二次函數(shù)與幾何綜合題-（2020-2022）中考數(shù)學(xué)專題真題分項(xiàng)匯編（四川）（解析）

專題10二次函數(shù)與幾何綜合題一、單選題1．（2022·四川宜賓·中考真題）已知拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，若以AB為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，進(jìn)而求得頂點(diǎn)的的坐標(biāo)，結(jié)合圖形可知當(dāng)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于或等于-3滿足題意，即可求解．【詳解】解：拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)坐標(biāo)為，,以AB為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點(diǎn)，則圓的半徑為3，如圖，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓的的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，求得拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川自貢·中考真題）已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷④．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，，∴，即，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況．3．（2020·四川南充·中考真題）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若拋物線y=ax2的圖象與正方形有公共頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出拋物線經(jīng)過(guò)兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的a的值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（1，3）時(shí)，a=3，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（3，1）時(shí)，a=，觀察圖象可知≤a≤3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．4．（2021·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，已知，，，與、均相切，點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)，則的值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【解析】【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直線AC的解析式為；設(shè)的半徑為m，可得P（m，-m+6）；連接PB、PO、PC，根據(jù)求得m=1，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5）；再由拋物線過(guò)點(diǎn)P，由此即可求得．【詳解】在Rt△AOB中，，，∴；∵，，∴OC=6，∴C（0，6）；∵，∴A（6，0）；設(shè)直線AC的解析式為，∴，解得，∴直線AC的解析式為；設(shè)的半徑為m，∵與相切，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)P在直線AC上，∴P（m，-m+6）；連接PB、PO、PA，∵與、均相切，∴△OBP邊OB上的高為m，△AOB邊AB上的高為m，∵P（m，-m+6）；∴△AOP邊OA上的高為-m+6，∵，∴，解得m=1，∴P（1，5）；∵拋物線過(guò)點(diǎn)P，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、待定系數(shù)法求解析式，正確求出的半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2020·四川巴中·中考真題）現(xiàn)有一“祥云”零件剖面圖，如圖所示，它由一個(gè)半圓和左右兩支拋物線的一部分組成，且關(guān)于y軸對(duì)稱．其中半圓交y軸于點(diǎn)E，直徑，；兩支拋物線的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B．與x軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D；直線BC的解析式為：．則零件中BD這段曲線的解析式為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】記AB與y軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且直徑AB＝2，OE＝2得出點(diǎn)B（1，1），由點(diǎn)B坐標(biāo)求出直線BC解析式，據(jù)此得出點(diǎn)C坐標(biāo)，繼而得出點(diǎn)D坐標(biāo)，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入右側(cè)拋物線解析式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．【詳解】解：記AB與y軸的交點(diǎn)為F，∵AB＝2，且半圓關(guān)于y軸對(duì)稱，∴FA＝FB＝FE＝1，∵OE＝2，∴，則右側(cè)拋物線的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，則，設(shè)右側(cè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入解析式得，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出點(diǎn)B坐標(biāo)及熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．三、解答題6．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（-2，-4）(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，【解析】【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直線AB關(guān)系式為：，直線AB平移后的關(guān)系式為：，當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D距AB最大，此時(shí)△ABD的面積最大，由此即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分三種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，解得：，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，由于PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：，=-1，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，．(1)解：將B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為：．(2)向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大，∵時(shí)，，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4,0），設(shè)直線AB關(guān)系式為：，將A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直線AB關(guān)系式為：，設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為：，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即的解為：x=-2，將x=-2代入拋物線解析式得，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-4）時(shí)，△ABD的面積最大；(3)①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直線解析式為：，∵拋物線對(duì)稱軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，∴PA所在直線解析式為：，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：，綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），，時(shí)，△PAB為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·四川雅安·中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．【答案】(1)(2)E的坐標(biāo)為：或或或(3)BP的最小值為：【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再代入C的坐標(biāo)可得函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，由可得拋物線的對(duì)稱軸為：設(shè)而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分別表示再分三種情況討論即可；（3）如圖，連結(jié)AD，記AD的中點(diǎn)為H，由則在以H為圓心，HA為半徑的圓H上，不與A，D重合，連結(jié)BH，交圓H于P，則PB最短，再求解H的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得答案．(1)解：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴設(shè)二次函數(shù)為：把C（0，﹣3）代入拋物線可得：解得：∴拋物線為：(2)如圖，由可得拋物線的對(duì)稱軸為：設(shè)而A（﹣1，0），C（0，-3），當(dāng)時(shí)，，解得即當(dāng)時(shí)，解得：即當(dāng)時(shí)，整理得：解得：綜上：E的坐標(biāo)為：或或或(3)如圖，連結(jié)AD，記AD的中點(diǎn)為H，由則在以H為圓心，HA為半徑的圓H上，不與A，D重合，連結(jié)BH，交圓H于P，則PB最短，即BP的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)與圓的綜合，判斷PB最小時(shí)，P的位置是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線分別與線段，直線交于點(diǎn)，，且與的面積相等，求直線的解析式；(3)是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段和直線上是否分別存在點(diǎn)，，使，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在這樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線可得到關(guān)于的方程組，解方程組即可得；（2）設(shè)直線的解析式為，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用三角形的面積公式可得的面積為，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，與直線的解析式聯(lián)立可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得的面積，然后根據(jù)與的面積相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；（3）先求出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，再分①以為一邊的矩形是矩形和②以為一邊的矩形是矩形兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)將用表示出來(lái)，然后將點(diǎn)代入拋物線的解析式可求出的值，由此即可得出答案．(1)解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得．(2)解：由題意，設(shè)直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，，則的面積為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積為，因?yàn)榕c的面積相等，所以，解得或（不符題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，所以直線的解析式為．(3)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，則拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)以為一邊的矩形是矩形時(shí)，則，，，，，在和中，，，，即，解得，，矩形的對(duì)角線互相平分，，解得，將點(diǎn)代入得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，②如圖，當(dāng)以為一邊的矩形是矩形時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，同理可證：，，即，解得，，，矩形的對(duì)角線互相平分，，解得，將點(diǎn)代入得：，解得或（不符題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，符合題意，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，存在這樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論，并找出相似三角形是解題關(guān)鍵．9．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，見(jiàn)解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，則BF的長(zhǎng)即為所求．【詳解】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）2+8，∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a=，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如圖，在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，則BF的長(zhǎng)即為所求．連接CP，∵CP為半徑，∴，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴，F(xiàn)P=EP，∴BF=BP+EP，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：BF的長(zhǎng)即BP+EP為最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，題目綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2021·四川廣元·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：x…0123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點(diǎn)E．試問(wèn)：線段的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．【解析】【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用平移和找對(duì)稱點(diǎn)的方式，將的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，再利用兩點(diǎn)之間線段最短確定的最小值等于CE的長(zhǎng)，加1后即能確定的最小值；（3）設(shè)出圓心和D點(diǎn)的坐標(biāo)，接著表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到B點(diǎn)的距離等于圓心到D點(diǎn)的距離，求出q和e的關(guān)系，得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定EF的長(zhǎng)為定值．【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴，∴拋物線解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由表格可知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0），C（0,3），如圖3，將A點(diǎn)向上平移一個(gè)單位，得到，則∴四邊形是平行四邊形，∴，作關(guān)于MQ的對(duì)稱點(diǎn)E，則∴，∴，當(dāng)P、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，最短，設(shè)直線CE的解析式為：，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，∴，∴直線CE的解析式為：，令，則，∴當(dāng)時(shí)，P、E、C三點(diǎn)共線，此時(shí)最短，∴的最小值為．（3）是；理由：設(shè)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以圓心位于該直線上，所以可設(shè)的外接圓的圓心為，作，垂足為點(diǎn)N，則，由軸，∴，∵，且由表格數(shù)據(jù)可知∴，化簡(jiǎn)得：，∵點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且拋物線解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)不變，為1．【點(diǎn)睛】本題涉及到了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點(diǎn)的平移、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握相關(guān)概念與公式，能將題干信息與圖形相結(jié)合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計(jì)算量，對(duì)學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力都有較高的要求，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．11．（2021·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）直接寫出的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；（2）若點(diǎn)D為的外心，且與的周長(zhǎng)之比為，求此拋物線的解析式；（3）在（2）的前提下，試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）∠OCA=45°，AB=a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可證明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示AB的長(zhǎng)；（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=，利用兩點(diǎn)間距離公式可用a表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可證明△DBC∽△OCA，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于G，連接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出BH、DH的長(zhǎng)，根據(jù)，∠BHD=∠ACE=90°可證明△BHD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案．【詳解】（1）∵拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-a，當(dāng)y=0時(shí)，，解得：，，∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），∴OB=1，OA=OC=a，∴△OCA是等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙D，∵點(diǎn)D為的外心，∴DB=DC，∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，∴∠OAC=45°，AC=，∵∠BDC和∠BAC是所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠OAC，∴△DBC∽△OCA，∵與的周長(zhǎng)之比為，∴，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∵,∴a=2，∴拋物線解析式為：=．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于G，連接AP交CF于E，∵a=2，∴C（0，-2），A（2，0），AC=，∵∠OCA=45°，∴∠OCF=45°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴F（-2，0），設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線CF的解析式為，∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，∴OG所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，∵點(diǎn)D為的外心，∴點(diǎn)D在直線OG上，∵A（2，0），C（0，-2），∴G（1，-1），設(shè)直線OG的解析式y(tǒng)=mx，∴m=-1，∴直線OG的解析式y(tǒng)=-x，∵點(diǎn)D為△ABC的外心，∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為=，把x=代入y=-x得y=-，∴D（，-），∴DH=，BH=1+=，∵，∠BHD=∠ACE=90°，∴△BHD∽△ACE，∴，即，解得：，∵點(diǎn)E在直線CF上，∴設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（n，-n-2），∴CE==，解得：，∴（，），（，），設(shè)直線AE1的解析式為y=k1x+b1，∴，解得：，∴直線AE1的解析式為，同理：直線AE2的解析式為，聯(lián)立直線AE1解析式與拋物線解析式得，解得：，（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P1（，），聯(lián)立直線AE2解析式與拋物線解析式得，解得：，（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P2（1，-2）．綜上所述：存在點(diǎn)P，使得，點(diǎn)P坐標(biāo)為P1（，），P2（1，-2）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵．12．（2022·四川南充·中考真題）拋物線與x軸分別交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，頂點(diǎn)P在拋物線上，如果面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在延長(zhǎng)線上，，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使．交x軸于點(diǎn)E，與均為銳角，，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（2，），（，）或（，）(3)（－4，）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先根據(jù)題意判斷出三角形BCP面積為平行四邊形BCPQ面積的一半，得出當(dāng)P在直線BC下方的拋物線上時(shí)，面積取最大值時(shí)滿足題意，求出最大面積后得到直線BC下方的P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)△BCP的面積求出BC上方P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，過(guò)D作DP⊥x軸，過(guò)M作MQ⊥x軸，根據(jù)平行線性質(zhì)求出MQ=PD，證明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，設(shè)OP=x，用x表示出PB，PE的長(zhǎng)度，再根據(jù)得出PB=2PE，代入求出x值，進(jìn)而求得Q點(diǎn)坐標(biāo)及M點(diǎn)坐標(biāo)．(1)解：∵拋物線與x軸分別交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，解得：，即拋物線解析式為．(2)解：由題意知，三角形BCP面積為平行四邊形BCPQ面積的一半，設(shè)直線BC下方拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)P作平行于BC的直線l，作直線l關(guān)于BC對(duì)稱的直線MN，由圖知，直線MN與拋物線必有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)平行線間距離處處相等知，當(dāng)三角形BCP面積取最大值時(shí)即直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意的P點(diǎn)只有三個(gè)，由B（4,0），C（0，-4）知直線BC解析式為：y=x-4，過(guò)P作PH⊥x軸于H，交BC于E，則S△BCP=S△PCE+S△PBE==2PE，設(shè)P（m，），則E（m，m-4），∴S△BCP==，∴當(dāng)m=2時(shí)，△BCP面積取最大值，最大值為，此時(shí)，直線BC下方拋物線上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），同理，設(shè)直線BC上方拋物線上P點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，則：，解得：n=或n=，即P（，）或（，），綜上所述，滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），（，）或（，）．(3)解：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，過(guò)D作DP⊥x軸，過(guò)M作MQ⊥x軸，垂足分別為H、P、Q，如圖所示，則NH∥PD∥MQ，∴，，∴PD=2HN，QM=2HN，即PD=QM，∵∠MEQ=∠PED，∴△MEQ≌△DEP，∴QE=PE，

設(shè)OP=x，則BP=4-x，PH=BH=，∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，∵，∴，即PB=2PE，∴4-x=2（2+x），解得：x=0，即P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，D在y軸上，∴OQ=4，即Q（－4,0），∴M（－4,）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與三角形面積最值問(wèn)題、平行線分線段成比例性質(zhì)、全等三角形證明等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例定理找出各線段間的關(guān)系．13．（2022·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；（2）過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時(shí)，最大，，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對(duì)角線三種情況討論求解即可．(1)（1）∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大為，∴此時(shí)最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；(3)存在．∵∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長(zhǎng)時(shí)，如圖，方法同①可得，，∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，即H（）∴，解得，?！唷帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，E為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，N為射線CB上的一點(diǎn)，M是拋物線上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d，面積為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最小值為(3)N的坐標(biāo)為或或【解析】【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)為D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，為D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，由對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)、E、F、在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)度，再證明為等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；（3）連接BM，表示出，可證，再求出直線BC的解析式為，直線AM的解析式為，可得M的坐標(biāo)，設(shè)N的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q，則得，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)，分別計(jì)算即可．(1)∵，在上，∴，∴，∴拋物線的解析式為．(2)如圖，設(shè)為D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，為D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，，的周長(zhǎng)為，∴當(dāng)、E、F、在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)度．令，則，解得，．∴B的坐標(biāo)為，∴，為等腰直角三角形．∵BC垂直平分，且D的坐標(biāo)為，∴．又∵D、關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，∴，∴周長(zhǎng)的最小值為．(3)∵M(jìn)到x軸的距離為d，，連接BM，∴．又∵，∴，∴B、N到AM的距離相等．

又∵B、N在AM的同側(cè)，∴．設(shè)直線BC的解析式為，則，∴∴直線BC的解析式為，∴設(shè)直線AM的解析式為．∵，∴設(shè)直線AM的解析式為，，解得，，∴M的坐標(biāo)．∵點(diǎn)N在射線BC上，∴設(shè)N的坐標(biāo)為．∵，，，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q，則易得，，，∵為等腰三角形①時(shí)，，解得，．

②時(shí)，，解得，．③時(shí)，，解得．∵N在第一象限，∴，∴t的取值為，，，∴N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·四川南充·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見(jiàn)詳解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ=，從而求出線段PQ長(zhǎng)度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，推出，從而得，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，∴B（4，0），C（0，4），設(shè)拋物線，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-()==，∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度最大=4，∴此時(shí)，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中點(diǎn)，∴D（0，2），∵QN∥y軸，∴，又∵，∴，∴，∴，即：，設(shè)E（x，），則，解得：，（舍去），∴E（5，4），設(shè)F（0，y），則，，，①當(dāng)BF=EF時(shí)，，解得：，②當(dāng)BF=BE時(shí)，，解得：或，③當(dāng)EF=BE時(shí)，，無(wú)解，綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，）或（0，1）或（0，-1）．．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．16．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2)或(3)【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法求直線AC解析式為，再過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，證，得，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，即可求出或，從而求得點(diǎn)F坐標(biāo)；（3），是平移得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則（2）知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)，對(duì)稱軸于點(diǎn)H，連結(jié)、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則，，．在中，，則在中，，所以，所以為最小值，根據(jù)，所以，即可求出．(1)解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：=-(x-1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)解：設(shè)直線AC的解析式為：，把點(diǎn)，代入得：，，∴直線AC解析式為：，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，∵以A、C、E、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴，AC=EF，又∵，∴∴，∴，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴或；(3)解：由題意，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)，對(duì)稱軸于點(diǎn)H，連結(jié)、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則，，．在中，，則在中，∴，又∵∴為最小值，又∵，∴，∴求得的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，利用軸對(duì)稱求最小值，本題屬二次函數(shù)綜合題目，掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．17．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為將，兩點(diǎn)代入求得，c的值即可；（2）胡不歸問(wèn)題，要求的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化為，再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得N點(diǎn)的坐標(biāo);②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),RN=AB,利用兩點(diǎn)距離公式求解方程可得N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵過(guò)，∴∴，∴拋物線的解析式為：（2）在上取一點(diǎn)，使得，連接，∵對(duì)稱軸．∴，，∴，∴∴∴當(dāng)，，三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，最小為．在中，，∴即最小值為．（3）情形①如圖，AB為矩形的一條邊時(shí)，聯(lián)立得是等腰，分別過(guò)兩點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，過(guò)作軸，軸,,也是等腰直角三角形設(shè)，則，所以代入，解得,（不符題意，舍）同理，設(shè)，則，所以代入，解得,（不符題意，舍）②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),則，設(shè)，則整理得：解得：（不符題意，舍），（不符題意，舍），，綜上所述：點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離計(jì)算等知識(shí)，能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2020·四川宜賓·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)（2，1）在二次函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)F(0，1)作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖像于M，N兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）P為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心的圓過(guò)點(diǎn)F和和點(diǎn)N，且與直線相切，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求的半徑；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）在二次函數(shù)圖像上存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心，半徑為的圓，過(guò)點(diǎn)F，N且與直線相切．【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，則設(shè)二次函數(shù)的解析式為，然后將（2，1）代入求得a即可；（2）將y=1代入解得，可確定M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而確定MN的長(zhǎng)度；再根據(jù)是等邊三角形確定PM的長(zhǎng)，然后解三角形確定PF的長(zhǎng)，最后結(jié)合F點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；（3）先假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)Q是FN的中點(diǎn)，即Q(1，1)【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將（2，1）代入，解得所以二次函數(shù)的解析式為；（2）如圖：將y=1代入，得，解得是等邊三角形∴點(diǎn)P在y軸上且PM=4∴或；（3）假設(shè)在二次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)E滿足條件設(shè)點(diǎn)Q是FN的中點(diǎn)，即Q(1，1)∴點(diǎn)E在FN的垂直平分線上∴點(diǎn)E是FN的垂直平分線x=1與的圖像的交點(diǎn)，即，∴∴點(diǎn)E到直線y=-1的距離為∴在二次函數(shù)圖像上存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E為圓心，半徑為的圓，過(guò)點(diǎn)F，N且與直線相切．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的解析式、等邊三角形、解三角形、垂直平分線等知識(shí)，掌握并綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．19．（2020·四川·中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過(guò)P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【解析】【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標(biāo)，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長(zhǎng)，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得G和H的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長(zhǎng)，直接代入計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為6+2或2﹣6；（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長(zhǎng)BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF為定值4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長(zhǎng)，可解決問(wèn)題．20．（2021·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求、的值；（2）在、運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知：AP=，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t==2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；（3）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．21．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q．使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在．請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時(shí)，△BPC的最大面積，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，求出直線BC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3），利用三角形面積公式S△BPC=，即可求出S△BPC面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分類討論，一是當(dāng)BP為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，二是當(dāng)BP為平行四邊形一邊時(shí)，利用平移規(guī)律即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，∴，即，解得：OA=1，OC=OB=3，∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，則，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，而△ABC的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的最大面積即可，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，∵B（-3，0），C（0，3），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n，則，解得：，∴直線BC的表達(dá)式為y=x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3），則點(diǎn)H（x，x+3），S△BPC===，∵，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，此時(shí)x=，代入得，∴P（，）；（3）若BP為平行四邊形的對(duì)角線，則PQ∥BM，PQ=BM，則P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，∴Q（，）；若BP為平行四邊形的邊，如圖，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如圖，BQ∥PM，BQ=PM，∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入中，解得：或（舍），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；如圖，BP∥QM，BP=QM，∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入中，解得：（舍）或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對(duì)稱軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線上取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo)．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點(diǎn)P'，則P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)Q和R的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），又∵點(diǎn)A在拋物線上，∴c＝1，對(duì)稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點(diǎn)P'，則P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，∴當(dāng)n＝時(shí)，△ABP的面積最大為，此時(shí)P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．23．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（一1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交拋物線于點(diǎn)C（2，m）．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）線段PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）存在，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)論；（2）先利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），易知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，）且-1≤x≤2，從而求出PE與x的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，），根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線分類討論，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分和中點(diǎn)公式列出方程，即可分別求解．【詳解】解：（1）將A（一1，0），B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代