《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 9.1直線平面簡(jiǎn)單幾何體 文 大綱人教

第九章直線平面簡(jiǎn)單幾何體知識(shí)點(diǎn)考綱下載平面和空間直線1.理解平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖．2．能夠畫(huà)出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系．3．掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理．4．會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．2．掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．直線平面垂直的判定及其性質(zhì)1.掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．2．掌握斜線在平面上的射影的概念．3．掌握三垂線定理及其逆定理．4．掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．空間角1.掌握兩條直線所成的角的概念．2．掌握直線和平面所成的角的概念．3．掌握二面角、二面角的平面角的概念．空間的距離1.掌握兩條直線的距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離．2．掌握直線和平面的距離的概念．3．掌握兩個(gè)平行平面間的距離的概念．棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)1.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)直棱柱的直觀圖．2．了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)正棱錐的直觀圖．多面體、球1.了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．2．了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積公式、體積公式．空間向量及其運(yùn)算(B)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘．2．了解空間向量的基本定理．3．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(B)1.理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2．掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式．掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．3．理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念.第1課時(shí)平面和空間直線1．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．兩點(diǎn)公理2：經(jīng)過(guò)

上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，

平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條

直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條

直線，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．不在同一條直線有且只有一個(gè)相交平行2．空間兩直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)平行公理公理4：平行于同一直線的兩條直線

——空間平行線的傳遞性．互相平行(3)等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別

，那么這兩個(gè)角相等．推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的

相等．平行并且方向相同銳角(或直角)3．斜二測(cè)畫(huà)法表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的

．水平放置的空間圖形的直觀圖的畫(huà)法—斜二測(cè)畫(huà)法．其規(guī)則是：(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox、Oy，再取Oz軸，使∠x(chóng)Oz＝90°，且∠yOz＝90°；(2)畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′＝

.x′O′y′所確定的平面表示水平平面；(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成

于x′軸、y′軸或z′軸的線段；(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中

；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的

．直觀圖90°保持長(zhǎng)度不變一半平行1．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(

)A．A∈l，lα

B．A∈l，lαC．Al，lαD．Al，lα解析：本小題考查立體幾何中的符號(hào)語(yǔ)言．答案：

B2．已知a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b(

)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線解析：c與b不可能是平行直線，否則c∥b，又c∥a，則有a∥b，與a，b異面矛盾．答案：

C3．在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么(

)A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上解析：平面ABC∩平面ACD＝AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，從而M∈AC.答案：

A4．不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定________個(gè)平面；若相交于兩點(diǎn)，最多能確定________個(gè)平面；若相交于三點(diǎn)，最多能確定________個(gè)平面．答案：

3

2

15．一個(gè)等腰三角形ABC，底邊長(zhǎng)和高都是4，其用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的平面三角形的面積為_(kāi)_______．答案：

如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與截面BDC1交于點(diǎn)O，AC、BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、M三點(diǎn)共線．證明：

∵A1A∥C1C，∴點(diǎn)A1，C1，C，A確定平面A1C.∵A1C平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C.∵平面BC1D∩直線A1C＝O，∴O∈平面BC1D，∴O在平面A1C與平面BC1D的交線上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D，且M∈平面A1C.又∵C1∈平面BC1D，且C1∈平面A1C，∴平面BC1D∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線．[變式訓(xùn)練]

1.如圖所示，已知△ABC在平面α外，它的三邊AB、BC、AC所在直線分別交α于P，Q，R，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．證明：證法一：根據(jù)題設(shè)條件，只需證明P，Q，R三點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可．∵A，B，C為α外的三點(diǎn)，∴△ABC所在的平面β與平面α不重合．AB∩α＝P，∴P為平面α與β的公共點(diǎn)，同理可證：R，Q也是平面α與β的公共點(diǎn)，由公理2知，P，Q，R三點(diǎn)共線．證法二：由已知AB的延長(zhǎng)線交平面α于點(diǎn)P，根據(jù)公理2，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l.∵P∈直線AB，∴P∈平面ABC.又直線AB∩平面α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)．∵平面ABC∩平面α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴點(diǎn)P、Q、R在同一直線l上．證明線共點(diǎn)，基本方法是先確定兩條直線的交點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，也可將直線歸結(jié)為兩平面的交線，交點(diǎn)歸結(jié)為兩平面的公共點(diǎn)，由公理2證明點(diǎn)在直線上．已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，求證：直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.證明：

∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD且EF＞GH.∴四邊形EFHG是梯形，其兩腰必相交，設(shè)兩腰EG、FH相交于一點(diǎn)P.∵EG平面ABC，F(xiàn)H平面ACD.∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC.∴P∈AC.故直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.

[變式訓(xùn)練]

2.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB，AA1的中點(diǎn)．求證：三條直線DA，CE，D1F交于一點(diǎn)．證明：直線DA平面AD1，直線D1F平面AD1，顯然直線DA與直線D1F不平行，設(shè)直線DA與直線D1F交于點(diǎn)M.同樣，直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行，設(shè)直線AD與直線CE相交于點(diǎn)M′.又E、F為棱AB、AA1的中點(diǎn)，∴易知MA＝AD，M′A＝AD，所以M、M′為直線AD上的同一點(diǎn)，因此，三條直線DA、CE、D1F交于一點(diǎn)．證明點(diǎn)線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．(3)反證法：可以假設(shè)這些點(diǎn)和直線不在同一個(gè)平面內(nèi)，然后通過(guò)推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定結(jié)論．

如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P.求證：P、A、C三點(diǎn)共線．證明：

(1)∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.在△BCD中，∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P、A、C三點(diǎn)共線．[變式訓(xùn)練]

3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)．(1)求證：E、F、D1、C四點(diǎn)共面；(2)求證：CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．證明：

(1)如圖，連接A1B，EF，CD1.∵EF∥A1B，CD1∥A1B，∴EF∥CD1.故E、F、D1、C四點(diǎn)共面．(2)在平面EFD1C內(nèi)，由于EF≠CD1，所以CE與D1F必相交．設(shè)CE∩D1F＝P，∵D1F在平面A1ADD1內(nèi)，∴P在平面A1ADD1內(nèi)．同理，P在平面ABCD內(nèi)，∴P在平面A1ADD1與平面ABCD的交線DA上，即CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．1．文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言是學(xué)習(xí)立體幾何的必備工具，應(yīng)熟練掌握它們之間的轉(zhuǎn)化．其中符號(hào)語(yǔ)言是論證幾何問(wèn)題的有效工具，而正確識(shí)圖、畫(huà)圖是解題的關(guān)鍵，因此應(yīng)重視符號(hào)語(yǔ)言的使用及識(shí)圖、畫(huà)圖能力的培養(yǎng)．2．求證三點(diǎn)及三點(diǎn)以上的點(diǎn)共線主要依據(jù)公理2，只要證明這些點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么它們都在這兩個(gè)平面的交線上；求證三條直線或三條以上的直線共點(diǎn)的一般方法是：首先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證其余各直線都經(jīng)過(guò)這點(diǎn)．3．證明點(diǎn)線共面有兩種思路：(1)先用部分點(diǎn)線確定一平面，再證明余下的點(diǎn)線都在此平面內(nèi)；(2)分別用部分點(diǎn)線確定兩個(gè)或多個(gè)平面，再證明這些平面是重合的．通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析，有以下的命題規(guī)律：1．考查熱點(diǎn)：點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷．2．考查形式：多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，偶爾出現(xiàn)在大題的某一問(wèn)中．3．考查角度：一是對(duì)平面的基本性質(zhì)的考查．解答此類問(wèn)題注意文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，能夠從集合的角度闡述點(diǎn)、線、面之間的聯(lián)系；二是對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查．4．命題趨勢(shì)：利用公理進(jìn)行位置的轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力．(2009·江西卷)如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為(

)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°.解析：∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥面ABC，∴MN∥AC.同理BD∥QM.∵M(jìn)N⊥QM，∴AC⊥BD，∴A是對(duì)的；