天體地運動與能量

實用標(biāo)準(zhǔn)§4．10天體的運動與能量4．10．1、天體運動的機械能守恒二體系統(tǒng)的機械能 E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與各天體的動能之和。僅有一個天體在運動時，則E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與其動能之和。 由于沒有其他外力作用，系統(tǒng)萬有引力屬于保守力，故有機械能守恒， E為一恒量，如圖 4-10-1所示，設(shè)M天體不動，m天體繞M天體轉(zhuǎn)動，則由機械動能守恒，有GMm12GMm12E2mv1r22mv2r1當(dāng)運動天體背離不動天體運動時，EP不斷增大，而EK將不斷減小，可達(dá)無窮遠(yuǎn)處，此時EP0而EK≥0，則應(yīng)滿足E≥0，即GMm1mv20r2v2例如從地球發(fā)射人造衛(wèi)星要掙脫地球束v1縛必有r2r1GMm1mv2M0R22GM2Rg11.2kmsvR圖4-10-1我們稱v=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為 2倍。另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬有引力屬于有心力，所以對 m而言，遵循角動量守恒mvr 恒量或mvrsin恒量是v與r方向的夾角。它實質(zhì)可變換得到開普勒第二定律，即行星與恒星連文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)線在相等時間掃過面積等。4．10．2、天體運動的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬有引力作用下運動， 其圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲線。）橢圓軌道如圖4-7-1所示，設(shè)橢圓軌道方程為x2y21a2b2（a>b）則橢圓長，短半軸為a、b，焦距ca2b2，近地點速度v1，遠(yuǎn)地點速度v2，則有E1mv12GMm1mv22GMm2ac2acmv1(ac)mv2(ac)或由開普勒第二定律：1v1(ac)1v2(ac)22可解得v1(ac)GM/(ac)av2(ac)GM/(ac)a代入E得EGMm02a拋物線設(shè)拋物線方程為y Ax2

ybv1MaO(,0)axv2b圖4-10-2文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)0,1太陽在其焦點（4A）處，則m在拋物線頂點處能量為E1mv0GMm1mv04AGMm22212()4A可以證明拋物線頂點處曲率半徑1mv02/GMm/(1)2得到2A，則有4Av08AGM拋物線軌道能量E1m(8AGM)4AGM0yC2cbDiii）雙曲線OaF(c,0)x設(shè)雙曲線方程為x2y2圖4-10-31a2b2焦距ca2b2，太陽位于焦點（C，0），星體m在雙曲線正半支上運動。如圖4-10-3所示，其漸近線OE方程為y=bx/a，考慮m在D處與無窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有E1mv02GMm1mv22cx2考慮到當(dāng)r，運動方向逼近漸近線，焦點與漸近線距FC為FCcb/a2b2b故有112vD(ca)2vb或mvD(ca)mvb聯(lián)解得文檔大全實用標(biāo)準(zhǔn)vGM/avDbGMaac雙曲線軌道能量GMmE 02a小結(jié)GMm0E2a橢圓軌道E0拋物線軌道GMm0E2a雙曲線軌道以下舉一個例子質(zhì)量為m的宇宙飛船繞地球中心 0作圓周運動，已知地球半徑為 R，飛船軌道半徑為2R。現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個半徑為 4R的新軌道上，如圖 4-10-4所示，求（1）轉(zhuǎn)移所需的最少能量；（2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的 ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處 A和B的速度變化 vA和vB各為多少？解:（1）宇宙飛船在