2022年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)試卷

第13頁（共13頁）2022年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個正確答案，請在答題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1．（3分）﹣3的絕對值是（B）A．﹣ B．3 C． D．﹣32．（3分）冬季奧林匹克運動會是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（A）A． B． C． D．3．（3分）節(jié)肢動物是最大的動物類群，目前已命名的種類有120萬種以上，將數(shù)據(jù)120萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（D）A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×105 D．1.2×1064．（3分）正多邊形的每個內(nèi)角為108°，則它的邊數(shù)是（D）A．4 B．6 C．7 D．55．（3分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中《盈不足》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”譯文：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢．問人數(shù)、物價各多少？”設(shè)人數(shù)為x人，物價為y錢，根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是（C）A． B． C． D．6．（3分）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝35°時，∠DCN的度數(shù)為（A）A．55° B．70° C．60° D．35°7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（D）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣18．（3分）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，D，則cos∠ADC的值為（B）A． B． C． D．9．（3分）若關(guān)于x的分式方程：2﹣＝的解為正數(shù)，則k的取值范圍為（B）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0【解答】解：2﹣＝，2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，2x＝4﹣2k，x＝2﹣k，∵方程的解為正數(shù)，∴2﹣k＞0，∴k＜2，∵x≠2，∴2﹣k≠2，∴k≠0，∴k＜2且k≠0，故選：B．10．（3分）下列命題：①（m?n2）3＝m3n5②數(shù)據(jù)1，3，3，5的方差為2③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）④平分弦的直徑垂直于弦⑤若使代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x≥1其中假命題的個數(shù)是（C）A．1 B．3 C．2 D．4【解答】解：①（m?n2）3＝m3n6，故原命題錯誤，是假命題，符合題意；②數(shù)據(jù)1，3，3，5的方差為2，故原命題正確，是真命題，不符合題意；③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），正確，是真命題，不符合題意；④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯誤，是假命題，符合題意；⑤若使代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x≥1，正確，是真命題，不符合題意，假命題有2個，故選：C．11．（3分）如圖，正方形ABCD及其內(nèi)切圓O，隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率是（B）A． B．1﹣ C． D．1﹣【解答】解：設(shè)圓的半徑為a，則圓的面積為：πa2，正方形面積為：4a2，故隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率為：．故選：B．12．（3分）如圖，點D是?OABC內(nèi)一點，AD與x軸平行，BD與y軸平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過C，D兩點，則k的值是（C）A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12【解答】解：過點C作CE⊥y軸，延長BD交CE于點F，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠ABD，∵BD與y軸平行，∴∠ADB＝90°，在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD＝，∵S△BDC＝BD?CF＝，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，點D的縱坐標(biāo)為4，設(shè)C（m，），則D（m+9，4），∵反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過C，D兩點，∴k＝m＝4（m+9），∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故選：C．二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）13．（3分）菱形ABCD中，對角線AC＝8，BD＝6，則菱形的邊長為5．14．（3分）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求∠α的度數(shù)60°．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝﹣1．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝6，若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB＝30°，則AP的長為，9或3．【解答】解：當(dāng)∠A＝30°時，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①點P在線段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CPA＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②點P在線段AB的延長線上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CPA＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CPA，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．當(dāng)∠ABC＝30°時，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①點P在線段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等邊三角形∴AP＝AC＝3．②點P在線段AB的延長線上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP這與CP與AP交于點P矛盾，舍去．綜上所得，AP的長為，9或3．故答案為：，9或3．17．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，若AB＝2，BC＝3，點P從B點出發(fā)，在△ABC內(nèi)運動且始終保持∠CBP＝∠BAP，當(dāng)C，P兩點距離最小時，動點P的運動路徑長為π．【解答】解：如圖，取AB的中點J，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠BAP＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的⊙J上運動，當(dāng)J，P，C共線時，PC的值最小，在Rt△CBJ中，BJ＝，BC＝3，∴tan∠CJB＝＝，∴∠BJC＝60°，∴當(dāng)C，P兩點距離最小時，動點P的運動路徑長＝＝π．故答案為：π．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）18．（5分）計算：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．【解答】解：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1＝2+4×（﹣1）×﹣2＝2+2（﹣1）﹣2＝2+6﹣2﹣2＝4．19．（6分）先化簡，再求值：（a﹣）÷，請從不等式組的整數(shù)解中選擇一個合適的數(shù)求值．【解答】解：（a﹣）÷＝?＝?＝a（a+2）＝a2+2a，，解得：﹣1＜a≤2，∴該不等式組的整數(shù)解為：0，1，2，∵a≠0，a﹣2≠0，∴a≠0且a≠2，∴a＝1，∴當(dāng)a＝1時，原式＝12+2×1＝1+2＝3．20．（7分）如圖，一個圓環(huán)被4條線段分成4個區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一個，將這兩個吉祥物放在任意兩個區(qū)域內(nèi)：（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率；（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率．（用樹狀圖或列表法表示）【解答】解：（1）吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率是；故答案為：；（2）根據(jù)題意畫圖如下：共有12種等可能的情況數(shù)，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域有8種，則吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率是＝．21．（6分）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，≈1.7）．【解答】解：如圖，過點C、D分別作BE的平行線交BA的延長線于點M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的長約為10.2m．22．（5分）某學(xué)校在本校開展了四項“課后服務(wù)”項目（項目A：足球；項目B：籃球；項目C：跳繩；項目D：書法），要求每名學(xué)生必選且只能選修其中一項，為了解學(xué)生的選修情況，學(xué)校決定進行抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有200人；在扇形統(tǒng)計圖中，B所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是108°；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若全校共有1200名學(xué)生，估計該校選修籃球和跳繩兩個項目的總?cè)藬?shù)．【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有：30÷15%＝200（人），在扇形統(tǒng)計圖中，B所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是：360°×＝108°；故答案為：200，108；（2）C項目的人數(shù)有：200﹣30﹣60﹣20＝90（人），補全統(tǒng)計圖如下：（3）根據(jù)題意得：1200×＝900（人），答：估計該校選修籃球和跳繩兩個項目的總?cè)藬?shù)有900人．23．（8分）為落實“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設(shè)需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）兩圖象交于點A，求點A坐標(biāo)；（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．【解答】解：（1）由題意可得，y甲＝0.85x，當(dāng)0≤x≤300時，y乙＝x，當(dāng)x＞300時，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，則y乙＝；（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，即點A的坐標(biāo)為（600，510）；（3）由圖象可得，當(dāng)x＜600時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當(dāng)x＝600時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合算；當(dāng)x＞600時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算．24．（10分）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半徑，∴EC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，設(shè)OD＝4x，則OC＝5x，∴CD＝＝3x＝AC，在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴＝，即＝，∴EC＝，∴S陰影部分＝S△COE﹣S扇形＝××4﹣＝﹣4π＝，答：AC＝3，陰影部分的面積為．25．（10分）已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A．（1）如圖1，當(dāng)點G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；（2）將正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，求的值為多少；（3）AB＝8，AG＝AD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），當(dāng)C，G，E三點共線時，請直接寫出DG的長度．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEGF是正方形，∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°，∴，GE∥CD，∴，∴CE＝DG，∴＝＝2；（2）連接AE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠CAE＝∠DAG＝α，在Rt△AEG和Rt△ACD中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴，∴△ADG∽△ACE，∴＝，∴＝；（3）①如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四邊形CEGF是矩形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三點共線．∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG﹣EG＝8﹣8，∴DG＝CE＝4﹣4；②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四邊形CEGF是矩形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三點共線．∴∠AGC＝90°∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG+EG＝8+8，∴DG＝CE＝4+4．綜上，當(dāng)C，G，E三點