2020中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題1-幾何模型之雙子型

2020中考專(zhuān)題1——幾何模型之雙子型姓名姓名班級(jí)【模型解析】【例題分析】例1如圖1,直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊MOB,點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OC>1),連接BC,以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊^(qū)CBD,直線DA交y軸于點(diǎn)E.⑴^OBC與^ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；⑵著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.例2如圖2-1,在RhABC中，/B例2如圖2-1,在RhABC中，/B=90°,cosC=「點(diǎn)6 D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE,將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角源.當(dāng)0°<9<360°時(shí),AE——的大小有無(wú)變化？請(qǐng)BD僅就圖2-2的情況給出證明．圖2-1例4.如圖4,在3BC中,nABC=60°,AB=2,BC=8,以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰MCD,且4人^20°,則圖2-2)A.1)A.1B.— C.1D.2 2BD的長(zhǎng)為.【鞏固練習(xí)】.如圖LSBC和SDE都是等腰直角三角形,nBAC=nDAE=90°,AB=AC=2,。為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE的最小值是為(圖1 圖2.如圖2-ABC為等邊三角形,AB=2,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊向右作等邊△ADE連接CE.(1)在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為;(2)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在nDEC=60°,若存在，求出BD的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)取AC中點(diǎn)P,連接PE,在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求PE的最小值.

.在銳角SBC中，AB=4,BC=5，ACB=45°,將^ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到31BC1.（1）如圖3-1,當(dāng)點(diǎn)C1在線段C的延長(zhǎng)線上時(shí)，求NCC1A1的度數(shù)；（2）如圖3-2，連接AALCC1?若^AIBAI的面積為4，求4BC1的面積;圖3-2圖圖3-2.【提出問(wèn)題】（1）如圖4-1，在等邊^(qū)ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端翊、C，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊^(qū)AMN,連結(jié)CN.求證：BM=CN.【類(lèi)比探究】（2）如圖4-2，在等邊心BC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，其它條件不變1）中結(jié)論BM=CN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【拓展延伸】（3）如圖4-3，在等腰4ABC中，BA=BC,AB=6,AC=4，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰^AMN使頂角nAMN=nABC.連結(jié)CN.試探究BM與CN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖4-1圖4-2圖圖4-1圖4-2圖4-3.如圖5,正方形ABCD、BGFE邊長(zhǎng)分別為2、1,正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，直線AE、GC相交于點(diǎn)H.(1)在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,nAHC的大小是否始終為90°,請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接DH、BH，在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求DH的最大值;備用圖.如圖6-1,已知點(diǎn)A(0,-3)和x軸上的動(dòng)點(diǎn)C(m,0)4AOB和^BCD都是等邊三角形.(1)在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有兩點(diǎn)的距離等于OC的長(zhǎng)度，請(qǐng)將它找出來(lái)，并說(shuō)明理由.⑵如圖6-2，將^BCD沿CD翻折得^ECD,當(dāng)點(diǎn)C在乂軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E(x,y),請(qǐng)你用m來(lái)表示點(diǎn)￡的坐標(biāo)并求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)所在圖象的解析式.(3)在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)m 時(shí)，直接寫(xiě)出^ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).DSC BCDSC BC.【問(wèn)題探究】1）如圖7-1,銳角^ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰4ABE和等腰4ACD,使AE=AB,AD=AC,nBAE=nCAD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【深入探究】（2）如圖7-2,四邊形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm/ABC=NACD=NADC=45°,求BD的長(zhǎng).（3）如圖7-3，在（2）的條件下，當(dāng)MCD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng).ACB=nADB=45°,求BD的長(zhǎng)；LACB=nADB=45°,求BD的長(zhǎng)；L（3）如圖8-3,四邊形ABCD中/BAC=90°/ADB=NABC=atana=-的長(zhǎng)．n C a c-D5,AD=12，求BD3人R C（2）如圖8-2,利用（1）中的方法解決如下問(wèn)題：在四邊形ABCD中，AD=3,BD=2/ABC=n圖8-1圖8-2圖8-3圖7-1 圖7-2 圖7-3.（1）如圖8-1,已知^ABC,以AB、AC為邊分別向^ABC外作等邊^(qū)ABD和等邊^(qū)ACE連接BE、CD,請(qǐng)你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并證明：BE=CD;

參考答案例1廨：①全等.理由：???△AOB和4BD是等邊三角形，.?.OB=AB,nOBA=nOAB=60°,BC=BD,nCBD=60°,「.nOBA+zABC=nCBD+zABC,即zOBC=zABD,在△OB^pABD中,密AB1交。BO/ABD nRrARK,CAC、,a△OBC^^ABD(SAS).BC=BD②不變.理由：???△OBO^ABD,「.zBAD=zBOC=60°,又???zOAB=60°,「.zOAE=180°-zOAB-zBAD=60°,??.RSOEA中,AE=2OA=2,「QE= 3,.??點(diǎn)e的位置不會(huì)發(fā)生變化，e的坐標(biāo)為e(0,''3).A?例2.當(dāng)0°wa<360°時(shí)，奈的大小沒(méi)有變化,Ud?.?zECD=zACB,「.zECA=zDCB,又空二班二在DCBC又空二班二在DCBC2??.△ECA"DCB,例3.解：作AD1±AD,AD‘_AD,連接CD1,DD',如圖：??zBAC+zCAD_zDAD+zCAD,即zBAD_zCAD,在^BAD與40人??.BD_CD,,zDAD_90°,由勾股定理得口。="皿2+(前.『_3 五，zD'DA+zADC_90°,由勾股定理得CD'=\；dc2+(DD‘/_,怎，??bd_cd_ .故答案為：.例4廨：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把a(bǔ)BAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到MAD,連接BE，作AP±BE于P,則zBAE=120°,AB_AE,?.zABE_zAEB_30°,.?.BP_AB?coszABP_3,zAEB_90°,」.BE_2BP_6,在RfBED中，BD_..■ed2+be2_10,故答案為：10．【鞏固訓(xùn)練】1廨：設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ,「nBAC=nDAE=90°,「.nBAC-nDAC=nDAE-nDAC,即nBAD=nCAE,??AB=AC=2,O為AC中點(diǎn)，」.AQmAO,在4AQD和SOE中，AQ=AOZQaD^ZOAE,aaaQD^aAOE(SAS),aQD=OE,ad=ac?點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)QD±BC時(shí)，QD最小，,??△ABC是等腰直角三角形，「.nB=45°,,??QDlBC,."QBD是等腰直角三角形，「?？?QB=5AB=1,「.QD=］，，線段OE的最小值是為率.故選：B.2廨：⑴aABD^ACE可得BD=CE,E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)即D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，BC=2.(2)nDEC=60°相當(dāng)于nAEC=nADB=120°,即nEDC=0°,此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.因此不存在.1(3)nACE=60。,當(dāng)PE^CE時(shí)取最小值.PE=PCcos60°=. ,23.解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：zA1C1B=nACB=45°,BC=BC1,??nCC1B=nC1CB=45°,」.nCC1A1=nCC1B+nA1C1B=45。+45。=90°.(2)-"ABLA1BC1,?.BA=BA1,BC=BC1,nABC=nA1BC1,BABA1?? ,nABC+nABC1=nA1BC1+nABC1,.?.nABA1=nCBC1,.“ABA1"CBC1.二AAEh△ACBCtRE&ABA1=4,.SCBC1=W^；44.(1)證明：???△ABC'SMN是等邊三角形，??.AB=AC,AM=AN,nBAC=nMAN=60°,.?.nBAM=nCAN,??在^BAM和^can中,「.nABC=n「.nABC=nACN.「.△bam^can(SAS),網(wǎng)二AN⑵解：結(jié)論nABC=nACN仍成立；理由如下：???△abc、^amn是等邊三角形,??.AB=AC,AM=AN,nBAC=nMAN=60°,「.nBAM=nCAN,在MBD和^在MBD和^OBC中，有?在^BAM和^CAN中,AB=AC，/BAM=/CWaaBAM^aCAN(SAS),「.nABC=nACNMI=AN(3)解：nABC=nACN；理由如下：??.BA=BC,MA=MN,頂角nABC=nAMN,??底角nBAC=nMAN,.”ABCs^AMN,.?.也=迎，又<nBAM=nBAC-nMAC,nCAN=nMAN-zMAC,ACAM?.nBAM=nCAN,."BAM"CAN,「.nABC=nACN.5.解：(1)是，理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)知，abe=cbg,在正方形ABCD,BGFE中,AB=BC,BE=BG,nADC=nBCD=nBAD=nABC=90。,.?.△AB國(guó)△CBG,「.nBAE=nBCG,記AH與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)P,?nAPB=nCPH,nABC+nBAE+nAPB=180°nAHC+nBCG+nCPH=180。，??.nAHC=nABC=90°,(2)DH<DE+EG=BD=22\''6廨：(1)連接AD,如圖1所示.A、D兩點(diǎn)間的距離始終等于OC的長(zhǎng)度.理由如下：△AOB和^BCD都是等邊三角形，.?.AB=OB,BD=BC,nABO=nCBD=6O°,?nABD=nABO+nOBD,nOBC=nOBD+nDBC,??.nABD=nOBC.AB=0&ZABD=Z0BC,BD=BC-.△AB比△OBC(SAS),?.AD=OC.(2)過(guò)D作DF^y軸于F,連接BE，如圖2所示.由(1)可知的必必口?.AD=OC=m,NDAF=NBAO-NBAD=6O°-(9O°-6O°)=3O°?.DF=AD?sinzDAF=ym,AF=AD.coszDAF=-^m,??A(O,-3),.D(--m, ^-m-3).2 2?^△BCD^CD翻折得△ECD且△BCD是等邊三角形，???四邊形BCED是菱形，」.BE、CD互相平分.???△AOB是等邊三角形，且點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)A（0,-3）,.?.?點(diǎn)B(W]-1■),??[Qm-,得m-尹號(hào)(豹-，會(huì),）-）,??點(diǎn)E在圖形y=-5x上運(yùn)動(dòng).(3)?.點(diǎn)A(0,-3)，點(diǎn)B( ,-),點(diǎn)D(m, m-3),??.AB=3,AD=m,BD=△ABD為等腰三角形分三種情況：TOC\o"1-5"\h\z①當(dāng)AB=AD時(shí)，有3=m,q .q此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（］■- , 黨；^―1 ^—1②當(dāng)AB=BD時(shí)，有3=..藤 ，解得：m=0（舍去，或m=31；W,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，：亂3；③當(dāng)AD=BD時(shí)，有m=./J荷菽，解得：m=\B（舍去）.綜上可知：在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)m>30寸，△ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（￡- ， -得）或（3、，3）.7廨：(1)BD=CE.理由是：??.nBAE=nCAD，???nBAE+nBAC=nCAD+nBAC,即zEAC=zBAD,在△EAC和△BAD中，A￡=AB*/E&C=/BAD，二△eaq^bad，/.bd=ce；AC=AD（2）如圖2，在SBC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角^BAE,使nBAE=90°，AE=AB，連接EAEB、EC.???nACD=nADC=45°，/.AC=AD，nCAD=90°，???nBAE+nBAC=nCAD+nBAC,即zEAC=zBAD,在△EAC和△ 三BAD中，：:4，.—，.—AE=AB：:4，.—，.—;AE=AB=7，??.BE=：產(chǎn)+7]=7,:弓，zABE=zAEB=45。，又???/ABC=45°，.?.nABC+nABE=45°+45°=90°，

EC=.?丁那十BC?”（『2產(chǎn)+32=’」。?，BD=CE=；'而.⑶如圖3，在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作人￡，人8于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE.??AE，AB,「.nBAE=90°,又?.?nABC=45°,/.nE=nABC=45°,」.AE=AB=7,BE=:,2+？2=7,/2,又二nACD=nADC=45°,?.nBAE=nDAC=90°,??nBAE-nBAC=nDAC-nBAC,即zEAC=zBAD,在△EAC和△BAD中，AE=AB"ZEAC=ZBAD,.“eaq^bad,「.BD=CE,AC=AD??BC=3,「.BD=CE=(7,-2-3)cm.8.解：（1）如圖1,分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB