物理-ces03-數(shù)理方程科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

MathematicalMethodsforMathematicalEquationsfor要想探索自然界的奧秘就得解微分方Wuhan第六章定解 中心：將物理問題翻譯成數(shù)學(xué)語目的:1、如何用數(shù)理方程研究2、如何導(dǎo)出3、能正確寫出定解問§6.1Wuhan§6.1一、數(shù)理§6.1數(shù)學(xué)物理方程Wuhan§6.1一、數(shù)理§6.1TaylorTayloruta2utDuutDuuuh-與源有關(guān)的已知量，u-表示穩(wěn)定物Wuhan§6.1一、數(shù)理§6.1utta2

f(x,tKdV：utσuuxuxxx

ΔψWuhan§6.1二、用數(shù)理方法研§6.1泛定方程：數(shù)理方程(一般規(guī)定解條件：初始、邊界、銜接條件（

y4yy(0)0yC

C

Wuhan§6.1二、用數(shù)理方法研§6.1求解方法:行波法、分離變量法、積分變物理

存穩(wěn)Wuhan§6.1三、數(shù)理§6.1 Wuhan§6.2類理方一§6.2類理方u(xt已知：a密度(xt(t重力pb.無抗彎c.張力T沿切向d.u是小量，u2 Wuhan一、弦的橫振(1考慮任意段xT

u(x,§6.2類§6.2類理方

1T MyT1sin：Tsin

x F（xx,t) (0 單位Wuhan§6.2類理方一§6.2類理方T2cos2T1cos1

T2sin2T1sin1F(x1x,t)xutt(x2x,

uua2u gcm/ 其中 量綱：g/ Wuhan

fF－單位質(zhì)量所受力（即力密度一、弦的橫振§6.2類理方§6.2類理方

a

a2u

au2Wuhan§6.2類理方二§6.2類理方 u(x,t)溫c、、kuu(x，t)Wuhan§6.2類理方0x§6.2類理方0xnxu(x,n )流入x

Qku x流出xx面 ku

熱源產(chǎn)生：Q3Ft（Ax）（設(shè)其熱源強(qiáng)度為升溫所需熱量：QCAx)[u(xttu(xt)]根據(jù)熱量守恒定律：Q

Q2Wuhan§6.2類理方二§6.2類理方ututDuxx其中D k,f Wuhan§6.2類理§6.2類理方設(shè)在充滿了介電常數(shù)的區(qū)域中，有體電荷密度x,y,z)的電荷，求靜電場(chǎng)。QEV已知：

VWuhan§6.2類理§6.2類理方 sEds4

若

Poisson方VVVV§6.2類理§6.2類理方 ut Du u Wuhan§6.2§6.2類理方

ua2u utDuxxuWuhan§6.3定解條件

Wuhan§6.3定§6.3定解弦振動(dòng)u|t0(弦振動(dòng) t tWuhan§6.3定§6.3定解弦的橫振動(dòng)，當(dāng)t弦的橫振動(dòng)，當(dāng)t0 (2h/l)

0xl/

u(x,tu|t0

(2h/l)(l

l/2x t

l ut0 lx

u(x, Wuhan§6.3定解一§6.3定解時(shí)間tn階方程需要nu|t0( t t

a2u

f

(utDufu|t0(uWuhan§6.3定解二§6.3定解u|f(Mt

u|xl T0eu|x00,u|xlWuhan二、邊

§6.3定解F§6.3定解u(x,un|f(Mt

（0

一端固定，另一端單位面積受力為ux|xlF/E

|xlxl端有熱量流出，熱流密度為xl端有熱量流入，熱流密度為

x|xl u x x0端有熱量流入，熱流密度為

u x Wuhan§6.3定解§6.3定解(uhun|f(Mt)（已知函數(shù)[uhu u,h桿的縱振動(dòng)問題 桿的縱振動(dòng)問題u

0

(uEsu) Wuhan§6.3定解二§6.3定解 F桿長(zhǎng)方向的力F(單位面積上）F

答:

x|xlE ux|xl u|x0Wuhan§6.3定解三§6.3定解u1|x u |xE1

0|x E0

|x

u1 u2Wuhan

2§6.3定§6.3定解（Euler）y

[0,a]:y ;[a,):y y yWuhan四、三類定解

§6.3定解§6.3定解

,x

u|t0(x),ut|t0u u|f 既有邊界條件又有初

(x),u Wuhan*數(shù)理方法研究問題的寫出定解問題求解分析1、抖動(dòng)的繩子－一維進(jìn)2、投石入水二維進(jìn)行3、燈塔上發(fā)出的燈光－三維進(jìn)行波； 行波法Wuhan波travellingwave用行波 空間波動(dòng)問題1、掌握行波法解題要領(lǐng)及全過 3、掌握三維問題化為一維問題的平均值Wuhan波travellingwaveWuhan§7.1§7.1

,x u|t0(x),x u (x),x t0Wuhan§7.1§7.12、引入坐標(biāo)變換求（1）的通解(xat選擇xat

即：x(12)()t(1/2a)()則方程（1）化為

u

,)

u(xu(x,t)f1(xat)f2(xat

u(,)f1()f2

Wuhan§7.1§7.13、用初始條件定特

,x u|t

(x),x

u (x),x

t

u(u(x,t)f1(xat)f2(xatuu(x,t)1[(xat)(xat22xx()d(6)Wuhan

－D’Alembert第八章分離變量法TheofSeparationofWuhanuu(x,t)12[(xat)(xat)]2xx()d問題的utt,xuu|t0(x),x t(x),xWuhan Wuhan§8.1Freetransversevibrationofafinite一.定解問

a2uxx

0x

uu

uu t

t0 思路：兩端固定的弦形成駐波,故可用駐波Wuhan u(x,t)X(x)Ta2μT則 XμX X(0)0,X(l)2XμXX(0) X(l)

Wuhan2XμXX(0) X(l)

定義Wuhan2XμXX(0)

X(l)

本征值：μ

n2πl(wèi)

n

XX(x)CsinnnnlWuhan3、求解Tnta2n2Tn"(t) l Tn(t) T(t)A'

l

t

nπat

nnBn

l()0

nl

u(x,u(x,t)(AcosnπatBsinnπat)sinnπnnlnllA l()sinndnl0lWuhan設(shè)以2l為周期的函數(shù)在[ll]f(x)2

(ann

nπxbsinnπx)

lf(x)cosnxdx,n0,1,L

b f(x)sinn

n1,2, l lxl

b2

f(x)sin

n1,2,則f(x)

bn

則l lf(x則l lf(x)cosnxdx,n0,1,L0a l2f(x)lnnlnn三.分析解u(x,t)u

Ncos(ωtδ)sinnπn

NSinnπ 頻率：初位相:

mlm01Ln(共n1個(gè) Wuhan

2k1lk1,2,L,n(n個(gè) 三.分析駐 駐波的疊Wuhan 解：其定解問題可表示uxxu

0,0xa,0ybux

|x

b

xa u

yWuhan

f

x

u(x,y)X(x)Y(

XXYYX(0)X(a)Y(b)

n n 本征值

a , 02XX(x)AcosnnnaWuhanY(y)

Yn2a

Y CncoshayDnsinhayEnsinh

(yFn),(nn D2C , n

ath1

由Yn(b)=0

C0b

,

b(En

bYn(y)0b(nEshn(yna(nWuhan問題的

a2uxx 0x

uu

u

uu t

t0

a2u

f(x,t),0xl uu x

x

u(x,t)u (

(

t

tt§8.2—Inhomogeneousequations-pureforcedWuhan§8.2§8.2非齊次方程—一、定解問題

a2u

f(x,t),0xl,t0uu x

x

u

t

tt二、求思路1：

a2u

f(x,

va2v u|t0u

v|t tt

vt|tf(x,u(x,t)

0v(x,t;)dWuhan§8.2§8.2非齊次方程—二、求

a2u 令u(xt)X(x)T(tXXX(0)

(n)2,nl

Xn(x)CnlWuhan§8.2§8.2非齊次方程—二、求2、求對(duì)應(yīng)的Tn(t令u(xt)

nn

T(t)sin

(t)(l

)2T

f(x, TTl)2Tf Tn(0)

(t)(t)(nn

nx nn

(0)f(t) Wuhan

l §8.2§8.2非齊次方程—tl2、求對(duì)應(yīng)的Tn(ttlTn(t)

fn()

(t

3、有界弦（桿）的純強(qiáng)迫振動(dòng)的lltt

fn

(t)d]sinn

三、小

Wuhan問題的令u(xt)X(x)Tu(x,

f令u(xt)X(x)Y

X(0)f(t)T u

u(,)R(

x2y2R(a)() R(a)§8.4OrthogonalCurvilineaeWuhan一、正交曲線、柱坐標(biāo)（，，z)0,,zxcos

x2yy

p(,,p(x,y,ysinz

z

1 YXWuhan一、正交曲線2、極坐標(biāo)（，) 0,xcos

x2yYysin

tg1

p(x,y Wuhan一、正交曲線、球坐標(biāo)0r,0,xrsincos

r x2y2zZyrsinsinzrcos

tg

x2yzy

p(x,y,p(r,,) tg XWuhan Wuhan三、正交曲線坐標(biāo)系中的uucosu

2u

cos2

sincos

sin2 uusinu

2u2u2

sin2

2sincos

Wuhan

2u2

cos2(

cos

sin) uu 22uzu 2u (r2u)1r2sin(sinu)1r2sin2三、正交曲線坐標(biāo)系中的Wuhan§8.5SeparationofVariablesinTermsofOrthogonalCurvilineaeCoordinatesuu0(u0)在物理學(xué)中的重要令ux,y,zt)T(t)vx,yz

a2uTa2TvvWuhan

DuTDTvvu§8.5§8.5二、柱坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離uu0 ()2 2

u令u(,zR()()ZZZ

kn22RR(k22

n2)R

, 設(shè)

xk,y(x)R(n階Bessel記n階Besselxx2yxy(x2n2)yWuhan§8.5§8.5二、柱坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離u0uu

令u(,zR()()Z0ZZu0

n22

R(k22

n2)R

(k2xk,y(x)R(xx2yxy(x2n2)yWuhan§8.5§8.5二、柱坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離

u0,u f

(1u(,R()(

n22R()R()n2Rn2

n2,n0,1,2,L(2(2(

()AcosnBsin2R()(3R()＝0Wuhan

Rn()Rn()Cn§8.5§8.5二、柱坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離

u0,uu

f(u(,)n(AncosnBnsinn (AnancosnBnansinn)f(1 Aa0 1

f()d, Aan

f()cos

Ban

f()sin

u(u(,) )nancosnnsinnWuhan§8.5§8.5三、球坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離變量1uu0 (r2u)

u)

u0r2

r2sin

r2sin2令u(r,,)R(ry(,

k2r2d2r dr

2r

[k2r2l(l1)]R0(2) 2

sin(sin)sin2y(,)()(m20,m d

l(l1)Y0mWuhan

sin

)[l(l1)

sin2

]0§8.5§8.5三、球坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離變量1uu0

u(r,,)R(r)()((k2)

r2d2

2r

[k2r

l(l1)]R0 m20,m d(sinsin

)[l(l1)

sin2

]0

l(l m2 l(l1),m x2yxy[x2x2yxy[x2(l1)2]y2令：xkr, x]y0(1x)1]y0(1x)1[l(l1)2(2),(2)球Besseleq5),(5)締合LegenderWuhan§8.5§8.5三、球坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離變量2u0uu0 u(r,,)R(r)()(

m20,m mu

0sind(sind)[l(l1)sin2]0 r2d2R2rdRl(l1)]R (6)

dr

(1(1x2)y2xy[l(l1)m21]y0Wuhanuu 22uzu () u r22)1r2sin)1r2sin§8.5§8.5四、小結(jié)Wuhan§8.5§8.5四、小結(jié)

令u(,zR()()ZZZuu0n2

0k2u

2R

R(k2

n2)Rxk,y(x)R(xx2yxy(x2n2)y

n k Wuhan四、小結(jié)5、在球坐標(biāo)系中

u(r

x2yxy[x2(l1)2x2yxy[x2(l1)2]y2r2d2 dr

2r

[k2r2l(l1)]R(k2)uu0 m20,m d m

)[l(l1)

]sin

sin2u

d2 2 dr

l(l1)]R

l(l m2 l(l1),m

(1(1x2)y2xy[l(l1)m21x]y0(5)WuhanMethodsinMathematical第九章積分變換法TheMethodofIntegral大學(xué)物理科學(xué)與技Wuhan問題的 k(x,k(x,p)f核

偏 常 Wuhan

第四章積分變換法 目的:1.傅氏變換定義、性質(zhì)Wuhan一、傅氏積分和傅氏積llll

§9.1傅氏2§9.1傅氏三角式：fx)

a0121

(ann

nxbnsinnl1anll1lbn ll

f()f()

ndlnfx)n

n

cein

f()ein 2l n,n...,2,1,0,1,2,...nnl

1nlWuhan§9.1傅氏一、傅氏積分和傅§9.1傅氏2l)的函數(shù) f(x)f(x)cnen

l[f1 l[f

nin

dndnl l [1 f(

d

Wuhan

n0 2

f(f(x)1 [f()ed]eixf(x)1 [f(x)idx]eixd§9.1傅氏一、傅氏積分和傅§9.1傅氏滿足狄氏條件；(2)絕對(duì)可積：fxdx1 1

f()

d]eixd連續(xù)點(diǎn)則：f(x)2 1f 0f 0)，x Wuhan§9.1傅氏一、傅氏積分和傅§9.1傅氏f(f(r r)13[vvxy3 3vv v 2 dv Wuhan§9.1二、傅§9.1G(G()記f()eidF[f(x)]ff(x)1 記12dFF1Ff(x)f(x)Wuhan

§9.1傅氏二§9.1傅氏F[eF[eax2]e2a2F[eax

]?,(aG(G()vf (v)

3

v G()eir dv Wuhan§9.1傅§9.1傅氏 G()

f(x)eix

G()2

f(x)eixf(x)

G()eix

f(x)

G()eixd G() 1

f(f(x)

G()eixWuhan§9.1傅§9.1傅氏G(G()f()eiG()為f(x)的頻率密度函數(shù)或頻譜函數(shù)，它可G(f(x)的頻譜。因?yàn)棣厥窍鄬?duì)變化f(x)12f(x)12Wuhan三、傅氏變換F[ff]F[f]F[f

§9.1傅氏§9.1傅氏√2.

f(x )]F[f(xx0)] 0F[f(

fn1(x..微5.F fd1Ff

1Ff1f2Ff1Ff21√7.Ff1f2

Ff1Ff2像函數(shù)卷其中f1

f

f1f2xd卷Wuhanutt

a2u

0,x,t

ut

x

t

記

ux,teixdx

xeixdx

xeixdx

~t~,0t

Wuhanux,t1ux,t12xatxatxxF1[F1[G()cosat]1[(xat)(xat2F1sin (Wuhan

2

F[(x)]G(uta2u fx,t,x,t0ux,0~~

記

xeixdx

fx,teixdx

a22~

~,tff

Wuhan a 2 ex4a2tftf~,tea22000

~,ea22tux,t

F1

a22tF1F[(x)F1(ea22t)]

tF1F[f(x,)F1(ea22(t)0 t(x) et

4a2t

f(x,) e

4a2(t)ux,t 2 ux,t 2 4a2te2at0 tx2Wuhan二.輸運(yùn)問2

utaur

tr,記F r,

u

1 r2 rdr~,t

4a2tr, rr,rrFrr

eirdr 2u

rdr

z2 ~

a

2~

~,tea22 ur,t ur,t rr1 rr2r1Wuhan 斯變換

ftdt 若0;當(dāng)t0ft

dt0此時(shí) 0

fteteit而 fte

pi,FpFftet則dpF(p)

ftept f(t)fWuhan

1

斯變換二、拉氏 斯變換1.線性Lf1tf2tLf1tLf202.延遲p0tftFpp記LftF03.位移Lftep相似Lfat1Fpa a

積分:Lt fd

Lf 7.卷積Lf1tf2tLf1tLf2ft

fft1Wuhan

斯變換1F[1

f2]F[f1]F[f2

f(x)]G(0

[Ff(x0F[f(xx)]ei0

F[f(

F

x

fd1Ff Ff1f2Ff1Ff2Ff1

f

Ff1

Ff

像函數(shù)其中f1f2

f1f2xd卷Wuhan

W 斯變換二、拉氏 斯變換 eikt 1 p

pik

,Repsint2

2

2

3

1p

p21kk

p2kkp2kpp2kWuhan 斯變換四、解數(shù)理方 斯變換~Tt~T0

na

Ttft記

T(t)eptdt0

~T~T0

Lf 0

f na2 2則pTppT2~p

Tpf

n Tpna

L

ft

na tp t tWuhan

T

l na0

f

斯變換 斯變換

拉氏

f

Fp

p數(shù) f數(shù)

2

f

Wuhan§10.1TheDeltaWuhan問題的行波法 空間波動(dòng)問題,有局限分離變量法各種有界問題 由

uh(M)u f(Mu u(M)

G(M,M)h(M)d

f(M)

0Wuhan0

G,0－問題的fxt)點(diǎn), x,t

a

f(x,t) f(x,t)

f(,),x,t

ut0

t0 u(xt格林函數(shù),即G(xt,);f(xtWuhan問題的uh(M

u(M)G(M,M0)h(M5.2

f(M

f(M)0 0

Wuhan§10.1函一、§10.1函m0

總質(zhì)量m1,集中在x0x則密度

(x)limm0x

x(x)dxWuhan§10.1函一、§10.1函q 0

總電量q1,集中在x0則電荷密度 (x)limq0x(x)dx

x0

xWuhan§10.1函§10.1函(x)x0x(x)dx(xx0)一般x0 (xx)dx0Wuhan§10.1函一、§10.1函若在xx0點(diǎn)放有m質(zhì)量總質(zhì)量則(x)m(xx0同樣若在xx0放有電量為q的點(diǎn)電荷，總電量為q，則(x)q(xx0Wuhan二、函數(shù)的性f(x)在()連續(xù),

§10.1函注意 也能表示連續(xù)分布的函bf(t)

f()(t)d

f()(a f(xg(x都是定義在(a,b)(a,b)區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù)(x)bb f(x)(x)dxbbb

g(x)(

則必有：f(x)g(x)f(f(x)(xx0)dxf(x0)[f(x)(x)dxfWuhan

a(x)g(x)dx

則必有g(shù)(x)§10.1§10.1函2dx)(x)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),f(x)(xx0)dxf(x0(2)(xx0)(xx0)(xx0f(x(n(xx)dx(1)n0f(n)(x0、[(x)]n(xx(xii其中(xiWuhan§10.1函三§10.1函 0,MM

其中,(MM00(MM0)0

M

(x

,y

,zz0 (MM)dv

(x

)(y

)(zz0 (M(2)

00,M0) 0MM

為三維函數(shù)dv其中,(MM0(xx0,yy0 (M

0

)dxdy

(xx0)(yy0為二維函數(shù)dvWuhan§10.1函§10.1函2f(M)(MMf(x0,y0,z0f(M0f(M)(MM0f(M0Wuhan

f(x0,y0§10.1§10.1函0sinx(x1)dx02 201sinx(x)dx0sin(xy)(x2)(y00(x u00Wuhan第十章格林DirichletProblemforthePoisoon’suh(M),M g(M

Wuhan§10.2程的§10.2程的1、為何引入格林(2).我們要求解的三類數(shù)值方程中均含有格林公式是將未知函數(shù)從微分算符下設(shè)ux,y,zvx,yz)在中具有連續(xù)的二上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則有Wuhan§10.2§10.2程的

vuduvdv

ud

)將uvuv的值與uvvu的邊值聯(lián)系起來u,v對(duì)vv0,及vWuhan

uh(M ug(M 格林函一、泊松方程的格林函Mr01、三維：G(MM0Mr0G

(r2

)(rr 若r:若r

GC1

(r)dvv

Gdv

Gdv

G

C1 G1G14

C1 格林函一、泊松方程的格林函

G(MM0(xx)2(yy00G1(xx)2(yy00r v

ud udlGG(M,M)1ln0r格林函二、狄格林函

G(xx0,yy0,zz0),MG|令G(MM0F(MM0g(MM0使F(M,M0)(MM0 M11g|g0,M140G(M,M)

－狄氏格林函格林函二、狄格林函

G(xx0,yy0G|l

GG1ln1rg0,M|l2lnr11格林函二、狄格林函G(MM0,),MG(M,M)014G(M,M)014g0,M|4r10M 提供

GM點(diǎn)電位

vv0,v感應(yīng)電荷提供v:|

格林函二、狄格林函求G求M點(diǎn)電位

g0,M即求:

g|

g0,M即求g|

r格林函三、用電像法求格林函u0, f(M 解：u(M

f(M)G0 0G(M,M)

g0,M g; 4

g 求感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位求u求感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位

MethodsinMathematicalNonlinear大學(xué)物理科學(xué)與技一、為何要引入非線性二、何謂非線如，KdV：uu12uuu 三、非線性方程的特4、其解對(duì)初始條件具有敏感性（如，下頁蝴蝶效應(yīng) uu( 冪組合xt

解依賴于自變量的

uu(

x&(t)10x10&(t)28xy(t)

8x3三、非線性方程的特§12.2§12.2 引 1895年：荷蘭的Kortweg&deVriesuu12uuu§11.2§11.2uu12uuu 令a 其中，a常數(shù)，位相因子u(n)1,2,L)則

u,uau

a3uuau12auua3u 12

a 取aa3

12uu

§12.2§12.2d d d udu d

a2 即 6u2u＋c ud

a2udu

u2du udu

du

a2 11u22u31u2cu 使u(n)

0,1,2,L)

c1c2a2a22

u2(1a2a2aa2u

u)u§12.2 §12.2 a2a2

lna

a

a2

2ua2a2aa2aa2

(e

a2ee2 2(e e

sech2 §12.2§12.2u(u(,) 24a2[(1a2)aWuhan

4Legendre中心：球坐標(biāo)系中的特殊函數(shù)問目的：1.掌握Legendre方程的解，及常微在球坐標(biāo)中Δu=0的解WuhanLegendreu0 u d

d

sind

d

l

sin2 令xcosθyx 2

l

1x2

y

y(x)Wuhan第十 本章主第十1.u0r2R2rRl(l1)R0R(r)clrl

dr(llmm20lm

AmcosmBmsin

1x2

yxp(m)mcoscrPlm0,coscrPlm0,r )Pl0lldl sinmlll

2xyll1y0y(x)pl(x)l(clllu ml(clllu mml(lmllld(lWuhan第十 本章主第十fxCPxfxCPx,C2l1 ll21ll

12xtt

Plxt,l

1l1Pl1x2l1xPlxlPl1x 11,k,l2

2.2l1PxPxP

lllk

l22lpp(1)l22pl(1)P1xxP0x1p(x)13x2xlllPxWuhan第十第十a(chǎn)1、設(shè)有一內(nèi)半徑為a外半徑為2a的均勻球殼，其內(nèi)外表面的溫度分布分別保持為零和ua解：

u aruu r

r2au0u(cr

dr(l1))pcosll

(l[cll

dl ]pl(cos)[c(2a)ld(2a)(l1)]p(cos) lWuhanulul(crdl(lll)plc c

1aa 1 c

da(l1) cl(2a)ldl(2a)(l1)

lc02u0 d02au0 cldl luu2u(1a)pcos2u(1a0r00rWuhanul(crul(crdl(lll)plu(r,,)

u(r,,)r

d(r2du

(r2du)

u(r)ccr

2ura0,ur2a

,

uu2u(1a)pcos2u(1a0r00rWuhan第十第十2、設(shè)有一半徑為a為，在與球心的距離為b(b