從一道題看奧賽所涉及的解題方法和技巧

從一道題看奧賽所涉及的解題方法和技巧題目：設(shè)湖岸MN是一條直線，有一小船自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成α＝15°角的方向勻速向湖中駛?cè)?，有一個(gè)人自A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度為v1=4m/s，在水中游泳的速度為v2＝2m/s，試求小船的速度至多為多大時(shí)，這人才能追上小船？MNAVmax=?α方法1：微元法如圖，設(shè)人在D點(diǎn)入水并在B點(diǎn)剛好能追上小船，這表明：此時(shí)人追上小船所用時(shí)間最少，對(duì)應(yīng)的小船速度最大.FEθCBαMNAD現(xiàn)設(shè)C、E是D點(diǎn)兩側(cè)附近無限靠近D點(diǎn)的兩點(diǎn)，并設(shè)分別從C、E點(diǎn)入水追小船所用總時(shí)間相等.

現(xiàn)在BC段截取BF=BE，那么∠BFE＝90°.由于從C、E點(diǎn)入水追小船所用總時(shí)間相等，所以，人在CE段走與在CF段游泳所用時(shí)間相等.D點(diǎn)兩側(cè)各有入水點(diǎn)C和E，使得在該處入水追船所用時(shí)間相等.于是所以因?yàn)镃、E兩點(diǎn)無限靠近D點(diǎn)，所以∠BDN＝θ＝60°.FDAαEθCMNBK作BK⊥BD交MN于K，于是DK=2BD.又因?yàn)関1=2v2,則人游DK段與走DK段所用時(shí)間相等.所以人自出發(fā)經(jīng)D點(diǎn)再到B點(diǎn)與人由A點(diǎn)一直走到K點(diǎn)所用時(shí)間相同，并都等于小船從A到B所用的最少時(shí)間.即有在⊿ABK中，用正弦定理可得：那么FDAαEθCMNBK方法2：類比法BβD設(shè)想MN為甲和乙兩種介質(zhì)的分界面，光在甲中的速度為v1，在乙中的速度為v2，據(jù)費(fèi)馬原理可知，B→D→A是光從B傳到A費(fèi)時(shí)最少的路徑，而β是臨界角.這可類比本題人從A經(jīng)D到B的追船情況.由此得：下面解法與方法1相同.最后可得：MA乙甲N方法3：圖解法MNEAK如圖，設(shè)人開始運(yùn)動(dòng)就一直游泳，那么他能到達(dá)的區(qū)域是以A為圓心、以v2t為半徑的半圓中的任何一點(diǎn)，若他一直沿湖岸走，那么他在t時(shí)間內(nèi)可以到達(dá)AK＝v1t中的任何一點(diǎn)，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t時(shí)間內(nèi)到達(dá)圖中⊿AEF中的任何一點(diǎn).所以，他若能追上船，船也必須在t時(shí)間內(nèi)到達(dá)這區(qū)域.Bα由于題設(shè)小船沿α角的方向運(yùn)動(dòng)，所以沿此方向的直線與EK線的交點(diǎn)B是船以最大速度運(yùn)動(dòng)且又能被人追上的地點(diǎn).BαMNEAK在Rt⊿AEK中，因?yàn)锳K=2AE，所以∠AKE＝30°，于是，∠ABK＝180°－15°－

30°＝135°在⊿ABK中,據(jù)正弦定理得：而所以方法4：矢量圖解法設(shè)人先沿岸走一段，再入水追船，以船為參考系，由于人和船是同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)的，則人在沿岸走時(shí)，船看到人正在由船所在位置逐漸“離去”，離去的相對(duì)速度為：KMNA要人能追上船，即人能回到船上，則其返回的相對(duì)速度必須沿的反方向，返回的相對(duì)速度為：αC作圖：(1)以MN線上的A點(diǎn)為起點(diǎn)作矢量得K點(diǎn)；(2)以A點(diǎn)為圓心，以v2的大小為半徑作圓;(3)作直線AC，使它與MN線的夾角為α＝15°；EBMNAαCK設(shè)K點(diǎn)與圓上的任一點(diǎn)E的連線與AC線的交點(diǎn)為B，則AB表示船速，BK表示人相對(duì)船的“離開”速度，而BE表示人相對(duì)船的“返回”速度.顯然，當(dāng)KE與圓相切時(shí)，AB線最長，表示船速最大，由此有作圖步驟:由于AK=AE，所以，∠AKF＝30°，∠ABE＝45°.因而⊿ABE為等腰直角三角形，那么（4）作KE與圓相切于E點(diǎn)，并與AC相交于B點(diǎn).方法5：等效法αMNAB設(shè)人在B點(diǎn)追上船，則人到達(dá)B點(diǎn)可能有很多途徑，如A→C→B，A→D→B,A→E→B等,這些途徑中耗時(shí)最少的途徑對(duì)應(yīng)著允許的最大船速，作∠NAP＝30°，并分別作CK,DH,EF垂直AP，其中設(shè)BDH為直線，CDEKHFP30°又設(shè)想MN線下方也變成湖水區(qū)域，則因?yàn)锳C=2CK,所以人由K點(diǎn)游泳到C點(diǎn)所用時(shí)間與人在岸上走由A點(diǎn)到C點(diǎn)所用時(shí)間是相等的.故人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→C→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過路徑K→C→B所用時(shí)間相等，同理，人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→D→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過路徑H→D→B所用時(shí)間相等，人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→E→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過路徑F→E→B所用時(shí)間相等，CDEKHFP30°αMNAB顯然，在這些途徑中，因?yàn)镠DB是直線，因此所用時(shí)間最少.由以上分析可知，人沿等效途徑HDB游泳就費(fèi)時(shí)最少地剛好追上船，這對(duì)應(yīng)著最大船速，設(shè)為vmax，則有因?yàn)楱SAHB是等腰直角三角形，所以故得方法6：極值法（利用三角函數(shù)）MNABCDαβθ如圖，設(shè)人沿岸走到D點(diǎn)時(shí)，船航行到C點(diǎn)，此時(shí)人入水游泳就剛好能在B點(diǎn)追上船.在⊿ACD中應(yīng)用正弦定理得又設(shè)此時(shí)船速為v，人由A點(diǎn)走到D點(diǎn)耗時(shí)為t，則由以上兩式得MNABCDαβθ又在⊿CDB中應(yīng)用正弦定理得設(shè)人游過DB段所用時(shí)間為,則由以上兩式得由（1）、（2）式，并注意，可得MNABCDαβθ又由于，要v盡可能大，即需AC/AD盡可能大，而θ越大，則AC越大，θ－α也越大，且（θ－α）為銳角，則sin（θ－α）隨（θ－α）增大而增大，故得sin（θ－α）最大時(shí)，θ最大，由于α為恒量，則θ越大，則由（3）式可見，當(dāng)sin（θ＋β）＝1時(shí)，sin（θ－α）有最大值為1/2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的θ值為，由此得，于是⊿CDB是等腰直角三角形，則有MNABCDαβθ所以，方法7：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）如圖，設(shè)船出發(fā)后經(jīng)時(shí)間t被人追上.則船的位移為s=vt，又設(shè)人在岸上走用時(shí)為kt（0<k<1)，位移為s1=kv1t,人在湖中游用時(shí)為(1－k)t（0<k<1)，位移為s2=(1-k)v2t.那么，據(jù)余弦定理有：把s、s1、s2的表達(dá)式及v1、v2的值代入并整理可得又于是有NMASBS1S2αD要這方程有實(shí)數(shù)解，其判別式⊿應(yīng)滿足：由此可解得：或由本題的物理情景可知只能?。悍椒?：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）如圖，設(shè)人在岸上D處入水追船，運(yùn)動(dòng)方向與湖岸成θ角,并在B點(diǎn)處追上船，這人由A→D→B用時(shí)為t.則上式表明：t與θ有關(guān)，且在d、L、v1、v2一定時(shí)，由θ決定,研究函數(shù)dDMNABθLα兩邊平方得：整理后得：此方程有