1祖暅原理與幾何體的體積

第十一章立體幾何初步空間幾何體祖暅原理與幾何體的體積課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若圓錐、圓柱的底面直徑和它們的高都等于一個(gè)球的直徑,則圓錐、圓柱、球的體積之比為()∶3∶4 ∶3∶2∶2∶4 ∶4∶2解析設(shè)球的半徑為R,則V圓錐=13πR2·2R=23πR3,V圓柱=πR2·2R=2πR3,V球=43π所以V圓錐∶V圓柱∶V球=23∶2∶43=1∶3∶2.故選答案B2.正方體的內(nèi)切球的體積為36π,則此正方體的表面積是() 答案A3.長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9,則長(zhǎng)方體的體積是()3 6 解析設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,則ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,∴V=abc=63.答案A4.圓臺(tái)的體積為7π,上、下底面的半徑分別為1和2,則圓臺(tái)的高為() 解析由題意,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3答案A5.若一圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積之比為() B.1C.32 D.解析設(shè)圓柱底面半徑為R,圓錐底面半徑r,高都為h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V錐=πR2h∶13πr2h=34.故選答案D6.若兩球的體積之和是12π,經(jīng)過(guò)兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π,則兩球的半徑之差為() 解析設(shè)兩球的半徑分別為R、r(R>r),則由題意得4π3R3+4π3r答案A7.(多選題)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=22,則下列結(jié)論正確的是(⊥平面BEF,BF始終在同一個(gè)平面內(nèi)∥平面ABCDD.三棱錐A-BEF的體積為定值解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,∴A對(duì);∵EF∥BD,BD?面ABCD,EF?面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C對(duì);∵S△BEF=12×22×1=24,設(shè)ACAO⊥平面BB1D1D,AO=2∴VA-BEF=13×24×∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一個(gè)平面內(nèi),B錯(cuò)誤.故選ACD.答案ACD8.已知圓錐SO的高為4,體積為4π,則底面半徑r=.

解析設(shè)底面半徑為r,則13πr2×4=4π,解得r=3,即底面半徑為3答案39.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的體積與球O的體積相等,則球O的半徑為.

解析設(shè)球O的半徑為r,則43πr3=23,解得r=3答案310.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在體積為43π的球面上,則正方體的表面積為.解析由43πR3=43π,得R=設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則3a=2R,所以a=23故正方體的表面積S表=6a2=6×232=答案811.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中,鋼球全部沒(méi)入水中,水面升高4cm,則鋼球的半徑是.

解析圓柱形玻璃容器中水面升高4cm,則鋼球的體積為V=π×32×4=36π,即有43πR3=36π,所以R=3cm答案3cm12.某街心花園有許多鋼球(鋼的密度為g/cm3),每個(gè)鋼球重145kg,并且外徑等于50cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷鋼球是空心的還是實(shí)心的.如果是空心的,空心部分也為球心相同的球.請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑(π取,結(jié)果精確到1cm,≈98).解由于外徑為50cm的鋼球的質(zhì)量為×43π×5023≈街心花園中鋼球的質(zhì)量為145000g,而145000<516792,所以鋼球是空心的.設(shè)球的直徑為2xcm,那么球的質(zhì)量為×43π×502解得x3≈11,∴x≈,2x≈45(cm).即鋼球是空心的,其內(nèi)徑約為45cm.能力提升1.如圖,在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,則三棱錐A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的體積之比為()∶1∶1 ∶1∶2∶2∶4 ∶4∶4解析設(shè)棱臺(tái)的高為h,S△ABC=S,則S△A1B所以VA1-ABC=13SVC-A1B又V臺(tái)=13h(S+4S+2S)=73所以VB-A1=73Sh-13Sh-43Sh=所以所求體積之比為1∶2∶4.故選C.答案C2.三棱錐P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分別在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四個(gè)圖象大致描繪了三棱錐N-AMC的體積V與x的變化關(guān)系,其中正確的是()解析V=13S△AMC·NO=1312×3x×sin30°·(8-2x)=-12(x-答案A3.兩個(gè)相同的正四棱錐組成如圖①所示的幾何體,可放入棱長(zhǎng)為1的正方體(如圖②)內(nèi),使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)面平行,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有()個(gè) 個(gè) 個(gè) D.無(wú)窮多個(gè)解析沿正四棱錐的底面所在平面將正方體切開(kāi),截面如圖③所示.圖③可見(jiàn)正方形中內(nèi)接正方形的面積S不可能唯一,故V=13×S×12×2答案D4.有64個(gè)直徑都為a4的球,記它們的體積之和為V甲,表面積之和為S甲;一個(gè)直徑為a的球,記其體積為V乙,表面積為S乙,則(甲>V乙且S甲>S乙 甲<V乙且S甲<S乙甲=V乙且S甲>S乙 甲=V乙且S甲=S乙解析計(jì)算得V甲=16πa3,S甲=4πa2,V乙=16πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.故選答案C5.兩個(gè)球的表面積之差為48π,它們的大圓周長(zhǎng)之和為12π,則這兩個(gè)球的半徑之差為.

解析由題意設(shè)兩球半徑分別為R、r(R>r),則4所以R-r=2.答案26.如圖①,一只裝了水的密封瓶子,其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的幾何體.當(dāng)這個(gè)幾何體如圖②水平放置時(shí),液面高度為20cm,當(dāng)這個(gè)幾何體如圖③水平放置時(shí),液面高度為28cm,則這個(gè)幾何體的總高度為cm.

解析設(shè)半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱的高分別為h1cm和h2cm,則由題意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.答案297.養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化公路上的積雪之用),已建倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m,高4m.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù),以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案:一是新建倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4m(高不變);二是高度增加4m(底面直徑不變).(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積和表面積.(2)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)?解(1)方案一中倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m,半徑r1為8m,高h(yuǎn)1為4m,則圓錐的母線長(zhǎng)l1=45m,所以倉(cāng)庫(kù)的體積V1=13πr12h1=2563π(m3).表面積S1=πr1l1=32方案二中倉(cāng)庫(kù)的高h(yuǎn)2變成8m,半徑r2為6m,則圓錐的母線長(zhǎng)為l2=10m.所以倉(cāng)庫(kù)的體積V2=13πr22h2=2883π(m3)=96π(m3),表面積S2=πr2l2=(2)因?yàn)閂2>V1,S2<S1,故方案二比方案一更經(jīng)濟(jì).8.如圖,某種水箱用的“浮球”,是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.已知半球的直徑是6cm,圓柱筒高為2cm.(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(結(jié)果精確到?(2)要在2500個(gè)這樣的“浮球”表面涂一層膠,如果每平方米需要涂膠100克,那么共需膠多少克?解(1)因?yàn)榘肭虻闹睆绞?cm,可得半徑R=3cm,所以兩個(gè)半球的體積之和為V球=43πR3=43π·27=36π(cm3又圓柱筒的體積為V圓柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).所以這種“浮球”的體積是V=V球+V圓柱=36π+18π=54π≈(cm3).(2)根據(jù)題意,上下兩個(gè)半球的表面積是S球表=4πR