∧b c≤a且c≤b=>c≤a∧b 或a≥c且b≥c=>a∧b≥c第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格例：試證，設(shè)(P,∧,∨)是格,如果a≤c,b≤d,則必有a∨b≤c∨d證明：

c≤c∨d,d≤c∨d

因為a≤c,b≤d，所以a≤c∨d,b≤c∨d a∨b是a,b的上確界,故a∨b≤c∨d.

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.1格例：證明在格中若a≤b≤c,則

1)a∨b=b∧c 2)(a∧b)∨(b∧c)=b=(a∨b)∧(a∨c)證明：1)因為a≤b,所以a∨b=b.

又因為b≤c,所以b∧c=b.

故有a∨b=b∧c2)因為(a∧b)∨(b∧c)=(a∧b)∨b=b

由a∨b=b和a∨c=c,有

(a∨b)∧(a∨c)=b∧c=b.

故(a∧b)∨(b∧c)=b=(a∨b)∧(a∨c).第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律對偶式：在格(P,∧,∨)中的式子里出現(xiàn)≤,≥,∧,∨之處分別用≥,≤,∨,∧得到的式子.一個格的哈斯圖旋轉(zhuǎn)180還是一個格.稱為原格的對偶格.定理7.11

在格(P,∧,∨)中任何一條定理對其對偶式亦是定理.定理7.12 設(shè)(P,∧,∨)是格,對每個a∈P,必有 1)a∨a=a 2)a∧a=a 即運算∧,∨滿足等冪律.第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律定理7.13

設(shè)(P,∧,∨)是格,對每個a,b∈P,有

1)a∨b=b∨a 2)a∧b=b∧a

即運算∧,∨滿足交換律.定理7.14

設(shè)(P,∧,∨)是格,則對每個a,b,c∈P,有

1)a∨(b∨c)=(a∨b)∨c 2)a∧(b∧c)=(a∧b)∧c

即運算∧,∨滿足結(jié)合律.第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.2格的基本定律定理7.15

設(shè)(P,∧,∨)是格,對每個a,b∈P,有

1)a∨(a∧b)=a 2)a∧(a∨b)=a

即運算∧,∨滿足吸收律.定理7.16

設(shè)(P,∧,∨)是格,對每個a,b∈P,有

a∧b=a當(dāng)且僅當(dāng)a∨b=b第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有補格定義7.11

如格(P,∧,∨)滿足分配律,即對任意a,b∈P,有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

則稱(P,∧,∨)是分配格.定理：每個鏈都是分配格.定義7.12

如果一個格既有下屆,又有上屆,則稱此格為有界格.第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有補格定理7.17

設(shè)(P,∧,∨)是有界格,則對任意a∈P,有

a∨1=1 a∨0=a a∧1=a a∧0=0

其中1與0分別表示(P,∧,∨)的(全)上界與(全)下界.定理： 一個格若有上(下)界,則是唯一的.

每個有限格都是有界格.第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有補格定義7.13

設(shè)(P,∧,∨)是有界格,如果對每個a∈P,必有∈P且滿足

a∨=1 a∧=0

則稱(P,∧,∨)是有補格,其中是a的補元素.若一個格既是有補格又是分配格,則稱此格為有補分配格,或布爾格,布爾代數(shù).第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有補格定理7.18

設(shè)(P,∧,∨)是有補分配格,對任一a∈P,它的補元是唯一的.定理7.18(德?摩根定理)

設(shè)(P,∧,∨)是有補分配格,則對任意a,b∈P,有

第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.2.3分配格,有界格,有補格證明具有兩個或更多個元素的格中不存在以自身為補元的元素.證明： 凡涉及補元,該格必為有界格,對于任何一個有界格來說,均存在全上界1,全下界0,并有：

1∨1=1,1∧1=1 0∨0=0,0∧0=0

故0和1都不可能以自身為補元,所以具有兩個元素的格中不可能存在以自身為補元的元素