探究問題歸類在初中數學教學中的有效運用

探究問題歸類在初中數學教學中的有效運用

Summary：歸類是初中生必備的數學思想方法之一，也是學生高效解題的思維支架。在初中數學教學中有效運用問題歸類，幫助學生掌握一類問題的解決思路及方法，可以促成學生對數學問題的舉一反三與觸類旁通。基于此，文章結合實際教學經驗，圍繞具體教學案例，例題講解、課堂檢測、作業(yè)設計、復習課教學四大方面探究問題歸類在初中數學教學中的有效運用路徑，以供參考。Keys：問題歸類；初中；數學教學；探究能力義務教育數學新課標指出，在數學教學中要高度重視數學知識的整體性、系統(tǒng)性、實踐性與應用性，不僅要以科學的教學指導方式幫助學生學習重要知識點，提高學生對數學知識的內化與吸收程度，還需要遵循數學知識的整體性原則，將分散、碎片的數學知識還原至數學體系框架內，讓學生意識到可以從不同維度分析數學知識、從不同角度探索數學知識的應用方法、從不同層次理解數學知識，繼而提高學生數學認知水平、強化學生數學綜合能力。因此，在新課標導向下，初中數學教師應當注重在新課講授與復習課教學中有效應用問題歸類，為學生提供某一類數學問題的解決思路在，指導學生自主探究某一類問題的解決策略，讓學生將問題內隱藏的數學思想方法同化或順應至自身認知結構內，逐步完善學生數學認知體系并達成“授人以漁”的教學效果。問題歸類在初中數學例題呈現(xiàn)中的有效運用理論依據例題是初中數學教材內重要的教學資源。在傳統(tǒng)的例題教學模式下，教師傾向于直接教授學生解答例題的方法，或是提示學生解題思路，或是提醒學生分析題干，亦或是直接講授解題步驟。此種教學方式將學生置于例題解答的被動地位，可能會導致學生陷入定式思維，造成學生解題能力低下的問題。葉圣陶先生曾指出，教材只是教師教學的依據，而非全部的教學資源，若想教得好便需要對教材進行合理利用，挖掘教材內數學知識的生發(fā)點、延伸點，讓學生從多維度、多角度學習、理解與習練數學知識。問題歸類可以滿足上述教材使用要求，教師以教材例題為基礎，運用問題歸類思想對例題進行變式或創(chuàng)新，進一步強化例題對學生數學綜合能力的考察，提升例題的教育功能，讓學生從例題及歸類問題的分析與解決中逐步獲得靈動思維，感受數學知識的生活使用價值[1]。實踐策略以浙教版九年級上冊數學《相似三角形的性質及其應用》新課講授為例，教師可以借助多媒體技術直觀化呈現(xiàn)例題3及其配圖，以此調動學生解答例題的內在動因。結合浙教版初中數學教材編寫意圖、課程標準及知識模塊設計可以發(fā)現(xiàn)，例題3的設計意圖有三：將數學問題置于真實可感、學生熟悉的生活情境之內，調動學生頭腦內已有圖式并與之產生交互，以此激發(fā)學生認知及思維活動；鍛煉學生對相似三角形性質的應用能力；為學生提供更加多元的解決現(xiàn)實問題的思路[2]。例題：數學興趣小組測校園內一棵樹的高，有以下兩種方法：方法1：如圖1，把鏡子放在離樹8m的點E處，沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢定點A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀察者目高CD=1.6m。圖1方法2：如圖2，把長為2.40m的標桿CD直立在地面上，量得樹影長為2.80m，標桿的影長為1.47m。圖2分別根據上述兩種方法求出樹高。在例題講解中，教師可以采用小組合作教學模式，請各小組成員分析題干，提煉關鍵信息，建構數量關系，并寫出樹高的求解過程。完成后請各小組代表上臺講解解題思路及方法，其余小組對其進行補充與完善，以此深化學生對例題的理解，讓學生在交互中習得解決例題的策略。例題講解后，教師結合學生實際學習成效引入與之同類的數學問題：問題1：如圖3所示，距離建筑外墻4m處有一棵樹AB。在某一時刻，垂直于地面的1.2m長的主干A’B’因影子長度B’B長度為2m，請問這棵樹在建筑外墻上影子部分CD的高度為多少？這棵樹的高度為多少？圖

3上述問題與例題的解題原理相同，但所涉及的生活情境與限制條件不同，學生經過例題學習后可以順利求解樹AB的高度，但在計算影子CD的長度時遇到困難。教師引導學生想象將建筑外墻去除，將問題1化歸為例題情形，讓學生意識到求解CD長度，即求解直角三角形斜邊長度再減掉4m，以此通過問題歸類使得數學問題直觀化、簡單化。問

題2：如圖4所示，在斜坡頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD為水平。在陽光照射下影子DE留在斜坡上，已知鐵塔底座寬度CD=12m，DE為18m，小李與小張身高均為1.6m，同一時刻小李與小張分別站位E點與地面上，影子長分別為2m與1m，則塔高AB為？圖4上述問題2是對例題及問題1的進一步延伸，融入了斜面問題，難度及復雜性明顯提升。教師要指導學生抵達此類問題的本質，找準其中不變的量與因素，即物體高度與影子長度之間的比值，按照這一思路再適度滲透數形結合思想，請學生將題干內的已知條件抽象為圖形，自主構造相似三角形，如圖5所示，引導學生將求塔高抓化為在兩對相似三角形內求AB’與BB’長度之和，以此求解問題。這種對例題進行歸類拓展的教學方式，可以開拓學生解題思路、提高學生思維品質。

圖5問題歸類在初中數學課堂檢測中的有效運用理論依據課堂檢測是初中數學教學流程的關鍵環(huán)節(jié)。對于學生而言，課堂檢測可以幫助其通過做題鞏固課堂所學，實現(xiàn)對本節(jié)課數學知識的當堂內化，并且可以激發(fā)學生反思意識、爭先意識，使學生認識到自身的不足之處與薄弱環(huán)節(jié)，繼而進行自我調試與完善。對于教師而言，課堂檢測結果可以反映出學生對數學知識的理解與掌握程度，評價本節(jié)課教學效果及學生的學習成效，通過對學生共性及個性問題的著重講解實現(xiàn)一課一結。但傳統(tǒng)的課堂檢測以“題海戰(zhàn)術”為主，教師選擇或設計的課堂練習題缺乏系統(tǒng)性與整體性，將數學知識劃分為相對獨立的單元，導致學生難以從整體上認知數學知識。問題歸類的有效運用可以改善課堂檢測現(xiàn)狀，將同一類型的課堂檢測題結合為有機整體，幫助學生夯實數學知識基礎，獲得數學能力的綜合鍛煉[3]。實踐策略以浙教版七年級下冊數學“整式的乘法”教學為例。教師需要對教材內的課后練習題進行精挑細選，結合本班學生數學基礎、認知水平、學習特點等以教材練習題為基礎廣泛整合形式多樣、融合多重視數學思想及解題方法的拓展性課內練習題，讓學生獲得問題歸類的啟發(fā)，并能夠對新舊知識進行融匯貫通。課內練習1：已知：，，求的值（）；的值（）。上述練習題來源于教材，是對整式乘法運算法則的正向及直接運用，學生對照整式乘法相關公式、原理等便可以順利解決上述課內練習題。對于該練習題的歸類拓展，教師可以從“逆向思維”角度入手，遵循由易到難的基本原則，圍繞初中生數學基礎水平及學習理解能力，對上述問題進行拓展延伸，注重考察學生逆向思維能力，引導學生突破思維定式，使學生可以從不同維度及角度分析并解決數學問題。問題1：，，求的值（）。問題1是對教材課后習題的歸類延伸，所涉及的問題情形與計算步驟更加復雜，需要學生耐心細致的分析提干并計算出得數，可以強化學生對整數乘法運算法則的理解與記憶，為后續(xù)的思維拓展及提升奠定堅實、有力的基礎。問題2：已知：，，嘗試運用含有a、b的式子表示。問題2滲透了逆向思維，引導學生從入手，逆向運用整式乘法運算法則，將7視作4+3，將4視作2+2，再結合所學知識以表示，以b直接表示，最后以b表示。問題3：已知：，求的值。問題3看似復雜，實則簡單，教師鼓勵學生自主解答，引領學生分析與之間的關系，便可以達到解題目標。問題歸類在初中數學作業(yè)設計中的有效運用理論依據作業(yè)作為初中數學課堂的延伸，具有診斷、學情分析等多元化功能。教師在作業(yè)設計中要高度重視減輕學生的課后作業(yè)負擔，保證學生作業(yè)完成的獨立性與自主性，讓學生在完成作業(yè)中鞏固課堂所學的數學知識。但當前作業(yè)設計中問題歸類意識較為薄弱，試圖以作業(yè)的量引發(fā)學生學習成效上質的變化。實際上，針對性不足的作業(yè)會導致學生逆反、厭倦、抵觸、逃避等不良心理，也會造成部分學生吃不飽、部分學生難消化，繼而降低作業(yè)設計的實效性。因此，初中數學教師除了在例題講解與課堂檢測中應用問題歸類之外，還需要注重問題歸類意識在作業(yè)設計內的有效滲透，通過作業(yè)讓學生融匯數學知識，掌握以數學知識解決現(xiàn)實問題的方法[4]。實踐策略以浙教版八年級上冊數學“平行線的性質”作業(yè)設計為例，教師可以設計如下體現(xiàn)問題歸類思想的課后作業(yè)：作業(yè)1：當AB//CD時，圖4中∠APC與∠PAB，∠PCD之間存在一定的關系，即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由為：連接AC……按照此種思路你能找到圖6中∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關系嗎？

圖6教師指導學生自主完成作業(yè)，在作業(yè)批改中會發(fā)現(xiàn)多種做輔助線的形式，教師對此進行歸類。在作業(yè)講解中分類呈現(xiàn)學生作輔助線的方法，如構建三角形、構造平行線等，請學生思考各種輔助線形式還可以應用于哪些數學問題中。同時，教師對作業(yè)問題進行變式，以進一步提升學生思維品質。問題：當AB//CD時，可以找出圖7、圖8中∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關系嗎？上述歸類拓展問題通過對點P位置的變化對作業(yè)題進行變式，讓學生初步樹立動點問題思維，拓寬學生思維空間，讓學生自主探索動點問題的一般規(guī)律及解題方法。

圖7圖8問題歸類在初中數學知識復習中的有效運用理論依據初中數學復習課是對單元或本學段知識的全面梳理與綜合性復習。傳統(tǒng)復習課教學模式下，教師通常以練習題作為知識依托的載體，讓學生做大量練習題以鞏固所學的數學知識。此種方法枯燥乏味，在教學方法上缺乏靈活性與趣味性；在教學成效上缺乏針對性與精準化；在教學過程上僵化固定，導致學生難以把握復習要點，不能認識到自身的劣勢。因此在問題歸類視域下，教師要以問題歸類突破單元或學段設置界限，將各單元數學知識結合為有機整體，指導學生從問題解決中掌握通法[5]。實踐策略以浙教版初中數學基本圖形應用為例。教師可以從教材習題、例題內提煉出如下圖9所示基礎圖形。圖9案例：已知∠ABC+∠C=180°，BD平分∠ABC?！螩BD與∠D相等嗎？為什么？上述問題是角平分線與平行線知識的融匯，該基礎圖形在復雜幾何圖形問題內的應用十分廣泛，教師需要結合初中數學課程標準、中考考察范圍、初中生必備的數學能力與品格等對上述基礎圖形的應用進行分類呈現(xiàn)，讓學生了解該基礎圖形在題目內的主要體現(xiàn)形式，在解題時能夠有意識地應用該基礎圖形的一般規(guī)律以突破解題難點。應用1：在平行四邊形ABCD中，∠DAB平分線交CD于點E，BC=9，AB=13，則CE=（）。上述應用1是基礎圖形在平行四邊形內的應用，可以直接利用基礎圖形內三角形BDE為等腰三角形這一結論。應用2：已知平行四邊形ABCD的周長為32cm，∠DAB的角平分線交CD所在的直線于點E，且DE：EC=3:2，求AB的長。應用2是對基礎圖形的進一步延伸，所規(guī)定的限制條件更多，但都不會脫離基礎圖形的規(guī)律，教師引導學生在復雜圖形內描繪出基礎圖形，將基礎圖形規(guī)律遷移至問題解決中。上述基于基礎圖形應用問題的歸類可以讓學生解題思維更加活躍，提高學生對題干的分析能力，為學生提供更加多元的解題方法，并且使學生形成舉一反三的解題思維，有助于提高學生解題效率，消除學生對復雜問題的畏難心理。結束語問題歸類是一種以分類為基礎，將數學知識整合并還原與具體問題類型內的數學教學理念、教學方法。在初中數學教學中教師有效應用問題歸類，需要根據例題講解、課堂檢測、作業(yè)設計及復習課教學的實際需求提煉并分析數學問題。同時要積極采用啟發(fā)式、探究式與合作式教學方法，賦予學生學習新知與解決問題的自主權，讓學生以靈動思維參與到數學學習活動中。此外，教師要有意識地引導學生應用問題分類，在日常學習及作業(yè)完成中注意積累同類數學問題，逐步形成個性化的數學知識體系與解題策略，以此充分發(fā)揮問題歸類在初中數學教學中的應用價值，循序漸進地培養(yǎng)學生數學綜合素養(yǎng)。Reference[1]馬淑麗.