九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題講義15 等腰三角形與直角三角形

第11頁(yè)（共11頁(yè)）專題15等腰三角形與直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性質(zhì)1．如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或103．如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝（）A． B． C．a(chǎn)﹣b D．b﹣a4．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，則∠BAD＝度．5．如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD＝AE，連接BE、CD，交于點(diǎn)F．（1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：過(guò)點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC．考向二 等腰三角形的判定6．下列長(zhǎng)度的線段中，能組成等腰三角形的一組是（）A．1，1，2 B．3，3，5 C．2，2，5 D．3，4，57．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．點(diǎn)P是直角邊所在直線上一點(diǎn)，若△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)最多為（）A．3個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)8．小明同學(xué)用一根鐵絲恰好圍成一個(gè)等腰三角形，若其中兩條邊的長(zhǎng)分別為15cm和20cm，則這根鐵絲的長(zhǎng)為cm．9．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC兩腰上的高．求證：△BCO是等腰三角形．10．如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．考向三 等邊三角形的性質(zhì)11．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等邊三角形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，2） C．（，） D．（1，）12．如圖，等邊△ABC中，AB＝10，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)，G為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，且FG＝5，則EF+CG的最小值是（）A．5 B．5 C．5+5 D．1513．等邊三角形的邊長(zhǎng)是8，這個(gè)三角形的面積為．14．△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD．（1）如圖①，△ABE是等邊三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長(zhǎng)．15．如圖，在等邊△ABC中，AB＝12cm，現(xiàn)有M，N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿△ABC的邊按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M，N兩點(diǎn)重合？?jī)牲c(diǎn)重合在什么位置？（2）當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考向四 直角三角形16．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，則∠B＝（）A．35° B．55° C．65° D．145°17．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD＝20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°18．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，連接BE．若∠A＝40°，則∠CBE的度數(shù)為．19．如圖，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)．點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，若要使△BPD為直角三角形，則BP＝．20．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）如圖（1），若三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說(shuō)明∠AEF與∠FGC間的數(shù)量關(guān)系．考向五 勾股定理21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，BE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AC＝2，BC＝2，則BE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．22．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．23．如圖，將兩個(gè)完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C'在邊AB上，連接B'C，若∠ABC＝∠A'B'C'＝30°，AC＝A'C′＝2，則B'C的長(zhǎng)為（）A．2? B．4? C．2? D．4?24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，則AB的長(zhǎng)是．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝12，AD＝8，則DE的長(zhǎng)為．26．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）若AC＝2，求AD的長(zhǎng)．一．選擇題（共6小題）1．下列四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．8，10，7 B．2，3，4 C．2，1，5 D．，1，2．在下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)3．有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．14．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝BC，連接CD，則∠ACD的大小為（）A．30° B．25° C．15° D．10°5．如圖，A，B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，在圖中所有符合條件的點(diǎn)C應(yīng)該有（）個(gè)．A．7 B．8 C．9 D．106．如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則B6B7的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．32 D．64二．填空題（共6小題）7．已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則AB＝．8．如圖，在等邊△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，若AB＝8，則AD＝．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，則點(diǎn)C到邊AB的距離為．10．已知a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且滿足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，則此三角形的形狀為．11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜邊AB，分別交AB、BC于D、E，若∠CAB＝∠B+28°，則∠CAE＝．12．如圖，已知△ABC的角平分線CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，則AE＝．三．解答題（共4小題）13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：AD＝BC．14．如圖，在Rt△ABC中