北京市海淀區(qū)2020屆高三年級(jí)四月份測試高三數(shù)學(xué)

高三數(shù)學(xué)試卷高三數(shù)學(xué)試卷第頁(共25頁聯(lián)立+號(hào)=1x=my+1，消去x，得：(3m2+4)y2+6my一9=0,-6m-9有yi+y2=3m帀‘yiy2=3m亓410分-18m-6m+6mx-24m+6mx則k+k=0=0=112(3m2+4)(x-x)(x-x)(3m2+4)(x-x)(x-x)10201020即-4m+mx=0，又m豐0，故x=4.13分00當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，P(4,0)也符合題意.故存在點(diǎn)P(4,0)，使得x軸上任意點(diǎn)到直線PA,PB距離均相等14分20)(本小題15分)解：(I)因?yàn)閒(x)=ex-ax2(aeR),故f'(x)=ex—2ax1分依題意f'(1)=e-2a=0，即a=—2分2當(dāng)a=-時(shí)，f(1)=e豐0，此時(shí)切線不與x軸重合，符合題意，因此a=e3分222(II)由(I)知，f'(x)=ex―2ax,當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤e[0,1],ex>0,-2ax>0，故f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，因此f(x)=f(1)=e-a.max依題意，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=e-a>e>2，所以a<0符合題意.5分max當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ex一2a，令f"(x)=0,有x=ln2a.f"(x),f"(x)變化如下：6分x(-g,ln2a)ln2,a(ln2a,+xf〃(x)——0+f"(x)]極Z)小值故f'(x)=2a-2aln2a=2a(l-ln2a).7分min當(dāng)1—ln2a>0時(shí)，即0<a<—時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,2因此f(x)=f(1)=e—a.max依題意，令e—a>2，有0<a<e—2.8分當(dāng)1—ln2a<0時(shí)，即a>e時(shí)，f'(1)=e—2a<0,f'(0)=1>0，2故存在唯一xg(0,1)使f'(x0)=0.…?…9分0010分x(0,x)010分x(0,x)0x0(x,1)0f'(x)+0——f(x)Z極大值]此時(shí)有ex0—2ax=0，即ex0=2ax，f(x),f(x)變化如下：00所以f(x)=f(x)=ex0—ax2=ex0max002xg(0,1)．011分依題意，令g(x)=ex—于，xg(0,1)，則g/(x)=(1-；)ex>0，g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,所以g(x)<g(1)=2<2，所以f(x)max<2，此時(shí)不存在符合題意的a.綜上所述，當(dāng)ag(-?e-2］，f(x)在［0,1］上的最大值不小于2，若aG(-?e-2］，則f(x)在［0,1］上的最大值小于2,所以a的取值范圍為(-Oe一2］12分解法二：(II)當(dāng)xG［0,1］時(shí)，f(x)最大值不小于2,等價(jià)于f(x)=ex—ax2>2在xg［0,1］上有解，顯然x=0不是解，即a<■^二2在xg(0,1］上有解，4分x2設(shè)g(x)=2xG(0,1］,x2

xex一2ex+4則g(xex一2ex+4則g(x)=-……5分設(shè)h(x)=xex—2ex+4,xg(0,1］,則h'(x)=ex(x一1)<0.所以h(x)在(0,1］單調(diào)遞減，h(x)nh(i)=4一e>0,7分所以g'(x)>0，所以g(x)在(0,1］單調(diào)遞增，9分所以g(x)=g(1)=e―210分max依題意需a<e一2,所以a的取值范圍為(-?e一2］12分解法三:(II)由(I)知，f'(x)=ex―2ax,(1)當(dāng)a<2時(shí),f'(x)=ex一2ax>ex一ex設(shè)h(x)=ex一exxg［0,1］，h'(x)=ex一e<0,所以h(x)在［0,1］單調(diào)遞減，故h(x)>h(1)=05分所以f'(x)>0，所以f(x)在［0,1］單調(diào)遞增，因此f(x)=f(1)=e—a7分max依題意，令e一a>2，得a<e一28分e(2)當(dāng)a>時(shí),2f(x)=ex一ax2<ex一%22e設(shè)申(x)=ex一—x2,xg［0,1］,則申'(x)=ex一ex=h(x)>0,所以申(x)在［0,1］單調(diào)遞增，10分

eeTOC\o"1-5"\h\z故申(x)=申(1)=e~—=—^2，即/(x)<2，不符合題意11分max22綜上所述，a的取值范圍為(—s，e-2].12分(III)當(dāng)a<0時(shí)，y=f(x)有0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<a<竺時(shí)，y=f(x)有1個(gè)零點(diǎn)4當(dāng)a=e2時(shí)，y=f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>時(shí)，y=f(x)有3個(gè)零點(diǎn).15分44寫對(duì)一個(gè)給1分，寫對(duì)三個(gè)給2分，全對(duì)給3分).21)(本小題14分)解：(I)A=(0,0),B=(0,1)；TOC\o"1-5"\h\zA=(0,1),B=(0,0)；1分A=(1,0),B=(1,1)；2分A=(1,1),B=(1,0)3分(II)令A(yù)=(a,a,L,a),B=(b,b,L,b),C=(c,c,L,c)，12n12n12n(i)對(duì)i=1,2,L,n，當(dāng)c=0時(shí)，有IIa一cI一Ib一c11=1a一bI；4分iiiiiii當(dāng)c=1時(shí)，有IIa一cI-Ib一cII=I1一a-(1-b)I=Ia一bI.5分iiiiiiiiid(d(A一C,B一C)=11a一cI-1b一cII+IIa一cI-1b一cII+L+IIa一cI-1b一c1111222222nnnn=Ia—bI+1a—bI+L+1a—bI=d(A,B)6分1122nn(ii)證法1：設(shè)A=(a,a,L,a)，B=(b,b,L,b)，C=(c,c,L,c)eS，12n12n12nnd(A,B)=k，d(A,C)=l，d(B,C)=h.記O=(0,0,L,0)eS，由(I)可知，nd(A,B)=d(A一A,B一A)=d(O,B一A)=k

d(A,C)二d(A-A,C-A)二d(O,C-A)二l,d(B,C)二d(B-A,C-A)二h,所以Ib-al(i=1,2,L,n)中1的個(gè)數(shù)為k,|c-al(i=1,2,L,n)的1的個(gè)數(shù)為l.iiii設(shè)t是使Ib-a1=1c-aI=1成立的i的個(gè)數(shù)，則h=l+k—2t.iiii由此可知，k,l,h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).證法2：因?yàn)?a—b)+(b—c)+(c—a)=0,TOC\o"1-5"\h\ziiiiii且(a—b)+(b—c)+(c—a)與丨a—bI+Ib—cI+Ic—aI奇偶性相同，iiiiiiiiiiii所以Ia—bI+Ib—cI+Ic—aI為偶數(shù)，故d(A,B)+d(B,C)+d(A,C)為偶數(shù)?…8分iiiiii所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).9分(III)記工d(A,B)為P中所有兩個(gè)元素間距離的總和，A,BeP設(shè)P中所有元素的第i個(gè)位置的數(shù)字中共有t個(gè)1，m-t個(gè)0，10分ii11分工d(A