2012信號(hào)與系統(tǒng)講義-課件第11章

第11章線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法1掌握狀態(tài)變量及狀態(tài)方程的定義;2熟練掌握從電路和輸入-輸出方程編寫狀態(tài)方程3狀態(tài)方程復(fù)頻域解法及穩(wěn)定性判別輸入-輸出方程或轉(zhuǎn)移函數(shù)狀態(tài)方程重點(diǎn)內(nèi)容1、IO法：描述系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系。其結(jié)果往往是單變量（高階）微分或差分方程。1）單輸入單輸出系統(tǒng)（SISO）2）多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO）用IO法描述系統(tǒng)，比較簡單、直觀，方程求解簡單；但是無法了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)，而且在求解MIMO系統(tǒng)時(shí)不方便?！?1-1引言2、狀態(tài)變量法：將系統(tǒng)用狀態(tài)（轉(zhuǎn)移）方程（多個(gè)一階微分或差分構(gòu)成的方程組）和輸出方程描述。1）可以了解系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)部分的情況；2）有利于MIMO系統(tǒng)分析；3）

方程的構(gòu)成和求解比較規(guī)則，有利于計(jì)算機(jī)輔助分析4）可以推廣到非線性系統(tǒng)?！?1-2系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述法一、狀態(tài)(state)和狀態(tài)變量(statevariable)

描述系統(tǒng)在某時(shí)刻的內(nèi)部狀態(tài)所必須的一組最少的物理量（或函數(shù)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。狀態(tài)變量在某時(shí)刻的值稱為系統(tǒng)在該時(shí)刻的狀態(tài)。

利用這些狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)在該時(shí)刻的值以及系統(tǒng)模型可以唯一地確定系統(tǒng)中其它的物理量或函數(shù)。若已知電容上的電壓值及激勵(lì)，就可以知道電路中的任意變量。1、系統(tǒng)的狀態(tài)一般和系統(tǒng)的儲(chǔ)能有關(guān)。

2、狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。例如，電系統(tǒng)中的狀態(tài)一般是電容上的電壓和電感上的電流。3、狀態(tài)變量的選擇并不唯一。

狀態(tài)矢量在某個(gè)時(shí)刻的取值可以用一個(gè)多維空間的點(diǎn)表示，這些點(diǎn)構(gòu)成的多維空間被稱為狀態(tài)空間。稱為狀態(tài)矢量構(gòu)成一個(gè)隨時(shí)間變化的向量用狀態(tài)變量系統(tǒng)的輸出矢量：激勵(lì)矢量二狀態(tài)變量的選取

便于測量及狀態(tài)方程的編寫，選取電路中獨(dú)立的電容C的電壓，獨(dú)立的電感的電流為狀態(tài)變量對(duì)于線性系統(tǒng)而言，狀態(tài)方程是一組一階線性微分（或差分）方程組。其一般形式可以用矩陣表示為：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量、激勵(lì)和系統(tǒng)參數(shù)構(gòu)成的、決定系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間（或空間等其他變量）變化規(guī)律的一組一階微分（或差分）方程組。三、

狀態(tài)方程選uC,iL為狀態(tài)變量列微分方程三、

狀態(tài)方程四輸出方程選uC,iL

為狀態(tài)變量若uL,ic,uR,iR作為輸出y=Cx+De描述系統(tǒng)的輸出與狀態(tài)變量、激勵(lì)之間關(guān)系的一組方程。線性方程（或方程組）例1：(P3+8p2+19p+12)y(t)=(4P+10)e(t)1直接模擬法§11-3由輸入-輸出方程求狀態(tài)方程x

(t)y(t)∫∑-8q′∫q″-19∑410q(t)∫-12q(3)取q,q'和q''為狀態(tài)變量，并設(shè)q=x1,q'=x2,q''=x3取q,q'和q''為狀態(tài)變量，并設(shè)q=x1,q'=x2,q''=x3r(t)=10x1+4x2這種狀態(tài)變量稱為相變量狀態(tài)方程：輸出方程：r(t)=10x1+4x2相變量：取q,q'和q''為狀態(tài)變量狀態(tài)方程：輸出方程：ABCD矩陣與輸入-輸出方程系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然，可以推廣到任意微分方程。在微分方程轉(zhuǎn)移算子分子的次數(shù)m小于分母的次數(shù)n的條件下，根據(jù)微分方程可以直接寫出狀態(tài)方程。m<nx1x2xnx

(t)y(t)∫∑-an-1q(n-1)∫q(n)-an-2∫q′∫q″…-a1-a0bn-1b1b0∑bn-2……q(t)=x11:取q(t)及qk(t)(k=1,…,n-1)作為狀態(tài)變量[x1,x2…xn]2:寫狀態(tài)方程m<n3:寫輸出方程m<n狀態(tài)方程取相變量為狀態(tài)變量輸出方程A矩陣：其第n行的元素即為轉(zhuǎn)移函數(shù)分母中次序顛倒過來的系數(shù)的負(fù)數(shù)-a0,-a1,….-an-1

，其它各行除了對(duì)角線右邊的元素均為1外，別的元素全為0；B矩陣：其第n行的元素均為1，其余為0；相變量狀態(tài)方程m<nm=nC矩陣：為行矩陣，前m+1個(gè)元素即為轉(zhuǎn)移函數(shù)分子中次序顛倒過來的系數(shù)b0,b1,….bm，其余n-m+1個(gè)元素均為0；D=0m=n2并聯(lián)模擬x'(t)=-ax(t)+e(t)一階模擬圖r(t)=x1+x2-2x3x1'(t)=-x1+e(t)x2'(t)=-3x2+e(t)x3'(t)=-4x3+e(t)e

(t)x(t)∫∑-ax′狀態(tài)方程輸出方程r(t)=x1+x2-2x3x1'(t)=-x1+e(t)x2'(t)=-3x2+e(t)x3'(t)=-4x3+e(t)規(guī)律：A:矩陣A是對(duì)角線矩陣，其對(duì)角上元素的值就是轉(zhuǎn)移函數(shù)的各極點(diǎn)；B:列矩陣B的元素均為1；C:輸出方程中的行矩陣C的各元素即依次為部分分式系數(shù)；所以這種狀態(tài)變量稱為對(duì)角線變量。對(duì)角線變量m<n,且沒有重根1xnx2x狀態(tài)方程輸出方程例2:(2p2+14p+24)e(t)=(6p+20)e(t)1:取相變量為狀態(tài)變量2:寫狀態(tài)方程3:輸出方程1:取對(duì)角線變量為狀態(tài)變量2:寫狀態(tài)方程3:輸出方程相變量狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)方程輸出方程對(duì)角線變量例題11-1圖示一反饋系統(tǒng)，寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。

解：先求出該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。為此，可由圖寫出頻域中輸入、輸出函數(shù)間的關(guān)系系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

用相變量直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程分別為

E

(s)Y

(s)已知求其輸入輸出方程例2:解:相變量狀態(tài)方程輸出方程復(fù)習(xí)m<nm=n狀態(tài)方程輸出方程對(duì)角線變量輸出方程：3、離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)方程：可以得到最后一個(gè)狀態(tài)方程定義狀態(tài)變量x為根據(jù)這就直接得到了n-1個(gè)狀態(tài)方程，離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程

當(dāng)m<n,輸出方程

離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程

當(dāng)m=n,輸出方程

例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系統(tǒng)的框圖；（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；（4）判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定情況。解：v1=1,v2=0.5yzi(k)=C1+C20.5kyzi(k)=(1+2·0.5k)(k)yzs(k)=y(k)-yzi(k)=(2k+0.5k)(k)臨界穩(wěn)定例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系統(tǒng)的框圖；（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；解：yzs(k)=(2k+0.5k)(k)h(k)=2(k-1)+0.5k(k)-0.5k-1(k-1)h(k)=(2-0.5k)

(k)例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系統(tǒng)的框圖；（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；解：h(k)=(2-0.5k)

(k)例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系統(tǒng)的框圖；（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；解：X

(z)Y(z)z-1∑1.5z-1-0.5例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；解：x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k+2)-1.5y(k+1)+0.5y(k)=e(k+2)q(k+2)-1.5q(k+1)+0.5q(k)=e(k)y(k)=q(k+2)x1(k)=q(k)x2(k)=q(k+1)例1:已知某線性非移變的離散時(shí)間系統(tǒng)的初始條件為

yzi(0)=3,yzi(1)=2;當(dāng)激勵(lì)e(k)=(k)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)（3）列出相變量狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A、B、C、D；解：x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k+2)-1.5y(k+1)+0.5y(k)=e(k+2)q(k+2)-1.5q(k+1)+0.5q(k)=e(k)y(k)=q(k+2)x1(k)=q(k)x2(k)=q(k+1)y(k)=q(k+2)=x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)C=[-0.51.5]D=1已知連續(xù)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣為D=0求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。例2：s313s22ks(6-k)/201k00<k<6解：例3：已知某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為:

試給出該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

解：系統(tǒng)的微分方程為

取原來的輔助變量q(t)及其各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量并分別表示為

狀態(tài)方程：

輸出方程：

4、已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為：試求出其狀態(tài)方程和輸出方程。解：§11-4電系統(tǒng)的狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立一般分為三個(gè)步驟：1、確定狀態(tài)變量；2、建立狀態(tài)方程；3、建立輸出方程。1、系統(tǒng)的狀態(tài)一般與其儲(chǔ)能有關(guān)。在電系統(tǒng)中，儲(chǔ)能元件有電感L、電容C和互感M。2、狀態(tài)變量必須在電路的L、C、M中選取，一般取電感L和互感M上的電流和電容C上的電壓。3、電系統(tǒng)狀態(tài)變量可以取全部獨(dú)立的iL、iM

和uC

。電系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)（系統(tǒng)的階數(shù)）等于其獨(dú)立的電感、互感和電容數(shù)目之和。4、不獨(dú)立的iL、iM

和uC

的情況主要有：串聯(lián)電感、并聯(lián)電容、純電感節(jié)點(diǎn)、純電容回路。一、狀態(tài)變量的選取1)選狀態(tài)變量:獨(dú)立的儲(chǔ)能元件：通常uC,iL

為狀態(tài)變量2）寫狀態(tài)方程例1：寫下圖所示電路的狀態(tài)方程對(duì)于一個(gè)電路而言，選擇狀態(tài)變量最常用的方法是取全部獨(dú)立的電感電流和獨(dú)立的電容電壓。線性系統(tǒng)的階數(shù)等于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，對(duì)于電系統(tǒng)而言，也就等于系統(tǒng)中獨(dú)立的電感和電容的總個(gè)數(shù)。二、建立狀態(tài)方程

1、狀態(tài)方程的形式：等式左邊為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；等式右邊為包含狀態(tài)變量、激勵(lì)的線性方程。2、從電路列狀態(tài)方程的方法：找出每個(gè)含有iL、iM

和uC的一階導(dǎo)數(shù)的方程（組）。1）電感或互感:列含有電感或互感的回路KVL；列含有電容的節(jié)點(diǎn)KCL；2）電容:3）整理方程，使其滿足狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式;3）整理方程，使其滿足狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：a、每一個(gè)方程中只能在左邊含有一個(gè)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，如果多了必須設(shè)法消去；b、每個(gè)方程中只能含有狀態(tài)變量和激勵(lì)，不能含有非狀態(tài)變量。如果有，也必須設(shè)法消去；uC,iL選uC,iL

為狀態(tài)變量例1：特點(diǎn)：(1)聯(lián)立一階微分方程組；(2)左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；(3)右端僅含狀態(tài)變量和輸入量；狀態(tài)方程矩陣形式一般形式[X]=[x1

x2xn]T式中\(zhòng)nn\nr選uC,iL

為狀態(tài)變量例1：這個(gè)電路中有一個(gè)僅由三個(gè)電容組成的回路，只有兩個(gè)獨(dú)立電容電壓，所以可從三個(gè)電容電壓中任取其二作為狀態(tài)變量。1、用含有狀態(tài)變量和激勵(lì)的方程計(jì)算出其它的非狀態(tài)變量。2、對(duì)線性系統(tǒng)而言，輸出方程是一階線性方程組，可以用矩陣形式記為：y(t)=Cx(t)+De(t)

3、對(duì)于電系統(tǒng)而言，可以將iL、iM

和uC

等效為理想電流和電壓源，通過疊加原理得到各個(gè)非狀態(tài)變量。三、建立輸出方程：輸出方程特點(diǎn)：(1)代數(shù)方程；

(2)輸出量用狀態(tài)變量和輸入量表示。一般形式[Y]=[C][x]+[D][e](2)一般選擇uC和

iL為狀態(tài)變量，也常選

和

q為狀態(tài)變量。(3)狀態(tài)變量的選擇不唯一。上例中也可選uC和duC/dt為狀態(tài)變量小結(jié)：(1)狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)系，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于

獨(dú)立的儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)。

一般對(duì)系統(tǒng)并不需要所有的非狀態(tài)變量，只要知道某些需要的變量即可。總結(jié)：狀態(tài)方程：x(t)=Ax(t)+Be(t)

輸出方程：y(t)=Cx(t)+De(t)

通過狀態(tài)方程，可以得到狀態(tài)變量的時(shí)間函數(shù)；通過輸出方程，可以得到系統(tǒng)內(nèi)部任意物理量的時(shí)間函數(shù)，從而可以得到系統(tǒng)任意處的響應(yīng)。只要知道了A、B、C、D矩陣，就可以描述系統(tǒng)。這種表示方法對(duì)于計(jì)算機(jī)而言特別有效?！顟B(tài)方程的列寫舉例選uC,i1,

i2為狀態(tài)變量含duC/dt

電容節(jié)點(diǎn)列KCL含diL/dt電感回路列KVL例1.R1+uSCuCiSiRR2i2L2L1

+i1

解標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式：例2.選u1,u2,i3,

i4為狀態(tài)變量消去非狀態(tài)量i5,i6i5=(u2u1)/R5i6=i4i3代入上式，整理L3i3uSR6R5C2C1L4+i5i6i4++u1u2列寫圖示電路的狀態(tài)方程。解例3圖示一小信號(hào)諧振放大器的等效電路狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)形式為其中為A、B、C、D常數(shù)矩陣，x、