空間幾何體表面積與體積公式大全

空間幾何體的表面積與體積公式大全全（表）面積（含側(cè)面積）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓柱SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0棱錐：SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓錐：SKIPIF1<0臺體SKIPIF1<0棱臺：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓臺：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0球體球：SKIPIF1<0球冠：略球缺：略體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0棱柱SKIPIF1<0圓柱SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0棱錐SKIPIF1<0圓錐SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0棱臺圓臺球體球：SKIPIF1<0球冠：略球缺：略說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高SKIPIF1<0計算；而圓錐、圓臺的側(cè)面積計算時使用母線SKIPIF1<0計算。拓展提高祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子）夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導(dǎo)出球體體積的祖沖之父子便是運(yùn)用這個原理實現(xiàn)的。阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是SKIPIF1<0的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的SKIPIF1<0。分析：圓柱體積：SKIPIF1<0圓柱側(cè)面積：SKIPIF1<0因此：球體體積：SKIPIF1<0球體表面積：SKIPIF1<0通過上述分析，我們可以得到一個很重要的關(guān)系（如圖）+=即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和臺體體積公式公式：SKIPIF1<0證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0延長兩側(cè)棱相交于一點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)臺體上底面積為SKIPIF1<0，下底面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0高為SKIPIF1<0。易知：SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由相似三角形的性質(zhì)得：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0(相似比等于面積比的算術(shù)平方根)整理得：SKIPIF1<0又因為臺體的體積=大錐體體積—小錐體體積∴SKIPIF1<0代入：SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0球體體積公式推導(dǎo)分析：將半球平行分成相同高度的若干層（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0越大，每一層越近似于圓柱，SKIPIF1<0時，每一層都可以看作是一個圓柱。這些圓柱的高為SKIPIF1<0，則：每個圓柱的體積SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0∴半球體積為：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴球體積為：SKIPIF1<0球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（SKIPIF1<0）近似棱錐，當(dāng)SKIPIF1<0時，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的SKIPIF1<0，則每一個棱錐的體積SKIPIF1<0，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0正六面體（正方體）與正四面體體積關(guān)系如圖：正方體切下四個三棱錐后，剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長為SKIPIF1<0，則其體積為：SKIPIF1<0四個角上切下的每一個三棱錐體積為： SKIPIF1<0中間剩下的正四面體的體積為：SKIPIF1<0這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即：SKIPIF1<0外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。（理由：過不共面的四點(diǎn)確定一個球。）正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個公共頂點(diǎn)。所以它們共球?；仡櫍孩賰牲c(diǎn)定線②三點(diǎn)定面③三點(diǎn)定圓④四點(diǎn)定球如圖：(a)正方體的體對角線=球直徑(b)正四面體的外接球半徑=SKIPIF1<0高(c)正四面體的棱長=正方體棱長SKIPIF1<0SKIPIF1<0(d)正方體體積：正四面體體積=3：1(e)正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系正方體內(nèi)切球直徑=正方體棱長正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長的一半設(shè)正四面體棱長為SKIPIF1<0，則與其棱都相切的球半徑為SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構(gòu)造：在底面半徑和高都是SKIPIF1<0的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半徑均為SKIPIF1<0，截面高度均為SKIPIF1<0，倒圓錐的截面半徑為SKIPIF1<0，半球截面半徑為SKIPIF1<0，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：SKIPIF1<0半球截面面積為：SKIPIF1<0∵倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：SKIPIF1<0在半球內(nèi)，由勾股定理易得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：SKIPIF1<0所以半球體積：SKIPIF1<0即，球體體積：SKIPIF1<0正方體與球正方體的內(nèi)切球正方體的棱長SKIPIF1<0球體的直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正方體的外接球正方體的體對角線SKIPIF1<0球體的直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)律：①正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；②正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上；③正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：SKIPIF1<0④正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1：3SKIPIF1<0⑤正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1：3⑥正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為：SKIPIF1<0:2：SKIPIF1<0⑦正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：SKIPIF1<0⑧正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：SKIPIF1<0正四面體與球（1）正四面體的內(nèi)切球解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點(diǎn)的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切球的半徑SKIPIF1<0。利用體積關(guān)系得：SKIPIF1<0所以：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為正四面體的高。由相關(guān)計算得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）正四面體的外接球外接球的半徑=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）規(guī)律：①正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；②正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上；③正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高；④正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于1：3⑤正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1：27⑥正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1：9⑦正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內(nèi)切球半徑比為：SKIPIF1<0:12：SKIPIF1<0⑧正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：SKIPIF1<0⑨正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：SKIPIF1<0圓柱與球（1）圓柱容球（阿基米德圓柱容球模型）圓柱高=底面直徑=球的直徑球體體積=SKIPIF1<0圓柱體積球面面積=圓柱側(cè)面積（2）球容圓柱球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直角三角形。設(shè)球體半徑為SKIPIF1<0，圓柱高為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0方法總結(jié)下面舉例說明立體幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長為SKIPIF1<0，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑EFEFSKIPIF1<0OCDBA方法1：展平分析：（最重要的方法）如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進(jìn)行分析！連接DO并延長交平面ABC于點(diǎn)G，連接GSKIPIF1<0BACDEGSKIPIF1<0OBACDEGSKIPIF1<0O在平面AED中，由相似知識可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴△GOSKIPIF1<0∽△DOA∴SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法2：體積分析：（最靈活的方法）如圖：設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，連接AO、BO、CO、DO，則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，正四面體的棱長為SKIPIF1<0則正面四體的高為：SKIPIF1<0ABBABBOODC有：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法3：方程分析：（最常見的做法）如圖：BACDSKIPIF1<0O顯然AO、DO是外接球半徑，OSKIPIF1<0BACDSKIPIF1<0O在Rt△DOSKIPIF1<0中，由勾股寫得可得以下方程：SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入方程解得：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法4：補(bǔ)形分析（最巧妙的思考）把正四面體補(bǔ)成正方體進(jìn)行分析。如圖：此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為SKIPIF1<0，則正方體棱長為：SKIPIF1<0正方體的外接球直徑為其體對角線∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0內(nèi)切球半徑為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法5：坐標(biāo)分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A（0，0，SKIPIF1<0），B（0，SKIPIF1<0，0），C（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0），D（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0），設(shè)球心位置為O（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0主要方法：統(tǒng)一思想公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可能，最多只可能適用于一部分而已