粘性流體力學(xué)基本方程組

粘性流體力學(xué)基本方程組一、從牛頓第二定理出發(fā)，推導(dǎo)粘性流體力學(xué)動(dòng)量方程二、引入本構(gòu)方程的必要性三、本構(gòu)方程的推導(dǎo)四、粘性流體力學(xué)基本方程組(N-S方程)1）矢量場(chǎng)的幾個(gè)概念隨體導(dǎo)數(shù)梯度、散度a)流體的加速度流體的加速度5流體的加速度6b)隨體導(dǎo)數(shù)c)梯度標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向，梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率梯度的運(yùn)算對(duì)象是標(biāo)量，運(yùn)算結(jié)果是矢量考慮一座高度在（x,y）點(diǎn)是H（x,y）的山。在一點(diǎn)的梯度是在該點(diǎn)坡度（或者說(shuō)斜度）最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。這座山的每一個(gè)點(diǎn)上都算出一個(gè)梯度向量,這個(gè)向量會(huì)指向每個(gè)點(diǎn)最陡的那個(gè)方向,而向量的大小則代表了這個(gè)最陡的方向到底有多陡在直角坐標(biāo)系中：d)散度a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：

在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場(chǎng)表示為：直角坐標(biāo)系中：9散度的物理意義考慮任何一個(gè)點(diǎn)(或者說(shuō)這個(gè)點(diǎn)的周圍極小的一塊區(qū)域),在這個(gè)點(diǎn)上,矢量場(chǎng)的發(fā)散程度如果是正的,代表這些向量場(chǎng)是往外散出的；如果是負(fù)的,代表這些向量場(chǎng)是往內(nèi)集中的.運(yùn)算的對(duì)像是矢量,運(yùn)算出來(lái)的結(jié)果是標(biāo)量流體力學(xué)中，速度場(chǎng)散度指流體運(yùn)動(dòng)時(shí)單位體積的改變率直角坐標(biāo)系中：112）流體力學(xué)基本方程組微元體及其表面的質(zhì)量通量微元體內(nèi)的質(zhì)量變化量輸入微元體的質(zhì)量流量質(zhì)量守恒直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程－輸出微元體的質(zhì)量流量＝y(tǒng)

xz

dzdxdya)連續(xù)性方程13連續(xù)性方程連續(xù)性方程的物理意義與適用范圍相對(duì)密度變化率等于負(fù)的相對(duì)體積變化率適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體；可壓或不可壓流上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。連續(xù)性方程是流體流動(dòng)微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿足。16b)理想流體的運(yùn)動(dòng)方程c)粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體應(yīng)力狀態(tài)粘性流體應(yīng)力狀態(tài)yyz3)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理30平行六面體的整個(gè)變化過(guò)程可看作是由下列幾種基本運(yùn)動(dòng)形式所組成：1.位置平移2.線變形3.邊線偏轉(zhuǎn)：(1)角變形(2)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)38變形率矩陣4)本構(gòu)方程斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了關(guān)于應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系的三條假定：

(1)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系；(2)應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性；（3)運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動(dòng)停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量；當(dāng)速度在空間均勻分布時(shí)，偏應(yīng)力張量為0，當(dāng)速度偏離平均分布時(shí)，在粘性流體中產(chǎn)生了偏應(yīng)力，它力圖使速度恢復(fù)到均勻分布情形。由此可見偏應(yīng)力張量與局部變形速率有關(guān)。至于為什么是線性齊次函數(shù)這純粹是一種假設(shè)，它是牛頓定律的邏輯上的推廣。其合理性需要從理論與實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。各向同性的意思就是流體的所有性質(zhì)如粘性、熱傳導(dǎo)等在沒(méi)電的各個(gè)方向上都是相同的，即流體的性質(zhì)不依賴于方向或坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。所有氣體都是各向同性的，大部分液體例如水等也是各向同性的。(1)運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動(dòng)停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量；而在靜止流體中,切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p;

49正應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量其中pm是根據(jù)純力學(xué)考慮定義出來(lái)的運(yùn)動(dòng)流體的壓力函數(shù)，它不等于靜止流體的壓力函數(shù)，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)靜止時(shí)趨于靜止流體的壓力函數(shù)。另一項(xiàng)為偏應(yīng)力張量，當(dāng)運(yùn)動(dòng)消失時(shí)它趨于0.也是對(duì)稱二階張量。根據(jù)這三條假定,不難給出應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式。我們將分兩步討論：

第一步，建立偏應(yīng)力張量與變形速率之間的關(guān)系； 第二步，建立平均壓力偏量與變形速率之間的關(guān)系。

51a)平均壓力偏量與變形速率之間的關(guān)系5)粘性流體力學(xué)基本方程組常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項(xiàng)定常流動(dòng)為0靜止流場(chǎng)為0對(duì)流項(xiàng)靜止流場(chǎng)為0蠕變流時(shí)≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）對(duì)靜止或理想流體為06）初始條件（IC）、邊界條件（BC）由上面幾節(jié)的討論，我們已經(jīng)得到粘性流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方程組。由偏微分方程理論知，任何一個(gè)方程或封閉方程組具有無(wú)數(shù)組可能的解。因此，若要得到完全確定的解，必須給出完全確定的定解條件，即所謂邊界條件和初始條件。為了給定粘性流動(dòng)在邊界上的物理量，必須首先從物理的角度研究邊界面兩側(cè)物質(zhì)的物理量的相互關(guān)系。初始條件（IC）初始時(shí)刻t=t0時(shí)，流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)。如果是定常(穩(wěn)態(tài))運(yùn)動(dòng)，則不需要初始條件邊界條件（BC）第一類邊界條件給定邊界上待求變量的分布，如：給定水位、流量等第二類邊界條件給出了在邊界處變量的梯度。第三類邊界條件給出待求變量與梯度值之間的函數(shù)關(guān)系無(wú)滑移邊界條件u=v=0滑移邊界條件v=0固壁邊界條件常見邊界條件7）粘性流體力學(xué)中的解析解(精確解)a)考慮不可壓粘性流體在無(wú)限長(zhǎng)度柱形管道內(nèi)的定常運(yùn)動(dòng)已知管中某兩個(gè)相距L截面上a/b的壓力，求圓管內(nèi)速度分