機器人正逆運動學(xué)

§1.4機器人正向運動學(xué)

工業(yè)機器人的正向運動學(xué)是指已知各關(guān)節(jié)的類型、相鄰關(guān)節(jié)之間的尺寸和相鄰關(guān)節(jié)相對運動量的大小時，如何確定工業(yè)機器人末端操作器在固定坐標(biāo)系中的位姿。

主要包括以下內(nèi)容：

1)相對桿件的坐標(biāo)系的確定；

2)建立各連桿的模型矩陣A；

3)正運動學(xué)算法；D-H表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解D-H法原理

2.學(xué)會用D-H法對機器人建模學(xué)習(xí)重點：1.給關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系

2.制定D-H參數(shù)表

3.利用參數(shù)表計算轉(zhuǎn)移矩陣背景簡介：

1955年，Denavit和Hartenberg(迪納維特和哈坦伯格)提出了這一方法，后成為表示機器人以及對機器人建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，應(yīng)用廣泛。

總體思想：

首先給每個關(guān)節(jié)指定坐標(biāo)系，然后確定從一個關(guān)節(jié)到下一個關(guān)節(jié)進(jìn)行變化的步驟，這體現(xiàn)在兩個相鄰參考坐標(biāo)系之間的變化，將所有變化結(jié)合起來，就確定了末端關(guān)節(jié)與基座之間的總變化，從而建立運動學(xué)方程，進(jìn)一步對其求解。1.第一個關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n,第二個關(guān)節(jié)為n+1,其余關(guān)節(jié)以此類推。坐標(biāo)系的確定2.Z軸確定規(guī)則：如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，Z軸位于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向，轉(zhuǎn)角為關(guān)節(jié)變量。如果關(guān)節(jié)是滑動的，Z軸為沿直線運動的方向，連桿長度d為關(guān)節(jié)變量。關(guān)節(jié)n處Z軸下標(biāo)為n-1。3.X軸確定規(guī)則情況1：兩關(guān)節(jié)Z軸既不平行也不相交取兩Z軸公垂線方向作為X軸方向，命名規(guī)則同Z軸。情況2：兩關(guān)節(jié)Z軸平行此時，兩Z軸之間有無數(shù)條公垂線，可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線。情況3：兩關(guān)節(jié)Z軸相交取兩條Z軸的叉積方向作為X軸。4.Y軸確定原則取X軸、Z軸叉積方向作為Y軸方向。（右手）5.變量選擇原則用θn+1角表示Xn到Xn+1繞Zn軸的旋轉(zhuǎn)角;dn+1表示從Xn到Xn+1沿Zn測量的距離;an+1表示關(guān)節(jié)偏移，an+1是從Zn到Zn+1沿Xn+1測量的距離;角α表示關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn),αn+1是從Zn到Zn+1繞Xn+1旋轉(zhuǎn)的角度。

通常情況下，只有θ和d是關(guān)節(jié)變量。斯坦福機器人斯坦福機器人開始的兩個關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，第三個關(guān)節(jié)是滑動的，最后三個腕關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)例1：Stanford機器人運動學(xué)方程A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0x0O0為右手坐標(biāo)系原點Oi：Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線的交點zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意xi軸：Zi和Zi-1構(gòu)成的面的法線yi軸：按右手定則ai—沿xi

軸，zi-1軸與xi

軸交點到Oi的距離αi—繞xi軸，由zi-1轉(zhuǎn)向zidi—沿zi-1軸，zi-1軸和xi交點至Oi–1坐標(biāo)系原點的距離θi—繞zi-1軸，由xi-1轉(zhuǎn)向xi關(guān)節(jié)1坐標(biāo)系0關(guān)節(jié)2坐標(biāo)系1關(guān)節(jié)3坐標(biāo)系2連桿0連桿1連桿2連桿3連桿4連桿5關(guān)節(jié)4坐標(biāo)系3關(guān)節(jié)5坐標(biāo)系4關(guān)節(jié)6坐標(biāo)系5解：θ1θ2θ3θ4θ5θ6關(guān)節(jié)變量都是θ例2、PUMA560運動動學(xué)學(xué)方方程程（（六個個自自由由度度，，全全部部是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)）PUMA560機器器人人的的連連桿桿及及關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)編編號號為右右手手坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，Yi軸：：按按右右手手定定則則Zi軸：：與與Ai+1關(guān)節(jié)節(jié)軸軸重重合合，，指指向向任任意意Xi軸：：Zi和Zi-1構(gòu)成成的的面面的的法法線線，，或連連桿桿i兩端端軸軸線線Ai與Ai+1的公公垂垂線線(即：：Zi和Zi-1的公公垂垂線線)原點點Oi：Ai與Ai+1關(guān)節(jié)節(jié)軸軸線線的的交交點點，，或或Zi與Xi的交交點點ai—沿xi軸，，zi-1軸與與xi軸交交點點到到Oi的距距離離αi—繞xi軸，，由由zi-1轉(zhuǎn)向向zidi—沿zi-1軸，，zi-1軸和和xi交點點至至Oi––1坐標(biāo)標(biāo)系原原點點的的距距離離θi—繞zi-1軸，，由由xi-1轉(zhuǎn)向向xiA1A2A3A4A5A6O1O0對下下圖圖所所示示簡簡單單機機器器人人，，根根據(jù)據(jù)D-H法，，建建立立必必要要坐坐標(biāo)標(biāo)系系及及參參數(shù)數(shù)表表。。例3第一一步步：：根根據(jù)據(jù)D-H法建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的規(guī)規(guī)則則建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系第二二步步：：將將做做好好的的坐坐標(biāo)標(biāo)系系簡簡化化為為我我們們熟熟悉悉的的線線圖圖形形式式第三三步步：：根根據(jù)據(jù)建建立立好好的的坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，確確定定各各參參數(shù)數(shù)，，并并寫寫入入D-H參數(shù)數(shù)表表#da1009020030040-90500906000#da1009020030040-90500906000第四四步步：：將將參參數(shù)數(shù)代代入入A矩陣陣，，可可得得到到第5步求求出出總總變變化化矩矩陣陣依次次寫寫出出從從基基坐坐標(biāo)標(biāo)系系到到手手爪爪坐坐標(biāo)標(biāo)系系之之間間相相鄰鄰兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的齊次次變變換換矩矩陣陣，它它們們依依次次連連乘乘的的結(jié)結(jié)果果就就是是末末端端執(zhí)執(zhí)行行器器（（手手爪爪））在在基基坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的空空間間描描述述，，即即已知q1,q2,…,qn，求，稱為運動學(xué)正解；已知，求q1,q2,…,qn，稱為運動學(xué)反解。上式式稱稱為為運動動方方程程。綜上上：：正解解反解解§1.5機器器人人的的逆逆運運動動學(xué)學(xué)解解給定定機機器器人人終終端端位位姿姿，，求求各各關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)變變量量，，稱求求機機器器人人運運動動學(xué)學(xué)逆逆解解。讓讓我我們們通通過過下下面面這這道道例例題題來來了了解解一一下下機機器器人人逆逆運運動動學(xué)學(xué)求求解解的的一一般般步步驟驟。。前前面面例例子子最最后后方方程程為為：：求逆逆運運動動學(xué)學(xué)方方程程的的解解根據(jù)據(jù)第第3行第第4列元元素素對對應(yīng)應(yīng)相相等等可可得得到到依次次用用左左乘乘上上面面兩兩個個矩矩陣陣，，得得到到：：根據(jù)據(jù)1，4元素素和和2，4元素素，，可可得得到到：：將上上面面兩兩個個方方程程兩兩邊邊平平方方相相加加，，并并利利用用和和差差化化積積公公式式得得到到已知知于是是可可得得到到：：依次次類類推推，，分分別別在在方方程程2.19兩邊邊左左乘乘A1~A4的逆逆，，可可得得到到接下下來來再再一一次次利利用用式式由于于C12=C1C2-S1S2以及及S12=S1C2+C1S2，最最后后得得到到：：最后后用用A5的逆逆左左乘乘式式2.67，再再利利用用2,1元素素和和2,2元素素，，得得到到：：θ1θ2θ3θ4θ5θ6關(guān)節(jié)變量都是θ§2.10機器器人人的的運運動動學(xué)學(xué)編編程程在實實際際應(yīng)應(yīng)用用中中，，對對運運動動學(xué)學(xué)的的求求解解是是相相當(dāng)當(dāng)繁繁瑣瑣和和耗耗時時的的，，因因此此需需要要用用計計算算機機編編程程來來實實現(xiàn)現(xiàn)。。并并且且應(yīng)應(yīng)盡盡量量避避免免使使用用矩矩陣陣求求逆逆或或高高斯斯消消去去法法等等相相對對繁繁瑣瑣的的算算法法。。正正確確的的算算法法是是：：§2.11設(shè)計項目目利用本書書中所介介紹的四四自由度度機器人人，結(jié)合合本章所所學(xué)的知知識進(jìn)行行四自由由度機器器人的正正逆運動動學(xué)分析析。SCARA型機器人人的運動動學(xué)模型型的建立立，包括括機器人人運動學(xué)學(xué)方程的的表示，，以及運運動學(xué)正正解、逆逆解等，，這些是是研究機機器人控控制的重重要基礎(chǔ)礎(chǔ)，也是是開放式式機器人人系統(tǒng)軌軌跡規(guī)劃劃的重要要基礎(chǔ)。。為了描描述SCARA型機器人人各連桿桿之間的的數(shù)學(xué)關(guān)關(guān)系，采采用D-H法。SCARA型機器人人操作臂臂可以看看作是一一個開式式運動鏈鏈。它是是由一系系列連桿桿通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動或移移動關(guān)節(jié)節(jié)串聯(lián)而而成的。。為了研研究操作作臂各連連桿之間間的位移移關(guān)系，，可在每每個連桿桿上固接接一個坐坐標(biāo)系，，然后描描述這些些坐標(biāo)系系之間的的關(guān)系。。SCARA（SelectiveComplianceAssemblyRobotArm裝配機器器人臂））機器人人坐標(biāo)系系的建立立

1.SCARA機器人坐標(biāo)系建立原則根據(jù)D-H坐標(biāo)系建立方法，SCARA機器人的每個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立可參照以下的三原則(1)軸沿著第n個關(guān)節(jié)的運動軸;基坐標(biāo)系的選擇為:當(dāng)?shù)谝魂P(guān)節(jié)變量為零時，零坐標(biāo)系與一坐標(biāo)系重合。(2)軸垂直于軸并指向離開軸的方向。(3)軸的方向按右手定則確定。

2.構(gòu)件參數(shù)的確定根據(jù)D-H構(gòu)件坐標(biāo)系表示法，構(gòu)件本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、和相對位置參數(shù)、可由以下的方法確定:(1)為繞軸(按右手定則)由軸到軸的關(guān)節(jié)角。(2)為沿軸，將軸平移至軸的距離。(3)為沿軸從量至軸的距離。(4)為繞軸(按右手定則)由軸到軸的偏轉(zhuǎn)角。3.變換矩陣陣的建立立全部的的連桿規(guī)規(guī)定坐標(biāo)標(biāo)系之后后，就可可以按照照下列的的順序來來建立相相鄰兩連連桿n-1和n之間的相相對關(guān)系系:(1)繞軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角。(2)沿軸軸移移動。。(3)繞軸軸轉(zhuǎn)角角。。(4)沿軸軸移動動。。這種關(guān)系系可由表表示連桿桿n對連桿n-1相對位置置齊次變變換來來表表征。即即：展開上式式得由于描描述述第n個連桿相相對于第第n-1連桿的位位姿，對對于SCARA教學(xué)機器器人(四個自由由度)，機器人人的末端端裝置即即為連桿桿4的坐標(biāo)系系，它與與基座的的關(guān)系為為:如上圖坐坐標(biāo)系，，可寫出出連桿n相對于n-1變換矩陣陣:其中：以以下相同同。相應(yīng)連桿桿初始位位置及參參數(shù)列于于表2.4，表中、、為為關(guān)節(jié)節(jié)變量。。構(gòu)件1000102001030010400010各連桿變變換矩陣陣相乘，，可得到到SCARA機器人末末端執(zhí)行行器的位位姿方程程(正運動學(xué)學(xué)方程)為下式式它表示示了SCARA手臂變換換矩陣，，它描描述了末末端連桿桿坐標(biāo)系系{4}相對基坐坐標(biāo)系{0}的位姿。。SCARA機器人的的正運動動學(xué)分析析SCARA機器人的的逆運動動學(xué)分析析1.求關(guān)節(jié)變變量為為了分離離變量，，對方程程的兩邊邊同時左左乘,得:即：左右矩陣陣中的第第一行第第四個元元素(1.4)，第二行行第四個個元素(2.4)分別相等等。即:由以上兩兩式聯(lián)立立可得:式中：2求關(guān)節(jié)變量由式(2.87)可得:

式中：3求關(guān)節(jié)變量再令左右矩陣中的第三行第四個元素(3.4)相等，可得:

4求關(guān)節(jié)變量再令左右矩陣中的第一行第一個元素、第二行第一個元素(1.1，2.1)分別相等，即：由上兩式可求得:

至此，機器人的所有運動學(xué)逆解都已求出。在逆解的求解過程中只進(jìn)行了一次矩陣逆乘，從而使計算過程大為簡化，從的表達(dá)式中可以看出它有兩個解，所以SCARA機器人應(yīng)該存在兩組解。運動學(xué)分析提供了機器人運動規(guī)劃和軌跡控制的理論基礎(chǔ)。對機器人人相關(guān)概概念的補補充退化：當(dāng)機器人人失去一一個自由由度，并并因此不不按所期期望的狀狀態(tài)運動動時即稱稱為退化化。退化發(fā)生生條件：：1.機器人達(dá)達(dá)到物理理極限，，不能進(jìn)進(jìn)一步運運動2.兩個相似似關(guān)節(jié)共共線不靈巧區(qū)區(qū)域：能對機器器人定位位不定姿姿的區(qū)域域稱為不不靈巧區(qū)區(qū)域。D-H法的局限限性：無法表示示關(guān)于y軸的運動動。退化狀態(tài)態(tài)下的機機器人總結(jié)1用矩陣表表示點，，向量，，坐標(biāo)系系及變換換的方法法2正逆運運動學(xué)學(xué)方程程的建建立3用D-H法建立立坐標(biāo)標(biāo)系及及變化化方程程4正逆運運動學(xué)學(xué)方程程的求求解§9.2機器人人桿件件，關(guān)關(guān)節(jié)和和它們們的參參數(shù)§9.2.1桿件與與關(guān)節(jié)節(jié)操作機機由一一串用用轉(zhuǎn)動動或平平移（（棱柱柱形））關(guān)節(jié)節(jié)連接接的剛剛體（（桿件件）組組成每一對關(guān)節(jié)節(jié)桿件構(gòu)成成一個自由度，因此N個自由度的的操作機就就有N對關(guān)節(jié)—桿件。0號桿件（一一般不把它它當(dāng)作機器器人的一部部分）固聯(lián)聯(lián)在機座上上，通常在在這里建立立一個固定定參考坐標(biāo)標(biāo)系，最后后一個桿件件與工具相相連關(guān)節(jié)和桿件件均由底座座向外順序序排列，每每個桿件最最多和另外外兩個桿件件相聯(lián)，不不構(gòu)成閉環(huán)環(huán)。關(guān)節(jié)桿件末端操作手手機座兩自由度關(guān)關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)：一般說來，，兩個桿件件間是用低副相聯(lián)的只可能有6種低副關(guān)節(jié)節(jié)：旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）、、棱柱（移動）、、圓柱形、球形、螺旋和平面，其中只有有旋轉(zhuǎn)和棱柱柱形關(guān)節(jié)是串聯(lián)聯(lián)機器人操操作機常見見的，各種種低副形狀狀如下圖所所示：旋轉(zhuǎn)棱柱形柱形球形螺旋形平面§9.2.2桿件參數(shù)的的設(shè)定條件關(guān)節(jié)串聯(lián)每個桿件最多與2個桿件相連連，如Ai與Ai-1和Ai+1相連。第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)節(jié)軸Ai位于2個桿件相連連接處，如如圖所示，，i-1關(guān)節(jié)和i+1關(guān)節(jié)也各有有一個關(guān)節(jié)節(jié)軸Ai-1和Ai+1。AiAi+1Ai-1桿件參數(shù)的的定義——、、和和—li和li-1在Ai軸線上的交點點之間的距離。AiAi+1Ai-1—li和li-1之間的夾角，按右手手定則由li-1轉(zhuǎn)向li。

由運動學(xué)的觀點來看，桿件保持其兩端關(guān)節(jié)間的形態(tài)不變，這種形態(tài)由兩個參數(shù)決定：桿件長度li

和桿件扭轉(zhuǎn)角。桿件的相對位置關(guān)系，由另外兩個參數(shù)決定：桿件的距離di和桿件的回轉(zhuǎn)角。li—關(guān)節(jié)Ai軸和Ai+1軸線公法線線的長度。。—關(guān)節(jié)i軸線與i+1軸線在垂直直于li平面內(nèi)的夾夾角。上述4個參數(shù)，就就確定了桿桿件的結(jié)構(gòu)構(gòu)形態(tài)和相相鄰桿件相相對位置關(guān)關(guān)系。在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)中中，li,αi,di是固定值，，θi是變量。在在移動關(guān)節(jié)節(jié)中，li,αi,θi是固定值，，di是變量?！?.3機器人關(guān)節(jié)節(jié)坐標(biāo)系的的建立對于每個桿桿件都可以以在關(guān)節(jié)軸軸處建立一一個正規(guī)的的笛卡兒坐坐標(biāo)系（xi,yi,zi），（i=1,2,…,n），n是自由度數(shù)數(shù)，再加上上基座坐標(biāo)標(biāo)系，一共共有（n+1）個坐標(biāo)系系?；鴺?biāo)系系∑O0定義為0號坐標(biāo)系（（x0,y0,z0）,它也是機器器人的慣性性坐標(biāo)系，，0號坐標(biāo)系在在基座上的的位置和方方向可任選選，但z0軸線必須與與關(guān)節(jié)1的軸線重合合，位置和和方向可任任選；最后一個坐坐標(biāo)系（n關(guān)節(jié)），可可以設(shè)在手手的任意部部位，但必須保證zn與zn-1垂直。機器人關(guān)節(jié)節(jié)坐標(biāo)系的的建立主要要是為了描描述機器人人各桿件和和終端之間間的相對運運動，對建建立運動方方程和動力力學(xué)研究是是基礎(chǔ)性的的工作。為了描述機機器人各桿桿件和終端端之間轉(zhuǎn)動動或移動關(guān)關(guān)系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一一種為運動動鏈中每個個桿件建立立附體坐標(biāo)標(biāo)系的矩陣陣方法（D-H方法），建立原則則如下：§9.3.1D-H關(guān)節(jié)坐標(biāo)系系建立原則則右手坐標(biāo)系系原點Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線的交點點上Zi軸：與與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合合，指向任任意Xi軸：與與公法法線Li重合，指向向沿Li由Ai軸線指向Ai+1軸線Yi軸：按按右手手定則§9.3.2關(guān)節(jié)坐標(biāo)系系的建立方方法AiAi+1Ai-1原點Oi：設(shè)在li與