2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷）

2013年高考數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷）本試卷共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題。本大題共8題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，則A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}【答案】：B【知識(shí)點(diǎn)】：集合的含義與運(yùn)算【解析】：集合B含有整數(shù)-1，0，故2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】：D【知識(shí)點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算和簡(jiǎn)單幾何意義【解析】：（2-i）2=3-4i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（3，-4）位于第四象限。3.“φ=π”是“曲線y=sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】：A【知識(shí)點(diǎn)】：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、充要條件的判斷【解析】：由可得，此為曲線坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件，故是曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充分而不必要條件。4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為B.C.D.【答案】：C【知識(shí)點(diǎn)】：程序框圖【解析】：逐次運(yùn)算的結(jié)果是此時(shí)終止程序，輸出S的值為。5.函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)=A.B.C.D.【答案】：D【知識(shí)點(diǎn)】：函數(shù)的平移及對(duì)稱性【解析】：與曲線關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，函數(shù)的圖像向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)f(x)的圖象，即6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2xB.C.D.【答案】：B【知識(shí)點(diǎn)】：雙曲線的方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【解析】：在雙曲線中離心率，可得，故所求的雙曲線的漸近線方程是。7.直線過(guò)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于A.B.2C.D.【答案】：C【知識(shí)點(diǎn)】：拋物線的幾何性質(zhì)、定積分的幾何意義、微積分基本定理【解析】：由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），故直線L的方程為y=1,該直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），根據(jù)對(duì)稱性和定積分的幾何意義可得所求的面積是。8.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x0－2y0=2，求得m的取值范圍是A.B.C.D.【答案】：C【知識(shí)點(diǎn)】：二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域【解析】：?jiǎn)栴}等價(jià)直線x-2y=2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點(diǎn)，由于點(diǎn)（-m,m）不可能在第一和第三象限，而直線x-2y=2經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則點(diǎn)（-m,m）只能在第四象限，可得m<0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x-2y=2與陰影部分有公共點(diǎn)，則點(diǎn)（-m,m）在直線x-2y-2=0的下方，由于坐標(biāo)原點(diǎn)使得x-2y-2<0,故，即。第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，)到直線的距離等于【答案】：1【知識(shí)點(diǎn)】：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【解析】：由題意知，點(diǎn)(2，)的直角坐標(biāo)是，直線的直角坐標(biāo)方程是y=2，所以所求的點(diǎn)到直線的距離為1.10.若等比數(shù)列{an}滿足，則公比q=；前n項(xiàng)和Sn=.【答案】：2【知識(shí)點(diǎn)】：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式【解析】：由題意知，又，故，解得a1=2,所以。11.如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，PA=3，，則PD=，AB=.【答案】：【知識(shí)點(diǎn)】：圓的切割線定理【解析】：設(shè)PD=9t，DB＝16t,則PB=25t，根據(jù)切割線定理得32=9t×25t,解得t=,所以PD=，PB＝５.在直角三角形APB中，根據(jù)勾股定理得AB=4.12.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是.【答案】：96【知識(shí)點(diǎn)】：排列組合中的分組安排問(wèn)題【解析】：按照要求要把序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號(hào)的情況是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法數(shù)是。13.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，則=____________.【答案】：4【知識(shí)點(diǎn)】：平面向是的線性運(yùn)算、平面向量基本定理，基礎(chǔ)知識(shí)【解析】：設(shè)i,j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則所以，根據(jù)平面向量基本定理得所以。14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】：【知識(shí)點(diǎn)】：空間幾何體、點(diǎn)到直線的距離【解析】：點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P到平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD上的射影為P’,顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P’C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)。三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15.（本小題共13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.（1）求cosA的值；（2）求c的值?！敬鸢浮浚阂娤隆局R(shí)點(diǎn)】：正弦定理、二倍角公式、三角恒等變換公式等基礎(chǔ)知識(shí)【解析】：（1）（2）16.（本小題共13分）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天。（I）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（II）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（III）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】：見下【知識(shí)點(diǎn)】：統(tǒng)計(jì)圖、古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)17.（本小題共14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.【答案】：【知識(shí)點(diǎn)】：直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解知識(shí)和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用18.（本小題共13分）設(shè)l為曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線.（1）求l的方程；（2）證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線l的下方?！敬鸢浮浚阂娤隆局R(shí)點(diǎn)】：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)和不等式中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法【解析】：19.（本小題共14分）已知A、B、C是橢圓W：上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積.（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.【答案】：見下【知識(shí)點(diǎn)】：橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系20.（本小題共13分）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn（1）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)