空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系題型歸納

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系題型歸納知識的精講一、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)如表8-4所示.表8-4名稱圖形文字語百何々語日公理1/如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)AlBllAB公理2過小在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面ABC不共線AB,C且是唯一確定的公理2的推論推論1ZA/經(jīng)過一條直線和該直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)A，則經(jīng)過點(diǎn)A和直線a有且僅用一個(gè)平面推論2/*/兩條相交直線確定一個(gè)平面albP 有且只有一個(gè)平面，使a,b推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面a“b 有且只有一個(gè)平面 ，使a,b公理3V \ .V_7/Pa?z如果兩個(gè)不重合的平向有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只什-條過該點(diǎn)的公共直線若PI,則I a,且Pa二、空間直線與直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系如表8-5所示.表8-5八 /位直大系相交（共面）平行（共面）異面圖形/5^/1符號albPa//bal A,b,Ab公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異向直線小同在如何一個(gè)平面內(nèi)2.公理4（平行公理）：平行與同一直線的兩條直線互相平行

3.定理：空間中若兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等（同向）或互補(bǔ)（反向）3.定理：空間中若兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等（同向）或互補(bǔ)（反向）題型歸納及思路提示題型1證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”思路提示要證明“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分直線活點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在該平面內(nèi)（即納入法）；證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線，證明 “線共點(diǎn)”問題是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z思路是：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明交點(diǎn)在第三條直線上 ^例8.19如圖8-73所示，平面ABEF平面ABCD四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，c 1 1BADFAB900,BCP—AD,BEP-AF.\o"CurrentDocument"2 =2求證：GD,F,E四點(diǎn)共面.分析證明四點(diǎn)共面，利用平面的確定公理，即兩條相交直線確定一個(gè)平面，本題可證明 DCFE相交與一點(diǎn)八、、.解析如圖8-74所示，延長DC交AB的延長線與點(diǎn)G解析如圖8-74所示，延長DC交AB的延長線與點(diǎn)G交AB的延長線于G,同理可得G'EG'BBEG'FG'AAF由BCP1AD,得GB=2GAG'BGB,故G'AGA,即GGCGDBC1 ,延長FEAD2k與G重合，因此，直線CD和EF相交與點(diǎn)G,即CDF,E四點(diǎn)共面.變式1如圖8-75所示，已知ABCDABCD是正方體，點(diǎn)F在CC上，且A&FC,求證E,BF,D四點(diǎn)共面.圖8-75變式2如圖8-76所示，在六面體ABCDABGD中，上下底面均為正方形， DD1平面ABCD,DD1平面ABCIM證：AG與AC共面，BD與BD共面.圖8-76例8.20如圖8-77所示，空間四邊形ABC由，EF,G分別在ABBCCD上，且滿足AEEB=CF：FB=2：1,CGGD:3:1,過EF,G的平面交AD于H,連接EHHG(1)求AHHD(2)求證：EHFGBD三線共點(diǎn).圖8-77AECF解析 (1)因?yàn)椤?,所以EF//AC又EF平面ACD所以EF//平面ACD而EF平面EFGHEBFB且平面EFGH平面ACDGH所以EF//GH而EF//AC所以AC/GH所以現(xiàn)-CG3即AHHD=3:1.HDGD'(2)證明：因?yàn)镋F//GH且空1GH」所以EFwGH所以四邊形EFG圉梯形.AC3'AC4,令EHIFGP,則PEH,PFG,,而EH平面ABDFG平面BCD平面ABDI平面BCDBQ所以PBD,,故EHFGBD三線共點(diǎn).評注所謂“線共點(diǎn)”問題就是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，證明三線共點(diǎn)的思路為：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題 .實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問題 .變式1如圖8-78所示，正方體ABCDABCD中，E,F分別是ABAA的中點(diǎn).求證：(1)ECD,F四點(diǎn)共面；(2)CEDF,DA三線共點(diǎn).變式2如圖8-79所示，點(diǎn)EF,CH分別是正方體ABCEKBCD的棱ABBCCC,CD的中點(diǎn)，證明：EFHGDC三線共點(diǎn).題型2題型2截面問題思路提示截面問題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用，先由確定平面的條件確定平面，然后做出該截面，并確定該截面的形狀.例8.21如圖8-80所示，正方體ABCDABCD的棱長為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC上的動點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是 ^ (寫出所以正確命題的編號).1一①當(dāng)0CQ—時(shí)，S為四邊形；2②當(dāng)CQ—時(shí)，S為等腰梯形； 1③當(dāng)CQ—時(shí)，S與CD的交點(diǎn)R滿足C〔R—;3一.3④當(dāng)一CQ1時(shí)，S為六邊形；4⑤當(dāng)CQ1時(shí)，S的面積為—.2分析本題重點(diǎn)考查了截面問題，對于截面問題要利用平面的確定公理作為理論背景，尤其是兩條平行直線確定一個(gè)平面.解析對于①②，因?yàn)檎襟wABCEABCD的棱長為1,當(dāng)CQ工時(shí)，PQ吏，這時(shí)過A,P,Q的截面2 2與正方體表面交與點(diǎn)D1,且PQPAR,截面S,如圖8-81(a)所示，APD〔Q—,截面S為等21腰梯形，當(dāng)0CQ一時(shí)，過A,P,Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱 DD1上，截面S為四邊形，如2圖8-81(b)所示，故①②正確；

③如圖8-81 (c)所示，當(dāng)CQ 3時(shí)，CR C1Q 1，又 CT=1,得 C1R -;4CTQC3 34 ④如圖8-81(d)所不，當(dāng)CQ—時(shí)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截正方體所得的截面為五邊形 APQRS5⑤如圖8-81(e)所示當(dāng)CQ1時(shí)，則過點(diǎn)A,P,Q的截面為A,P,Q,S,其截面為菱形，對角線SPJ2,AQJ3,所以S的面積為1.2/3-6AB,BAB,BiCi者防目交；AB,B1c1都垂直；AB,BiCi都相交;AB,BiCi都平行.變式1如圖8-82所示，M是正方體ABCDABGD的棱DD的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線其中真命題是().

A②③④B①③④C①②④D①②③變式2在棱長為1的正方體ABCDAiBCD,過對角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E,交CC1與F,得四邊形BFD1E,給出下列結(jié)論：①四邊形BFD1E有可能是梯形；②四邊形BFD1E有可能是菱形；③四邊形BFD1E在底面ABC吶的投影一一定是正方形；④四邊形BFD1E有可能垂直與平面BB1D1D;⑤四邊形BFD1E面積的最小值為—.2其中正確的是（ ）A①②③④ B②③④⑤ C.①③④⑤ D①②④⑤題型3異面直線的判定思路提示判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線是異面直線.TOC\o"1-5"\h\z（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面 ^例8.22一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（ ）.A.平行或異面B.相交或異面C.異面D.相交解析假設(shè)a與b是異面直線，而c//a,則c顯然與b不平行（否則c//b,則有a//b,矛盾），因此c與b可能相交或異面，故選B.評注判定和證明兩條直線是異面直線，常用反證法和定義法 ^變式1已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面，且l與n異面，則（ ）A.m與n異面B.m與n相交C. m與n平行D. m與n異面、相交、平行均有可能變式2已知a,b為不垂直的異面直線， 是一個(gè)平面，則a,b在上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)，則在上面的結(jié)論中，正確的結(jié)論的編號是（寫出所有正確的編號）.變式3若直線l變式3若直線l不平行于平面，且lA.內(nèi)的所有直線與l異面B.C. 內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.例8.23如圖8-83所示，已知兩個(gè)正方形，貝1H）內(nèi)不存在與l平行的直線內(nèi)的直線與ABCD和DCEFl都相交不在同一個(gè)平面內(nèi)，M和N分別AB和DF為平面MBEN,且平面MBEN平面MBEN,且平面MBEN與平面交于，由

平面DCEF，又AB//CD,所以AB//平面變式1在正方體ABCDABCD中，棱BB,CD的中點(diǎn)分別是A,D,F,H是否共面？并說明理由.F,H,如圖8-84所示，判斷點(diǎn)的中點(diǎn)，用反證法證明：直線ME與BN是異面直線.解析假設(shè)直線ME與BN共面，連接AN,NE,EB,則AB已知，兩正方形ABCD和DCEF不在同一平面，故ABDCEF,又平面MBENI平面DCEFEN,所以AB//EN,又AB//CD//EF,所以EF//EN,這與EFIENE矛盾，故假設(shè)不成立，所以直線ME與BN不共面，直線ME與BN是異面直線.

附乩&4附乩&4最有效訓(xùn)練題1.下列命題正確的是（ ）A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.下列四個(gè)命題：①若直線a,b是異面直線，b,c是異面直線，則a,c是異面直線；②若直線a,b相交，b,c相交，則a,c相交；③若a//b,則a,b與c所成的角相等；④若ab,bc,則a//c,其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.4B.3C.2D.1.設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（ ）A.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線 m垂直B.過直線m有且只有一個(gè)平面與平面 垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面 平行D.與直線m平行的平面不可能與平面 垂直.平行六面體ABCDABGDi中，既與AB共面也與CCi共面的棱的條數(shù)為（ ）A.3B.4C.5D.6.如圖8-85所示，M是正方體ABCDAB1clD1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1c1都相交;②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1c1都垂直;③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1c1都相交;④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1c1都平行;①②④D.①②③①②④D.①②③A.②③④B.①③④C.

抵的君NS抵的君NS.如圖8-86所示，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ）A.ACBDB.AC//截面PQMNC.ACBDD.異面直線PM與BD所成的角為45o圖8-86.過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l,使l與直線AB,AD,AAi所成的角都相等，這樣的直線l可以作條.如圖8-87所示，是正方體的表面展開圖，E,F,G,H分別是棱的中點(diǎn)，EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為 EE圖8-8寸.下列命題中不正確的是①沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；②分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面；③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面；.在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對于有這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論是（寫出所有正確結(jié)論的編號）論是（寫出所有正確結(jié)論的編號）①能構(gòu)