2023數(shù)學(xué)三考研大綱2

2023考研數(shù)學(xué)三大綱全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱數(shù)學(xué)三考試科目微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷結(jié)構(gòu)一、總分試卷總分值為150分，考試時(shí)間180分鐘二、內(nèi)容比例微積分約56%線性代數(shù)約22%概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)約22%三、題型結(jié)構(gòu)單項(xiàng)選擇題8小題，每題4分，共32分填空題6小題，每題4分，共24分解答題〔包括證明題〕9小題，共94分微積分一、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，根本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比擬，極限的四那么運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)那么：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)那么和夾逼準(zhǔn)那么，兩個(gè)重要極限：函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?？荚囈?．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4．掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限〔包括左極限和右極限〕的概念。6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)那么，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。7．理解無(wú)窮小量的概念和根本性質(zhì)，掌握無(wú)窮小量的比擬方法，了解無(wú)窮大量的概念及其無(wú)窮小量的關(guān)系。8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念〔含左連續(xù)和右連續(xù)〕，會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。二、一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟(jì)意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線與法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四那么運(yùn)算，根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達(dá)〔L’Hospital〕法那么，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值考試要求1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義〔含邊際與彈性的概念〕，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程。2．掌握根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4．了解微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。5．理解羅爾〔Rolle〕定理、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理，了解泰勒〔Taylor〕定理、柯西〔Cauchy〕中值定理，掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。6．會(huì)用洛必達(dá)法那么求極限。7．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性〔注：在區(qū)間〔a,b〕內(nèi)，設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，f(x)的圖形是凸的〕，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線。三、一元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的根本性質(zhì)，根本積分公式，定積分的概念和根本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓—萊布尼茨〔Newton-Leibniz〕公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反?！矎V義〕積分，定積分的應(yīng)用考試要求1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的根本性質(zhì)和根本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。2．了解定積分的概念和根本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓—萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法。3．會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會(huì)利用定積分求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。4．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分。四、多元函數(shù)微積分考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值，二重積分的概念、根本性質(zhì)和計(jì)算，無(wú)界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分考試要求1．了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義。2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3．了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全微分，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。4．了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。5．了解二重積分的概念與根本性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算方法〔直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)〕，了解無(wú)界區(qū)域上較簡(jiǎn)單的反常二重積分并會(huì)計(jì)算。五、無(wú)窮級(jí)數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間〔指開區(qū)間〕和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的根本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式考試要求1．了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念。2．了解級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比擬判別法和比值判別法。3．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。4．會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域。5．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的根本性質(zhì)〔和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分〕，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。6．了解，，，與的麥克勞林〔Maclaurin〕展開式。六、常微分方程與差分方程考試內(nèi)容常微分方程的根本概念，變量可別離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡(jiǎn)單的非齊次線性微分方程，差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解，一階常系數(shù)線性差分方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用考試要求1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。2．掌握變量可別離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。3．會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程。4．了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。5．了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。6．了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。7．會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。線性代數(shù)一、行列式考試內(nèi)容行列式的概念和根本性質(zhì)，行列式按行〔列〕展開定理考試要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。2．會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行〔列〕展開定理計(jì)算行列式。二、矩陣考試內(nèi)容矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算考試要求1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)。2．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。4．了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。5．了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法那么。三、向量考試內(nèi)容向量的概念，向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，向量的內(nèi)積，線性無(wú)關(guān)向量組的正交標(biāo)準(zhǔn)化方法考試要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法那么。2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。3．理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。4．理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行〔列〕向量組的秩之間的關(guān)系。5．了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組正交標(biāo)準(zhǔn)化的施密特〔Schmidt〕方法。四、線性方程組考試內(nèi)容線性方程組的克萊姆〔Crammer〕法那么，線性方程組有解和無(wú)解的判定，齊次線性方程組的根底解系和通解，非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線性方程組〔導(dǎo)出組〕的解之間的關(guān)系，非齊次線性方程組的通解考試要求1．會(huì)用克萊姆法那么解線性方程組。2．掌握非齊次線性方程組有解和無(wú)解的判定方法。3．理解齊次線性方程組的根底解系的概念，掌握齊次線性方程組的根底解系和通解的求法。4．理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。五、矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似矩陣的概念及性質(zhì)，矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量及相似對(duì)角矩陣考試要求1．理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。2．理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法。3．掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。六、二次型考試內(nèi)容二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩，慣性定理，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和標(biāo)準(zhǔn)形，用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型及其矩陣的正定性考試要求1．了解二次型的概念，會(huì)用矩陣形式表示二次型，了解合同變換和合同矩陣的概念。2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、標(biāo)準(zhǔn)形等概念，了解慣性定理，會(huì)用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一、隨機(jī)事件和概率考試內(nèi)容隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，完備事件組，概率的概念，概率的根本性質(zhì)，古典型概率，幾何型概率，條件概率，概率的根本公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)考試要求1．了解樣本空間〔根本領(lǐng)件空間〕的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算。2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的根本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯〔Bayes〕公式等。3．理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法。二、隨機(jī)變量及其分布考試內(nèi)容隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的概率分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布考試要求1．理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。2．理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二項(xiàng)分布B〔n,p〕、幾何分布、超幾何分布、泊松〔Poisson〕分布及其應(yīng)用。3．掌握泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布。4．理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布U〔a,b〕、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為〔〕的指數(shù)分布的概率密度為5．會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。三、多維隨機(jī)變量的分布考試內(nèi)容多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)，二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常見(jiàn)二維隨機(jī)變量的分布，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的分布考試要求1．理解多維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念和根本性質(zhì)。2．理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，掌握二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布。3．理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件，理解隨機(jī)變量的不相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系。4．掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布，理解其中參數(shù)的意義。5．會(huì)根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，會(huì)根據(jù)多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布。四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征考試內(nèi)容隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望〔均值〕、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，切比雪夫〔Chebyshew〕不等式，矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)考試要求1．理解隨機(jī)變量數(shù)字特征〔數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)〕的概念，會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的根本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征。2．會(huì)求