專題05函數(shù)周期性和對稱性-備戰(zhàn)2016高考技巧之高中數(shù)學(xué)黃金解題模板解析版

函數(shù)的周期性和對稱性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，研究一個函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱并且在高也經(jīng)?？疾楹瘮?shù)的對稱性和周期性，以及它們之解題模板：第一步合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危坏诙綔?zhǔn)確求出函數(shù)的周期性；例1(1)R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)3x1時，f(x(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)Lf(2015)等 C．1 D．2(2)f(xRf(x2)

f

2x3f(xx

【答案】 f(2011f(2012f(2013f(2014f(2015f(1f(2)f(3f(4)f(512102【變式演練1】已知f(x)R4x(02]時，f(x)2xlogx，則2f(2015) 1A．- 2【答案】

試題分析：因?yàn)?/p>

f(xR4fx4fxfxfx2f(x2xlogx，f2015f12016f1f12A?？键c(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性22

f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)為偶函數(shù)，且

f(11，則f(2014)f(2015) 【答案】

f(xRfxfxf0又因?yàn)閒(x1)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x) 圖象關(guān)于直線xfx2f2xfxfxfx4fx22fx2fxfxTf2014f45032f2f0f2015f45041f1f1f(2014f(2015011

f2xf【變式演練32m1

f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若

f(x)的最小正周期為5f(2)2f(3)

2m

，則實(shí)數(shù)m的最大值 【答案】-Rf(x5f（3）=f（-2）=-f(3)

2m12m

≤-2，4.

≥1，m≤-2，則實(shí)數(shù)m的最大值為-第一類函數(shù)f(x)f(xa)

f(bxyf(x)xab2,第二類f(xf(xaf(bx)cyf(x的圖像關(guān)于點(diǎn)abc, 第三類y

f(xay

f(bxxba2例

f

是定義在R

yf

的圖象關(guān)于直線x2

對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) 【答案】0y

f(xx1對稱2

f(xf(1x，然后例 已知函數(shù)f(x)(x2)(x2ax-5)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)中心對稱，設(shè)關(guān)于x的不等f(xm)f(x)的解集為A，若(-5,-2)A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 【答案】m3mf(xf(xaf(bx)cyf(x(ab

, 例 設(shè)函數(shù)f(x)x2axb,a,bf(x在區(qū)間(,1上單調(diào)遞減，求a存在實(shí)數(shù)ax[0b]2f(x6恒成立，求b的最大值及此時a【答案】

a2.(2)b3，此時a(,1在對稱軸的左側(cè),所以根據(jù)對稱軸即可求出a響到函數(shù)的最值,所以得討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系,通過討論位置關(guān)系確定單調(diào)性和最值,建立關(guān)于當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時,有0abf(x在[0,a上遞減，在ab f(0)b 要使2

f(x)6恒成立，只需滿足f()b a f(b)(b2)由前二式得2b6，由后二式得(ba)222

b 6 0a2

得0ba2

即0b2a，故(b2)2

a2 所以2b3。當(dāng)b3a2時滿足題意.綜上b3，此時a2.4yf(x)(xRxf(1x)f(1xx(23f(x)log2(x14yf(x的圖象關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kZ)y|f(x|是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)x(10)時，f(x)log2(1x)yf(|x|)在(k，k+1)(kZ)【答案】1.【2015高考浙江，理18f(xx2axb(a,bR，記M(ab是|f(x|在區(qū)間[1,1上（1）證明：當(dāng)|a|2M(ab)2（2）當(dāng)abM(ab)2，求|a||b|的最大值（2）（1）M(abmax{|f(1|,|f(1|}，分類討論a的取值范圍即可求解.（2）|a||b||ab|,ab0M(ab2可得|1ab||f(1|2|ab|,ab|1ab||f(1|2，即可得證已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)為偶函數(shù)，且f(1)1，則f(2014)f(2015) 【答案】

f(xRfxfxf0f(x1f(xxfx2f2xfxfx

f2xffx4fx22fx2fxfxTf2014f45032f2f0f2015f45041f1f1f(2014f(2015011f(xf(x2)f(x)x(0,12【答案】2

f(x)2f() 2 f(xf(x2)f(xf(x4)f(x2)

f(xf(x 4x(0,1

f(x)

f

)=f2

)f()222 2答案為 2下列函數(shù)中，其圖象既是軸對稱圖形又在區(qū)間(0（1y1x【答案】

yx2

y

ylg|xf(x),g(xRf(xgxh(x)

f(x1)g(x1)A．h(x)關(guān)于(1,0)對 B．h(x)關(guān)于(-1,0)對 C．h(x)關(guān)于x1對 D．h(x)關(guān)于x1對【答案】

f(x)

f(x)gx

f(x1)gx1x1對稱，即h(x)

f(x1)g(x1x122f(xf(x2)

f(x2)，y

f(x2)yx0,2)時，f(x)logx2 f(4.5)

f(7)

f

f(7)

f(4.5)

ff(7)【答案】

f(6.5)f

f(4.5)

f(6.5)ff(x的圖像關(guān)于點(diǎn)(12f1(xf(40f1(4（ C．【答案】

D．試題分析：根據(jù)題意可知點(diǎn)(40)f(x的圖像上，結(jié)合著圖像的對稱性，可知點(diǎn)24在函數(shù)的圖像上，所f2)4，所以有f1(42，故選C．定義在R上的函數(shù)

f(x)滿 ， 時，，當(dāng)1x3時，f(x)x。 =（ 【答案】f（1）=1，f（2）=2，f（3）=-1，f（4）=0，f（5）=-1，f（6）=0，根據(jù)函數(shù)的+f（2f2∴f（-∵f（x+6）=f（xf（3）=-1，f（4）=0，f（5）=-1，f（6）=0，f(xRx0f(x1)f(xx[0,1f(xlog2x1①f(2014)f(2015)0f(x2yxf(x2f(x的值域?yàn)? 【答案】f

f(

f(0f(